 |
бесконечная дробь
9.10.2000 |
МЦНМО
Число 1/42 разложили в бесконечную десятичную дробь.
Затем вычеркнули 1997-ю цифру после
запятой, а все цифры, стоящие справа от вычеркнутой цифры,
сдвинули на 1 влево. Какое число больше:
овое или . . .
|
| |
|
антиквар и 99 монет
8.10.2000 |
МЦНМО
Антиквар приобрел 99 одинаковых по виду старинных монет.
Ему сообщили, что ровно одна из монет -
фальшивая - легче настоящих (а настоящие весят одинаково).
Как, используя чашечные весы без гирь, за 7
взвешиваний выявить фальшивую монету,
если антиквар не разрешает никакую монету . . .
|
| |
|
бусинки на окружности
8.10.2000 |
МЦНМО
По окружности, сделанной из проволоки, двигаются бусинки с одинаковой
угловой скоростью, некоторые - по часовой стрелке, некоторые -
против.
При столкновении две бусинки разлетаются в разные стороны с прежними
скоростями.
Докажите, что в некоторый момент начальное расположение бусинок . . .
|
| |
|
2000 фишек
7.10.2000 |
МЦНМО
а) 2000 фишек расположены на плоскости в вершинах
выпуклого 2000-угольника. За один ход можно разбить их на две группы
и
фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные
фишки оставить на месте. Может ли случиться, что после 9
ходов все фишки окажутся на одной прямой?
б) . . .
|
| |
|
хорошие расстановки
7.10.2000 |
МЦНМО
Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном
порядке. Расстановка называется плохой, если в
ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих
в
порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими.
Докажите,
что количество хороших . . .
|
| |
|
веселые чижи
6.10.2000 |
МЦНМО
На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44
веселых чижа (на каждом дереве по чижу).
Время от времени два чижа одновременно перелетают
на соседние деревья в разных направлениях
(один - по часовой стрелке, другой - против).
Докажите, что чижи не смогут собраться на одном . . .
|
| |
|
покрытие треугольника
6.10.2000 |
МЦНМО
Докажите, что раносторонний треугольник нельзя покрыть
двумя меньшими равносторонними . . .
|
| |
|
последовательность троек
5.10.2000 |
МЦНМО
В последовательности троек целых чисел (2,3,5), (6,15,10)...
каждая тройка получается из предыдущей таким образом:
первое число умножается на второе, второе - на третье,
а третье - на первое, и полученные произведения
дают новую тройку. Докажите, что ни одно из чисел,
получаемых таким . . .
|
| |
|
|
|
