 |
сумма отмеченных сторон
14.10.2000 |
МЦНМО
Квадрат со стороной 1 разрезали на
прямоугольники, у каждого из
которых отметили одну сторону.
Докажите, что сумма длин всех
отмеченных сторон не может быть меньше . . .
|
| |
|
освещенная дорога
13.10.2000 |
МЦНМО
Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый
фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее
количество фонарей может быть на дороге, если известно, что
после
выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не . . .
|
| |
|
покрытие красного квадрата
12.10.2000 |
МЦНМО
Красный квадрат покрывают 100 белых квадратов.
При этом все квадраты
одинаковы и стороны каждого белого квадрата
параллельны сторонам
красного. Всегда ли можно удалить один из белых квадратов так,
что
оставшиеся белые квадраты все еще будут покрывать
целиком красный . . .
|
| |
|
хорды - диаметры
11.10.2000 |
МЦНМО
В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так,
что каждая из них проходит через
середину какой-либо другой из проведённых хорд.
Докажите, что все эти хорды являются диаметрами . . .
|
| |
|
круглый стол
11.10.2000 |
МЦНМО
За круглым столом сидят несколько гостей.
Некоторые из них знакомы
между собой; знакомство взаимно.
Все знакомые любого гостя (считая его
самого) сидят вокруг стола через равные промежутки.
(Для другого
человека эти промежутки могут быть другими.)
Известно, что любые двое . . .
|
| |
|
страна Нашия
10.10.2000 |
МЦНМО
В стране Нашии есть военные базы,
соединенные дорогами. Набор дорог
называется важным, если после закрытия этих дорог найдутся две
базы, не соединенные путем.
Важный набор называется
стратегическим, если он не содержит меньшего важного набора.
Докажите, что . . .
|
| |
|
выпуклый многогранник
10.10.2000 |
МЦНМО
Существует ли выпуклый многогранник,
имеющий 12 рёбер, которые соответственно равны и
параллельны 12 диагоналям граней . . .
|
| |
|
правильные многоугольники
9.10.2000 |
МЦНМО
а) Каждую сторону четырёхугольника
в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину.
Оказалось, что концы построенных отрезков служат вершинами
квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник -
квадрат.
б) Докажите, что если в результате той же процедуры из
n-угольника . . .
|
| |
|
|
|
