 |
плоскости и точки
20.10.2000 |
МЦНМО
В пространстве даны n точек общего положения
(никакие три не лежат на одной прямой,
никакие четыре не лежат в одной плоскости).
Через каждые 3 из них проведена плоскость.
Докажите, что какие бы n-3
точки в пространстве ни взять,
найдется плоскость из проведенных,
не содержащая ни . . .
|
| |
|
непрерывная функция
20.10.2000 |
МЦНМО
О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что
при любом a>1 функция f(x)+f(ax) непрерывна на всей прямой.
Докажите, что f(x) также непрерывна на всей . . .
|
| |
|
болтуны и молчуны
19.10.2000 |
МЦНМО
В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном.
При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное
число его друзей - молчунов.
Докажите, что учитель может пригласить на факультатив
не менее половины класса так, чтобы все болтуны . . .
|
| |
|
уравнение
16.10.2000 |
МЦНМО
Решите в натуральных числах уравнение . . .
|
| |
|
точки в шестиугольнике
16.10.2000 |
МЦНМО
Внутри правильного шестиугольника со стороной 1
расположено 7 точек. Докажите, что среди них найдутся
две точки на расстоянии не больше . . .
|
| |
|
красные и синие сектора
15.10.2000 |
МЦНМО
Круг поделен n диаметрами на 2n равных секторов, из которых n
красных и n синих. В красные сектора, начиная с некоторого,
подряд по часовой стрелке расставляются числа 1,2,...,n;
в синие сектора, начиная с некоторого,
также подряд расставляются числа 1,2,...,n,
но против часовой стрелки . . .
|
| |
|
a,b,c
15.10.2000 |
МЦНМО
Про действительные числа a,b,c известно, что
(a+b+c)c<0. Докажите, что . . .
|
| |
|
доля правдолюбов
14.10.2000 |
МЦНМО
Путешественник посетил селение,
в котором каждый человек либо всегда
говорит правду, либо всегда лжет. Жители селения стали в круг,
и
каждый сказал путешественнику про соседа справа,
правдив тот или лжив.
На основании этих сообщений путешественник
однозначно определил, какую . . .
|
| |
|
