 |
три цилиндра
26.10.2000 |
МЦНМО
Докажите, что пересечение трех прямых круговых цилиндров
с радиусами 1,
оси которых попарно взаимно перпендикулярны
(но не обязательно пересекаются),
содержится в некотором шаре радиусом . . .
|
| |
|
дубы и баобабы
26.10.2000 |
МЦНМО
В ряд посажены 2000 деревьев - дубы и баобабы. К каждому дереву
прибита табличка, на которой указано количество дубов среди
следующих
деревьев: дерева, на котором висит табличка, и его соседей.
Можно ли по числам на табличках определить,
какие из деревьев . . .
|
| |
|
числа в углах квадрата
25.10.2000 |
МЦНМО
В квадрате 2000*2000 расставлены числа так, что в любом квадрате
2*2 сумма левого верхнего числа и правого нижнего числа равна
сумме левого нижнего числа и правого верхнего числа. Докажите,
что
сумма
чисел, стоящих в левом верхнем и правом нижнем углах квадрата . . .
|
| |
|
невыпуклый - выпуклый
25.10.2000 |
МЦНМО
На плоскости дан невыпуклый n-угольник
с попарно непараллельными сторонами. Пусть A и B - две несоседние
вершины n-угольника,
разделяющие его контур на две ломаные AXY...B и BZT...A.
Разрешается отразить одну из этих ломаных относительно середины
отрезка AB.
При этом получится новый . . .
|
| |
|
площадь четырехугольника
24.10.2000 |
МЦНМО
Пусть a,b,c,d - длины последовательных сторон
выпуклого четырехугольника. Докажите, что его площадь S
а) не больше (ab+cd)/2;
а) не больше . . .
|
| |
|
голосование на выборах
21.10.2000 |
МЦНМО
Каждый из голосующих на выборах
вносит в избирательный бюллетень фамилии
10 кандидатов. На избирательном участке
находится 11 урн. После выборов выяснилось,
что в каждой урне лежит хотя бы один бюллетень и при всяком
выборе 11 бюллетеней по одному из каждой урны найдется кандидат . . .
|
| |
|
множество середин
21.10.2000 |
МЦНМО
Дан прямой угол. Найдите множество середин всевозможных отрезков
длины d с концами на сторонах . . .
|
| |
|
|
|
