Научная Сеть

Наука | Задачи

пересекающиеся сферы
3.11.2000 | МЦНМО

На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки A и B, на другой - C и D. Отрезок AC проходит через общую точку сфер. Отрезок BD проходит через другую общую точку сфер и параллелен прямой, содержащей центры сфер. Докажите, что проекции отрезков AB и CD на прямую . . .

перестановка столбцов таблицы
2.11.2000 | МЦНМО

В таблицу n*n записаны n2 чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма n чисел, расположенных по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний . . .

	шестиугольник-2 2.11.2000 \| МЦНМО Каждая из сторон выпуклого шестиугольника имеет длину больше 1. Всегда ли в нем диагональ длины . . .

	шестиугольник 1.11.2000 \| МЦНМО В выпуклом шестиугольнике ABCDEF длины диагоналей AD, BE и CF больше 2. Всегда ли у него найдется сторона длины . . .

	равное число разложений 1.11.2000 \| МЦНМО Докажите, что число разложений натурального числа n в сумму различных натуральных слагаемых равно числу разложений числа n в сумму нечетных (возможно, повторяющихся) . . .

фигура крокодил
30.10.2000 | МЦНМО

Назовем крокодилом шахматную фигуру, ход которой заключается в прыжке на m клеток по вертикали или по горизонтали, и потом на n клеток в перпендикулярном направлении. Докажите что для любых m и n можно так раскрасить бесконечную клетчатую доску в 2 цвета (для каждых конкретных m и n . . .

горячая и холодная вода
30.10.2000 | МЦНМО

Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного - за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше . . .

	Математический кружок МЦНМО, 6 класс, занятие 4, 28 октября 2000 года 28.10.2000 \| А.Ю.Митягин Задачи занятия N 4 Математического кружка МЦНМО для школьников 6 класса, проведенного 28 октября 2000 . . .

	сумма равна 100 27.10.2000 \| МЦНМО Сумма натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200. Докажите, что из этих чисел можно выбрать несколько чисел, сумма которых . . .

	сумма расстояний 27.10.2000 \| МЦНМО Докажите, что сумма расстояний от любой точки, расположенной внутри правильного n-угольника, до его сторон не зависит от . . .