 |
пересекающиеся сферы
3.11.2000 |
МЦНМО
На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки A и B,
на другой - C и D. Отрезок AC проходит через общую точку сфер.
Отрезок BD проходит через другую общую точку сфер и параллелен
прямой, содержащей центры сфер. Докажите, что проекции отрезков
AB и CD на прямую . . .
|
|
 |
перестановка столбцов таблицы
2.11.2000 |
МЦНМО
В таблицу n*n записаны n2
чисел, сумма которых неотрицательна.
Докажите, что можно переставить столбцы
таблицы так, что сумма n чисел, расположенных по диагонали,
идущей из левого нижнего угла в правый верхний . . .
|
|
 |
шестиугольник-2
2.11.2000 |
МЦНМО
Каждая из сторон выпуклого шестиугольника имеет длину больше 1.
Всегда ли в нем диагональ длины . . .
|
|
 |
шестиугольник
1.11.2000 |
МЦНМО
В выпуклом шестиугольнике ABCDEF длины диагоналей AD, BE и CF
больше 2. Всегда ли у него найдется сторона длины . . .
|
|
 |
равное число разложений
1.11.2000 |
МЦНМО
Докажите, что число разложений натурального числа n
в сумму различных натуральных слагаемых равно
числу разложений числа n в сумму
нечетных (возможно, повторяющихся) . . .
|
|
 |
фигура крокодил
30.10.2000 |
МЦНМО
Назовем крокодилом шахматную фигуру,
ход которой заключается в прыжке на m клеток по вертикали или по
горизонтали, и потом на n клеток в перпендикулярном направлении.
Докажите что для любых m и n можно так
раскрасить бесконечную клетчатую доску в 2 цвета (для каждых
конкретных m и n . . .
|
|
 |
горячая и холодная вода
30.10.2000 |
МЦНМО
Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты,
из холодного - за 17 минут. Маша открыла сначала
горячий кран. Через сколько минут она должна открыть
холодный, чтобы к моменту наполнения ванны
горячей воды налилось в 1,5 раза больше . . .
|
|
 |
сумма равна 100
27.10.2000 |
МЦНМО
Сумма натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200.
Докажите, что из этих чисел можно выбрать несколько чисел,
сумма которых . . .
|
|
 |
сумма расстояний
27.10.2000 |
МЦНМО
Докажите, что сумма расстояний от любой точки, расположенной
внутри правильного
n-угольника, до его сторон не зависит от . . .
|
|
|
|
|