Научная Сеть

Наука | Задачи

положительные произведения
8.11.2000 | МЦНМО

В клетки таблицы 8*8 записаны числа 1 и -1 так, что в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали (в частности, в угловых клетках) произведения чисел равны 1. Какое максимальное число минус единиц при . . .

	периметры равны 8.11.2000 \| МЦНМО Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Докажите, что если равны периметры треугольников ABC, BCD, CDA, DAB . . .

	перевозка камней 7.11.2000 \| МЦНМО Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, веса которых равны 370, 372, ... , 468 кг, на . . .

	9 прямых 7.11.2000 \| МЦНМО Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на два четырхугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через . . .

	сумма - простое число 6.11.2000 \| МЦНМО а) Существует ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма любых трех из них есть простое число? б) Существуют ли пять таких . . .

остров Серобуромалин
6.11.2000 | МЦНМО

На острове Серобуромалин живет 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они одновременно перекрашиваются в третий цвет. Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют один . . .

	деды и внуки 5.11.2000 \| МЦНМО В Простоквашинской начальной школе учится всего 20 детей. У любых двух из них есть общий дед. Докажите, что у одного из дедов в этой школе учится не менее 14 внуков и . . .

	7 чисел по кругу 5.11.2000 \| МЦНМО По кругу записаны 7 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре соседних чисел одно делится на другое. Докажите, что найдётся пара и не соседних чисел с таким же . . .

раскраска пространства
4.11.2000 | МЦНМО

Каждая точка пространства окрашена в один из пяти цветов, причем каждым из этих пяти цветов окрашена хотя бы одна точка. Докажите, что найдется плоскость, все точки которой окрашены не менее, чем в 4 . . .

	сумма обратных 3.11.2000 \| МЦНМО Докажите, что сумма всех чисел вида 1/mn, где m и n - натуральные числа, 1<m<n<1986, не . . .