 |
положительные произведения
8.11.2000 |
МЦНМО
В клетки таблицы 8*8 записаны числа 1 и -1 так, что
в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали
(в частности, в угловых клетках) произведения чисел равны 1.
Какое максимальное число минус единиц при . . .
|
|
 |
периметры равны
8.11.2000 |
МЦНМО
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Докажите, что если
равны периметры треугольников ABC, BCD, CDA, DAB . . .
|
|
 |
перевозка камней
7.11.2000 |
МЦНМО
Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, веса которых равны
370, 372, ... , 468 кг, на . . .
|
|
 |
9 прямых
7.11.2000 |
МЦНМО
Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на два четырхугольника,
площади которых относятся как 2:3.
Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых
проходят через . . .
|
|
 |
сумма - простое число
6.11.2000 |
МЦНМО
а) Существует ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма
любых трех из них есть простое число?
б) Существуют ли пять таких . . .
|
|
 |
остров Серобуромалин
6.11.2000 |
МЦНМО
На острове Серобуромалин живет 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых
хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета,
они одновременно перекрашиваются в третий цвет. Может ли через
некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют один . . .
|
|
 |
деды и внуки
5.11.2000 |
МЦНМО
В Простоквашинской начальной школе учится всего 20 детей. У любых двух
из них есть общий дед. Докажите, что у одного из дедов в этой школе
учится не менее 14 внуков и . . .
|
|
 |
7 чисел по кругу
5.11.2000 |
МЦНМО
По кругу записаны 7 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре
соседних чисел одно делится на другое. Докажите, что найдётся пара и
не соседних чисел с таким же . . .
|
|
 |
раскраска пространства
4.11.2000 |
МЦНМО
Каждая точка пространства окрашена в один из пяти цветов, причем
каждым из этих пяти цветов окрашена хотя бы одна точка.
Докажите, что найдется плоскость, все точки которой окрашены не
менее, чем в 4 . . .
|
|
 |
сумма обратных
3.11.2000 |
МЦНМО
Докажите, что сумма всех чисел вида 1/mn, где m и n -
натуральные числа, 1<m<n<1986,
не . . .
|
|
|