 |
целые точки на одной прямой
14.04.2002 |
МЦНМО
В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше
m2+1 точек с
целыми координатами. Докажите, что в нем найдется m+1 точек с целыми
координатами, которые лежат на одной . . .
|
| |
|
шифрование при помощи многочлена
13.04.2002 |
МЦНМО
Вам пришло зашифрованное сообщение:
Ф В М Е Ж Т И В Ф Ю
Найдите исходное сообщение, если известно,
что шифрпреобразование заключалось в следующем.
Пусть x1, x2 - корни трехчлена
x2+3x+1.
К порядковому номеру каждой буквы в стандартном русском алфавите
(33 буквы) прибавлялось значение . . .
|
| |
|
основания высот и медиан
12.04.2002 |
МЦНМО
Ma, Mb, Mc -
середины сторон, Ha, Hb, Hc -
основания высот треугольника ABC площади S.
Доказать, что из отрезков
MaHb,
MbHc,
McHa
можно составить треугольник, найти его площадь . . .
|
| |
|
таблица с простыми суммами
11.04.2002 |
МЦНМО
Можно ли все клетки таблицы 9*2002 заполнить натуральными числами так,
чтобы сумма чисел в любом столбце
и сумма чисел в любой строке были бы простыми . . .
|
| |
|
средняя линия и диагонали
10.04.2002 |
МЦНМО
В выпуклом четырехугольнике прямая,
проходящая через середины двух противоположных сторон,
образует равные углы с диагоналями четырехугольника.
Докажите, что диагонали равны . . .
|
| |
|
волшебное дерево
9.04.2002 |
МЦНМО
На дереве растет 2001 апельсинов и 2002 банана.
Разрешено срывать одновременно два фрукта.
Если срывают два одинаковых фрукта, то вместо них
мгновенно вырастает один банан.
Если же срывают два разных фрукта, то вместо них
мгновенно вырастает один апельсин.
Через некоторое время на дереве . . .
|
| |
|
перестановки цифр
7.04.2002 |
МЦНМО
Сколько существует пятизначных чисел, получаемых из числа 12345
перестановкой цифр и у которых чётные цифры не стоят . . .
|
| |
|
сечение - параллелограмм
6.04.2002 |
МЦНМО
Докажите, что выпуклый четырехгранный угол можно
пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм . . .
|
| |
|
шифрование шестеренками
5.04.2002 |
МЦНМО
На каждой из трех осей установлено по одной
вращающейся шестеренке и неподвижной стрелке.
Шестеренки соединены последовательно.
На первой шестеренке 33 зубца, на второй - 10, на третьей - 7.
На каждом зубце первой шестеренки по часовой
стрелке написано по одной букве русского языка . . .
|
| |
|
|
|
