 |
точки касания сферы и плоскости
24.04.2002 |
МЦНМО
В пространстве дана плоскость П и точки A и B по одну
сторону от П (AB не параллельно П).
Рассматриваются сферы, проходящие через точки
A и B, касающиеся плоскости П.
Докажите, что точки касания этих сфер и плоскости П
лежат на одной . . .
|
|
 |
перекрашивание полоски
22.04.2002 |
МЦНМО
Имеется полоска 1*99, разбитая на 100 клеток 1*1,
клетки которой раскрашены через одну в черный и
белый цвет. Разрешается перекрашивать одновременно
все клетки некоторого прямоугольника 1*k.
За какое наименьшее число перекрашиваний можно
сделать всю полоску . . .
|
|
 |
два квадратных трехчлена
21.04.2002 |
МЦНМО
Квадратный трехчлен ax2+bx+c имеет два
действительных корня. Верно ли, что трехчлен
a101x2+b101x+c101
также имеет два
действительных . . .
|
|
 |
шифрующие перестановки цифр
19.04.2002 |
МЦНМО
Цифры 0,1,...,9 разбиты на несколько непересекающихся групп.
Из цифр каждой группы составляются всевозможные числа,
для записи каждого из которых все цифры
группы используются ровно один раз (учитываются и записи,
начинающиеся с нуля). Все полученные числа расположили
в порядке . . .
|
|
 |
двуцветная окружность
18.04.2002 |
МЦНМО
Все точки окружности окрашены произвольным образом в два цвета.
Докажите, что найдется равнобедренный треугольник
с вершинами одного цвета,
вписанный в эту окружность.
Рассмотрим пять точек на окружности, являющиеся вершинами
правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность . . .
|
|
 |
доля списанных ответов
17.04.2002 |
МЦНМО
В тесте к каждому вопросу указаны 5 вариантов ответа.
Отличник отвечает на все вопросы правильно.
Когда двоечнику удается списать,
он отвечает правильно, а в противном случае - наугад
(то есть среди несписанных вопросов он правильно отвечает
на 1/5 часть). За год двоечник правильно . . .
|
|
 |
биссектриса, медиана, высота
16.04.2002 |
МЦНМО
Докажите, что в любом неравнобедренном
треугольнике биссектриса лежит между медианой
и высотой, проведенными из той же вершины . . .
|
|
 |
рыжики и грузди
15.04.2002 |
МЦНМО
В корзине лежат 30 грибов.
Известно, что среди любых 12
грибов имеется хотя бы один рыжик,
а среди любых 20 грибов - хотя бы один груздь.
Сколько рыжиков и сколько груздей . . .
|
|
|
|
|