Научная Сеть

Наука | Задачи

точки касания сферы и плоскости
24.04.2002 | МЦНМО

В пространстве дана плоскость П и точки A и B по одну сторону от П (AB не параллельно П). Рассматриваются сферы, проходящие через точки A и B, касающиеся плоскости П. Докажите, что точки касания этих сфер и плоскости П лежат на одной . . .

	каждое значение - 3 раза 23.04.2002 \| МЦНМО Существует ли непрерывная функция, принимающая каждое действительное значение ровно . . .

перекрашивание полоски
22.04.2002 | МЦНМО

Имеется полоска 1*99, разбитая на 100 клеток 1*1, клетки которой раскрашены через одну в черный и белый цвет. Разрешается перекрашивать одновременно все клетки некоторого прямоугольника 1*k. За какое наименьшее число перекрашиваний можно сделать всю полоску . . .

	два квадратных трехчлена 21.04.2002 \| МЦНМО Квадратный трехчлен ax2+bx+c имеет два действительных корня. Верно ли, что трехчлен a101x2+b101x+c101 также имеет два действительных . . .

	семь ребер многогранника 20.04.2002 \| МЦНМО Докажите, что не существует многогранника, у которого было бы ровно семь . . .

шифрующие перестановки цифр
19.04.2002 | МЦНМО

Цифры 0,1,...,9 разбиты на несколько непересекающихся групп. Из цифр каждой группы составляются всевозможные числа, для записи каждого из которых все цифры группы используются ровно один раз (учитываются и записи, начинающиеся с нуля). Все полученные числа расположили в порядке . . .

двуцветная окружность
18.04.2002 | МЦНМО

Все точки окружности окрашены произвольным образом в два цвета. Докажите, что найдется равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета, вписанный в эту окружность. Рассмотрим пять точек на окружности, являющиеся вершинами правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность . . .

доля списанных ответов
17.04.2002 | МЦНМО

В тесте к каждому вопросу указаны 5 вариантов ответа. Отличник отвечает на все вопросы правильно. Когда двоечнику удается списать, он отвечает правильно, а в противном случае - наугад (то есть среди несписанных вопросов он правильно отвечает на 1/5 часть). За год двоечник правильно . . .

	биссектриса, медиана, высота 16.04.2002 \| МЦНМО Докажите, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины . . .

	рыжики и грузди 15.04.2002 \| МЦНМО В корзине лежат 30 грибов. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов - хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей . . .