 |
сумма векторов
13.02.2002 |
МЦНМО
Клетки доски 2001*2001 раскрашены в шахматном порядке
в черный и белый цвета так, что угловые клетки черные.
Для каждой пары разноцветных клеток рисуется вектор, идущий из
центра черной клетки в центр белой. Докажите, что сумма
нарисованных векторов равна . . .
|
| |
|
многочленное уравнение
12.02.2002 |
МЦНМО
Найдите хотя бы один такой многочлен P(x)
степени 2001, что при всех x выполнено равенство P(x)+P(1-x)=1 . . .
|
| |
|
трафаретный шифр
10.02.2002 |
МЦНМО
Ключом шифра, называемого "решеткой", является
прямоугольный трафарет размера клеток.
В трафарете вырезаны 15 клеток так, что при наложении
его на прямоугольный лист бумаги размера клеток четырьмя
возможными способами его вырезы полностью покрывают всю площадь листа . . .
|
| |
|
две вписанные трапеции
9.02.2002 |
МЦНМО
В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с
соответственно параллельными сторонами.
Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции . . .
|
| |
|
смена знака в строке и в столбце
8.02.2002 |
МЦНМО
Дана квадратная таблица 4*4, в каждой клетке которой
стоит знак "+" или "-":
$
\begin{array}{cccc}
+ & - & + & + \\
+ & + & + & + \\
+ & + & + & + \\
+ & - & + & +
\end{array}
$
За один ход можно поменять знаки на противоположные
в любой строке или любом столбце.
Можно ли через . . .
|
| |
|
равное число волос
7.02.2002 |
МЦНМО
Докажите, что найдутся двадцать москвичей, имеющие
одинаковое число волос на голове.
(Известно, что у человека на голове не более 400000 волос,
а в Москве не менее 8 миллионов . . .
|
| |
|
розыгрыш приза
6.02.2002 |
МЦНМО
В одной из трех коробок лежит приз, две другие коробки пустые.
Вы не знаете, в какой из коробок находится приз, а ведущий знает.
Вы должны показать на одну из коробок, в которой по Вашему мнению
находится приз. После этого ведущий открывает одну из двух
оставшихся коробок. Так как он не хочет . . .
|
| |
|
постройте корень из семи
5.02.2002 |
МЦНМО
На плоскости нарисован правильный шестиугольник со стороной 1.
Пользуясь одной линейкой, постройте отрезок длиной
$\sqrt . . .
|
| |
|
упругие столкновения
4.02.2002 |
МЦНМО
По прямой в одном направлении на некотором
расстоянии друг от друга движутся 5 одинаковых шариков,
а навстречу им движутся 5 других таких же шариков.
Скорости всех шариков одинаковы. При столкновении
любых двух шариков они разлетаются в противоположные стороны
с той же скоростью, с какой . . .
|
| |
|
|
|
