 |
восемь стаканов
5.03.2002 |
МЦНМО
На столе стоят восемь стаканов с водой. Разрешается взять любые
два стакана и уравнять в них количества воды, перелив часть воды
из одного стакана в другой.
Докажите, что с помощью таких операций можно добиться того, чтобы
во всех стаканах было поровну . . .
|
| |
|
круглый биллиард
4.03.2002 |
МЦНМО
Из произвольной точки круглого бильярдного стола пущен шар.
Докажите, что внутри стола найдётся такая окружность,
что траектория шара её ни разу не пересечёт . . .
|
| |
|
вычеркивание делителей
3.03.2002 |
МЦНМО
Выписаны в ряд числа от 1 до 2002. Играют двое, делая ходы поочередно.
За один ход разрешается вычеркнуть любое из записанных чисел вместе
со всеми его делителями. Выигрывает тот, кто зачеркнёт последнее число.
Докажите, что у первого игрока есть способ играть так,
чтобы всегда выигрывать . . .
|
| |
|
делимость на степень двойки
1.03.2002 |
МЦНМО
Докажите, что число Nk=(2k)!/k! делится на 2k
и не делится на 2k+1. (За n! как обычно обозначено
произведение . . .
|
| |
|
ходы королем
28.02.2002 |
МЦНМО
Король стоит на поле a1 шахматной доски. За ход разрешается
сдвинуть его на одну клетку вправо, или на одну клетку вверх,
или на одну клетку вправо-вверх.
Выигрывает тот, кто поставит короля на клетку h8.
Кто выигрывает при правильной . . .
|
| |
|
как зовут сына
27.02.2002 |
МЦНМО
Николай с сыном и Петр с сыном были на рыбалке. Николай поймал столько
же рыб, сколько и его сын, а Петр - втрое больше, чем его сын.
Всего было поймано 25 рыб. Как зовут сына . . .
|
| |
|
разрезание по медианам
26.02.2002 |
МЦНМО
Три равных треугольника разрезали по разноимённым медианам.
Можно ли из получившихся шести треугольников сложить один треугольник? . . .
|
| |
|
целые части
25.02.2002 |
МЦНМО
Положительные иррациональные числа a и b таковы, что 1/a+1/b=1.
Докажите, что среди чисел [ma], [nb] каждое натуральное число
встречается ровно один . . .
|
| |
|
|
|
