периметры граней тетраэдра
20.05.2002 19:32 |
МЦНМО
Дан тетраэдр, у которого периметры всех граней равны между собой.
Докажите, что сами грани равны между собой.
Хочу подсказку
Решение:
Обозначим длины ребер одной из граней за a, b, c.
Ребра, скрещивающиеся с a, b, c обозначим соответственно
за a', b', c'.
Запишем равенство периметров граней, имеющих общее ребро a:
a+b+c=a+b'+c',
откуда b+c=b'+c'.
Аналогично получаем: a+b=a'+b', c+a=c'+a'.
Из этих трех уравнений выводим:
b-b'=c'-c=a-a'=b'-b.
Таким образом, b'-b=b-b', откуда следует, что b=b'.
Аналогично, a=a' и c=c'. Значит, пары скрещивающихся ребер тетраэдра
равны, и тетраэдр является равногранным.
Написать комментарий
|
