Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посетите Сервер по Физике Обратите внимание!
 
  Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Популярные статьи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
 См. также

КнигиКолебания и волны: Характеристики различных колебательных систем (осцилляторов).

Популярные статьиЛабиринты фотонных кристаллов: сверхрешетка

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?

В. Я. Демиховский (Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского)
Опубликовано в Соросовском образовательном журнале, N 5, 1997 г.
Содержание

Посвящается Б.А. Тавгеру, другу и учителю

Почему квантовая механика превращается в инженерную науку?

Квантовая механика - это фундаментальная наука, изучающая свойства мельчайших частиц вещества. Ее законы описывают поведение электронов, атомов или молекул и кажутся весьма странными, необъяснимыми с точки зрения здравого смысла. То, что справедливо в мире обычных тел, с которыми мы имеем дело в технике или повседневной жизни, нередко оказывается неверным в мире атомов.

До недавнего времени инженеры - разработчики электронных приборов в своих расчетах использовали только законы классической физики. И это было вполне оправданно, поскольку, например, в обычном кинескопе телевизора электроны движутся так же, как классические материальные точки - биллиардные шары или мячи. В сложнейшем микропроцессоре компьютера, на котором я провожу расчеты и набираю текст этой статьи, движение микроскопических электронов также подобно движению классических тел. Однако ситуация меняется. Логика развития современной полупроводниковой электроники такова, что интегральные схемы становятся все более сложными и объединяют все большее число элементов. До сих пор изготовителям интегральных схем удавалось увеличивать плотность размещения транзисторов, диодов и других элементов за счет уменьшения их размеров. Вероятно, что в недалеком будущем эти размеры станут порядка нескольких долей микрона. В тот момент, когда это произойдет, описание на языке классической физики потеряет всякий смысл и создатели электронных приборов будут вынуждены обратиться к квантовой механике.

Не дожидаясь этого момента, физики уже накопили большой опыт в разработке приборов, действие которых основано на квантовомеханических принципах. Укладывая атомы с точностью до одного-двух слоев, они могут создавать искусственные кристаллы, молекулы и даже атомы с заданными свойствами. Такие полупроводниковые структуры имеют размеры в несколько нанометров или несколько десятков ангстрем (напомним, что нанометр равен 10-9 м и в десять тысяч раз меньше толщины человеческого волоса). Хотя указанные размеры еще превышают размеры настоящих атомов, электроны в этих структурах ведут себя как квантовые объекты. Можно выделить три основных типа микроструктур: квантовые ямы, нити и точки, причем последние иногда называют искусственными атомами. Изучение этих структур не только открывает новые страницы электронной инженерии, но и сопровождается открытиями фундаментального характера.

В статье речь пойдет о физике полупроводниковых структур. Мы познакомимся с основными идеями, которые используются при разработке квантовых электронных приборов, а также с некоторыми проблемами нанотехнологии. Но прежде всего нам предстоит рассмотреть ряд основных положений квантовой механики, что позволит получить по крайней мере качественное представление о характере явлений, наблюдаемых в квантовых ямах, нитях, точках.

Классические и квантовые законы движения электронов

В классической физике электроны, как и все другие частицы, движутся по траекториям, которые можно рассчитать с помощью уравнений Ньютона. Электроны имеют массу m и электрический заряд e. В области, где есть электромагнитное поле, они движутся ускоренно, а там, где поля нет, движение равномерное и прямолинейное. В любом случае, задавая начальную координату и импульс (или скорость), можно вычислить траекторию. Так, например, с помощью классических уравнений движения рассчитываются электронные траектории в кинескопе или магнетроне. Однако сколь привлекательной и естественной ни казалась бы классическая картина движения, от нее приходится отказаться, если мы собираемся рассматривать электроны, движущиеся в микроскопически малых объемах. Представления, полученные на основе повседневного опыта и чувственного восприятия, неприменимы к микромиру [Пономарев Л.И., 1989].

В квантовой механике картина движения совершенно иная. Эта теория не описывает движения по траектории. Дело в том, что в квантовой механике накладывается ограничение на точность, с которой могут быть заданы начальная координата и импульс частицы. Если координата частицы известна с точностью $\Delta x$, то ее импульс можно определить не точнее, чем

$\Delta p \geq \displaystyle{\frac{\hbar}{\Delta x}}$. (1)

Это знаменитое соотношение неопределенностей Гейзенберга, причем фигурирующая здесь величина $\hbar = 1,05*{10}^{-27}$ эрг*с называется постоянной Планка или квантом действия. Согласно соотношению неопределенностей, очень точное задание координаты электрона $\Delta x$ приводит к большой неопределенности импульса $\Delta p$ и, значит, направление, по которому будет двигаться электрон, предвидеть невозможно.

Рассмотрим сначала, как соотношение неопределенностей сказывается на характере свободного движения. Пусть частица помещена в область размером a. Тогда, согласно (1), разброс ее импульсов по порядку величины будет равен $\Delta p \geq \hbar/a$. Если бы мы следили за движением группы классических частиц, которые локализованы в области a и имеют некоторый разброс импульсов, то увидели бы, что эти частицы разбегаются. За время $\Delta t = 2a/\Delta u$ рой частиц разбежится по области размером 2a. Оказывается, что движение одной квантовой частицы, на которую не действуют внешние силы, в известном смысле аналогично эволюции роя классических частиц. Спустя некоторое время частица, локализованная в ограниченной области, может быть обнаружена в интервале больших размеров. Какой именно путь выберет частица и где она будет обнаружена, предсказать заранее невозможно. Известно только одно: чем точнее определена начальная координата и чем менее точно известен импульс, тем быстрее частица будет удаляться от начальной области локализации. Если вначале частица находилась в области a и, согласно соотношению неопределенностей, разброс скоростей был равен $\Delta u = \Delta p/m = \hbar/am$, то за время $\Delta t = 2m{a}^{2}/\hbar$ область локализации увеличится вдвое. Определенная таким образом величина $\Delta t$ задает время расплывания начального распределения.

Необходимо сказать о главной особенности квантовомеханического описания. Если в некоторый момент времени частица находилась в ограниченной области пространства, то в будущем невозможно достоверно предсказать ее местоположение. Можно говорить о распределении частицы в пространстве и о вероятности этого распределения. Величина, описывающая это распределение, получила название $\Psi$-функции или волновой функции. В чем смысл этой таинственной величины, обозначаемой греческой буквой пси? Она не описывает усредненное поведение большого числа электронов или одного электрона, заряд которого "размазан" по всему пространству. Она дает вероятностное, статистическое описание отдельного электрона. Интенсивность этой функции, а точнее, ее квадрат ${|\Psi|}^{2}$ определяет вероятность обнаружить частицу в той или иной области, точнее, вероятность обнаружить частицу в интервале $\Delta x$ равна ${|\Psi|}^{2} \Delta x$. Волновая функция - это основная характеристика квантовой системы. Она содержит полную информацию об электронах или других частицах в атоме, молекуле, кристалле.

Итак, квантовая механика дает совершенно новую картину физического мира. Электрон подобен волне. Он может испытывать интерференцию, проникать через узкие щели и барьеры, но вместе с тем сохраняет признаки обычной частицы. Действительно, он имеет строго определенную массу, заряд электрона также фиксирован. Кроме того, подобно классической частице, электрон обладает импульсом и энергией.

Необходимо рассмотреть еще одно проявление чисто квантовой природы электрона. Оказывается, что в том случае, когда движение происходит в ограниченной области, его энергия имеет строго определенные, дискретные значения. Говорят, что спектр энергий квантован. Обсудим природу этого явления. Мы знаем, что волны различной физической природы, возбуждаемые в ограниченном объеме, имеют строго определенную длину волны и частоту. Так, натянутая струна или столб воздуха в трубе органа могут звучать только на вполне определенных частотах. Если дернуть струну посередине, то она будет колебаться так, что в центре образуется пучность. В том случае, когда струна прижата пальцем в средней точке, можно возбудить такое колебание, чтобы было две пучности, и т.д. Это стоячие волны. Чтобы форма колебаний не изменялась со временем, частота должна иметь вполне определенные значения. Говорят, что спектр таких колебаний дискретный.

В квантовой механике ситуация аналогичная. Электрон не бегает в ограниченной области, как классическая частица. Если он заперт в атоме, молекуле или любой потенциальной яме, то волновая функция $\Psi$ представляет стоячую волну. Если речь идет о прямоугольной потенциальной яме, которая изображена на рис. 1, то по своей форме волна будет такой же, как и в случае натянутой струны, однако, во-первых, природа волны здесь иная, а во-вторых, дискретным в этом случае будет не спектр частот, а спектр энергий. Стоячие волны, описывающие электронные состояния в яме, - это синусоиды, обращающиеся в точках x = 0 и x = a в нуль:

Волновые функции и уровни энергии частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме
Рис. 1. Волновые функции и уровни энергии частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме. Показаны три нижних энергетических уровня (красный цвет) и три волновые функции

${\Psi}_{n}(x) = \displaystyle{sqrt{\frac{2}{a}}}\sin \displaystyle{\frac{\pi x}{a}}n$, (2)

где n - номер квантового состояния, a - размер ямы. На рис. 1 изображены три такие функции, соответствующие n = 1, 2, 3,... Мы видим, что электронная плотность в яме распределяется неравномерно, есть максимумы и минимумы плотности вероятности. Из формулы (2) следует также, что длины волн $\Psi$-функций, описывающих электронные состояния с различными n, удовлетворяют условиям ${\lambda}_{n}/2 = a/n$, то есть в яме укладывается целое число полуволн.

Теперь найдем разрешенные уровни энергии электрона, находящегося в потенциальной яме. Это можно сделать решив уравнение Шрёдингера, но мы воспользуемся сейчас правилом квантования Н. Бора. Согласно постулату Бора, в потенциальной яме разрешены лишь те траектории, для которых импульс частицы pn и ширина ямы a связаны соотношением

${p}_{n}a = \pi\hbar n$. (3)

Здесь n - номер квантового состояния. Определив отсюда разрешенные значения импульса, без труда найдем и уровни энергии в яме:

${E}_{n} = \displaystyle{\frac{{{p}_{n}}^{2}}{2m}} = \displaystyle{\frac{{\pi}^{2}{\hbar}^{2}}{2m{a}^{2}}}{n}^{2}$. (4)

Обратите внимание на то, что минимальная энергия частицы, находящейся в яме, не может быть равной нулю. Всегда существует так называемая энергия нулевых колебаний, которая, согласно формуле (4), равна ${\pi}^{2}{\hbar}^{2}/(2m{a}^{2})$. Посмотрим, какой порядок имеет величина первого уровня в реальной квантовой яме. Если ширина ямы равна 5 нм, то, согласно (4), имеем E1 = 0,02 эВ. Нужно, однако, иметь в виду, что электронная масса в кристалле может существенно отличаться от массы свободного электрона m = 10-27 г. В типичной ситуации эффективная масса в квантовой яме в десять раз меньше массы свободного электрона. Тогда при той же ширине ямы получим E1 = 0,2 эВ. Эта величина и определяет характерный масштаб электронных энергий в квантовых структурах.

Теперь, рассмотрев основные положения квантовой механики, необходимые для понимания процессов, происходящих в полупроводниковых структурах, обсудим некоторые проблемы нанотехнологии.

Назад | Вперед

Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования