Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука | Задачи
 Посмотреть комментарии[1]  Добавить новое сообщение
диагонали в правильном многоугольнике
10.03.2002 23:53 | МЦНМО

    Дан правильный 10-угольник. Можно ли разбить его вершины на пары так, чтобы расстояния между вершинами во всех этих парах были различны?
  • Хочу подсказку


  •     Решение:
    Ответ: нельзя.
    Предположим, что требуемое в условии возможно.
    Опишем вокруг 10-угольника окружность, и примем длину этой окружности за 10. Заметим, что попарные расстояния между вершинами могут быть равны пяти различным числам, соответствующим дугам длины 1, 2, 3, 4, 5 на описанной вокруг 10-угольника окружности. Таким образом, если вершины разбиты на пары так, что все расстояния между парами различны, то длины дуг, соединяющих вершины в этих парах, должны быть равны числам 1, 2, 3, 4, 5 (каждое число встречается ровно 1 раз.)
    Далее, покрасим вершины 10-угольника в красный и синий цвет через одну. Теперь у нас 5 красных и 5 синих вершин. Заметим, что вершины одного цвета соединены дугой четной длины, а вершины разного цвета соединены дугой нечетной длины. Таким образом, из пяти дуг, соединяющих пары вершин, должно быть нечетное число дуг четной длины. Но среди чисел 1, 2, 3, 4, 5 имеется два четных. Противоречие.


    Посмотреть комментарии[1]
     Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования