Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посетите Сервер по Физике Обратите внимание!
 
  Наука >> Физика >> Общие вопросы >> Справочники >> Физическая энциклопедия | Словарные статьи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
 См. также

Аннотации книгКусраев А. Г. Мажорируемые операторы

Курсы лекций"О развитии теории динамических систем" Д.В.Аносов: Однородные потоки и гипотеза Рагунатана.

Курсы лекцийТеория относительности для астрономов: 7.1.1 Вторые ковариантные производные

Словарные статьиВекторный анализ

Курсы лекцийТеория относительности для астрономов: 6.1 Ковариантное дифференцирование

Курсы лекций"О развитии теории динамических систем" Д.В.Аносов: Симплектическая геометрия.

Словарные статьиАксиальный вектор

Словарные статьиБазис

Популярные статьиМагнитное поле геологического прошлого Земли.: Магнитное поле Земли

Словарные статьиВекторная алгебра

Книги"Введение в криптографию" под редакцией В.В.Ященко: i5

Популярные статьиДинамические системы: фазовая траектория

Книги"Введение в криптографию" под редакцией В.В.Ященко: Пороговые СРС

Словарные статьиВектор состояния

Словарные статьиВакуумный конденсат

Векторное пространство
4.02.2002 16:45 | Phys.Web.Ru
    

Векторное пространство (линейное пространство) - множество элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения и умножения на число. Простейший, но важный пример - совокупность векторов a, b, c, ... обычного 3-мерного пространства. Каждый такой вектор - направленный отрезок, задаваемый тремя числами: $a=\{x_1, x_2, x_3\}$; числа $x_1, x_2, x_3$ называются координатами вектора. При умножении вектора на вещественное число $\lambda$ соответствующий отрезок, сохраняя направление, растягивается в $\lambda$ раз: $\lambda a=\{\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3\}$. Сумма двух векторов находится по правилу параллелограмма; если $a=\{x_1, x_2, x_3\}$ и $b=\{y_1, y_2, y_3\}$ то $a+b=\{x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3\}$. Паре векторов a и b сопоставляют также скалярное произведение $(ab)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$ (см. Векторная алгебра). Непосредственным обобщением З-мерного пространства является n-мерное евклидово пространство. Его элементы - упорядоченные наборы вещественных чисел, Например, $a=\{x_1, x_2, ... x_n\}$, $b=\{y_1, y_2, ... y_n\}$. Сложение и умножение векторов на число определены формулами $a+b=\{x_1+y_1, x_2+y_2, ... x_n+y_n\}$, $\lambda a=\{\lambda x_1, \lambda x_2, ... \lambda x_n\}$, а скалярное произведение - формулой $(ab)=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n$ Примером комплексного бесконечномерного векторного пространства может служить совокупность $L^2(\mathcal{R}^1)$ комплексных функций f, заданных на всей оси $R^1$ и квадратично суммируемых (то есть имеющих конечный интеграл $\int^{\propto}_{\propto} \mid f(x)\mid^2dx$). Многие классы функций, например, полиномы заданного порядка, функции непрерывные, дифференцируемые, интегрируемые, аналитические и тому подобные, также образуют бесконечномерные векторные пространства.

В каждом векторном пространстве, помимо операций сложения и умножения на число, обычно имеются те или иные дополнительные операции и структуры (например, определено скалярное произведение). Если же не уточняют природы элементов векторного пространства и не предполагают в нем никаких дополнительных свойств, то векторное пространство называют абстрактным. Абстрактное векторное пространство L задают с помощью следующих аксиом:

  1. любой паре элементов х и у из L сопоставлен единственный элемент z, называемый их суммой z=x+y и принадлежащий L;
  2. для любого числа $\lambda$ и любого элемента x из L определен элемент z, который называется их произведением $z=\lambda x$ и принадлежащий L;
  3. операции сложения и умножения на число являются ассоциативными и дистрибутивными.
Сложение допускает обратную операцию, то есть для любых х и у из L существует единственный элемент w из L такой, что x+w=y. Кроме того, имеют место формулы $\lambda(x+y)=\lambda x +\lambda y$. Если все числа $\lambda$ вещественны (комплексны), говорят о вещественном (комплексном) векторном пространстве; множество чисел $\lambda$ называют полем скаляров L. Понятие векторного пространства можно ввести и для произвольного поля, например, поля кватернионов.

Если $x_1, x_2, ... x_s$ - элементы векторного пространства L, то выражение вида $\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+ ... +lambda_s x_s$ называется их линейной комбинацией; совокупность всех линейных комбинаций элементов подмножества S из L называют линейной оболочкой S. Векторы $x_1, x_2, ... x_s$ из L называют линейно независимыми, если условие $\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+ ... +\lambda_s x_s=0$ ($\lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_s$ - любые элементы поля скаляров) может выполняться только при $\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_s=0$. Бесконечная система векторов называется линейно независимой, если любая ее конечная часть является линейно независимой. Множество элементов $x_1, x_2, ...$ подмножества S из L называется системой образующих S, если любой вектор х из S можно представить в виде линейной комбинации этих элементов. Линейно независимая система образующих S называется базисом S, если разложение любого элемента S по этой системе единственно. Базис, элементы которого каким-либо образом параметризованы, называется системой координат в S. Базис векторного пространства всегда существует, хотя и не определяется однозначно. Если базис состоит из конечного числа n элементов, то векторное пространство называется n-мерным (конечномерным); если базис - бесконечное множество, то векторное пространство называется бесконечномерным. Выделяют также счетномерные векторные пространства, у которых имеется счетный базис.

Подмножества векторного пространства L, замкнутые относительно его операций, называются подпространствами L. По любому подпространству S можно построить новое векторное пространство L/S, называемое фактор-пространством L по S: каждый его элемент есть множество векторов из L, различающихся между собой на элемент из S. Размерность L/S называется коразмерностью подпространства S в L; если размерности L и S равны соответственно n и k, то коразмерность S в L равна n-k. Если J - произвольное множество индексов i и Si - семейство подпространств L, то совокупность всех векторов, принадлежащих каждому из Si, есть подпространство, называется пересечением указанных подпространств и обозначаемое $\cap_{i}S_i$. Для конечного семейства подпространств S1, ..., Ss совокупность всех векторов, представимых в виде
$x=x_1+x_2+x_3+....x_s$, xi из Si, (*)
есть подпространство, называемое суммой S1, ..., Ss и обозначаемое S1+ ... +Ss. Если для любого элемента суммы S1+ ... +Ss представление в виде (*) единственно, эта сумма называется прямой и обозначается $S_1 \oplus ... \oplus S_s$. Сумма подпространств является прямой тогда и только тогда, когда пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора. Размерность суммы подпространств равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения. Векторное пространство L1 и L2 называют изоморфным и, если существует взаимно однозначное соответствие между их элементами, согласованное с операциями в них; L1 и L2 изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

Конкретные примеры векторного пространства можно найти в математическом аппарате практически любого раздела физики. Конечномерными вещественными векторными пространствами являются, например, трехмерное физическое пространство $\mathcal{R}^3$ (без учета кривизны), конфигурационное пространство $\mathcal{R}^{3n}$ и фазовое пространство $\mathcal{R}^{6n}$ системы n классических точечных частиц. К числу бесконечномерных комплексных векторных пространств принадлежат гильбертовы пространства, конкретные и абстрактные, составляющие основу математического аппарата квантовой физики. Простейший пример гильбертова пространств уже упоминавшееся пространство $L^{2}(\mathcal{R}^1)$. Основные физические примеры - пространства векторов состояний различных систем микрочастиц, изучаемых в квантовой механике, квантовой статистической физике и квантовой теории поля. Находят применение и такие векторные поля, у которых поле скаляров не совпадает со множеством вещественных или комплексных чисел: так, гильбертово пространство над полем кватернионов используется и одной из формулировок квантовой механики, а гильбертово пространство над полем октонионов - в одной из формулировок квантовой хромодинамики. В современных теориях суперсимметрии интенсивно применяются так называемые градуированные векторные поля, то есть линейные пространства вместе с их фиксированным разложением в прямую бесконечную сумму подпространств.


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования