Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Дифференциальные уравнения | Популярные статьи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение

Русское издание сочинений Давида Гильберта

Академик В.И.Арнольд, Москва
Опубликовано в журнале "Природа", N 4, 1999 г.
В начало

То поразительное объединение физики и математики на высшем уровне - самая характерная черта современной нам математики - удивительным образом совершенно не было предсказано Гильбертом, который пытался в своих "Математических проблемах", сформулированных на пороге XX в., определить пути развития математики.

Если в первой половине уходящего века влияние Гильберта казалось основополагающим, то сейчас уже совершенно ясно, что и его предшественник А.Пуанкаре, и его ученик Вейль видели дальше. Современная математика гораздо в большей степени зависит от фундаментально новых точек зрения Пуанкаре, создателя топологии и теории динамических систем (а также теории автоморфных функций и множества других разделов математики и физики), чем от технически- обосновательских достижений Гильберта (без которых, конечно, математика не могла бы двигаться по указанному Пуанкаре пути).

Гильберту принадлежит формальная точка зрения на математику как на дедуктивный вывод логических следствий из заданных аксиом. Эта точка зрения безусловно справедлива, но лишь в той мере, в какой поэзия сводится к последовательностям букв определенных алфавитов.

Дедуктивные выводы и доказательства играют в математике такую же роль, как орфография и даже каллиграфия в поэзии - они совершенно необходимы, но никоим образом не достаточны.

Образ вычислительной машины, последовательно выводящей все следствия из заданных аксиом, восходит к Лапутянской Академии Дж.Свифта. Пуанкаре давно уже подчеркивал, что не сами выводимые утверждения, а субъективные суждения об их значении и перспективах составляют суть математики, и относился поэтому скептически ко всем попыткам полностью ее формализовать. Гильберт, напротив, неизменно высказывался патетически-оптимистически, не сомневаясь в возможности дедуктивно-логического решения любого вопроса, коль скоро он точно математически сформулирован. "Мы должны знать - мы будем знать!", "неразрешимых проблем не существует вообще", "для математика не существует непознаваемого (ignorabimus)", - говорил он накануне доказательства теоремы К.Геделя о неполноте математики, положившей конец этим надеждам.

Я думаю, однако, что значение этих ошибочных высказываний Гильберта для открытия Геделем невозможности решения всех вопросов в любой сколько-нибудь нетривиальной (содержащей арифметику) математической формальной теории нельзя преуменьшать. Именно чрезмерный оптимизм Гильберта побудил Геделя доказывать существование в любой математической теории таких утверждений, что как их справедливость, так и их ложность в одинаковой мере можно добавить к этой теории в качестве новой аксиомы. Сегодня математики знают, что именно таков статут не только парадокса лжеца (X утверждает, что он лжец - правда ли это?), но и многих настоящих математических вопросов (вроде проблемы континуума: всякое ли бесконечное подмножество множества вещественных чисел можно привести во взаимнооднозначное соответствие либо со множеством всех целых, либо - всех вещественных чисел?). Две математики - в одной из которых проблема континуума решается положительно, а в другой отрицательно - одинаково непротиворечивы. Ни доказать, ни опровергнуть (в гильбертовском смысле справедливости математического утверждения как отсутствия противоречия при его принятии) утверждение о существовании множеств промежуточной мощности (между мощностями счетного множества и континуума) невозможно. Ибо каждая из этих двух математик моделируется внутри другой (составляя в некотором смысле ее часть).

Проблема континуума (сформулированная еще Г.Кантором) - одна из важнейших проблем, обсуждавшихся Гильбертом в его знаменитом докладе Парижскому математическому конгрессу. Пуанкаре говорил, что по-настоящему интересны только те проблемы, которые (в отличие от проблемы Ферма) невозможно полностью решить, т.е. когда на вопросы нельзя ответить "да" или "нет". Важно, по мнению Пуанкаре, само движение в направлении, не подсказываемом проблемой. Достижения на этом пути, даже доставляющие частичный успех, нередко важнее самой проблемы.

Гильберт, напротив, предпочитал четко поставленные вопросы, и большая часть его проблем сформулирована настолько четко, что почти всегда можно формально определить, решает ли данная работа проблему или нет. Исключение составляют только проблемы типа "дать аксиоматическое построение физики", не являющиеся чисто математическими.

Точное определение математики представляет значительные затруднения. На мой взгляд, математика - это та часть физики, в которой эксперименты очень дешевы. В таком случае это - индуктивная, экспериментальная наука, в которой доказательства играют лишь подсобную роль своеобразного ОТК.

Замечу в связи с этим, что формальные доказательства практически не предохраняют математиков (даже самых лучших) от ошибок, а скорее являются их источником. Хорошо известны многочисленные примеры ошибок Г.Лейбница (думавшего вначале, что дифференциал произведения равен произведению дифференциалов), О.Коши ("строго доказывавшего" непрерывность предела сходящейся последовательности непрерывных функций), Ж.Лагранжа (думавшего, что все жордановы клетки имеют максимально возможный порядок), Пуанкаре (доказывавшего вначале совпадение гомотопий с гомологиями и употребившего свою премию за работу о задаче трех тел для перепечатки тиража ошибочного текста этой работы).

Работы Гильберта - не исключение. Составителям оригинального издания его сочинений пришлось вносить многочисленные исправления в тексты его работ, но ошибки все же остались даже в "Математических проблемах". Например, обсуждая в комментарии к 16-й проблеме вопрос о возможном топологическом строении плоской алгебраической кривой шестой степени, Гильберт утверждает: ему удалось доказать, что из одиннадцати компонент кривой одна обязательно содержит внутри либо одну, либо девять других.

В действительности одиннадцать компонент кривой шестой степени могут быть расположены и запрещенным Гильбертом способом: число внутренних овалов может быть равно еще и пяти. Этот результат замечательного нижегородского математика Д.А.Гудкова, ученика А.А.Андронова и последователя И.Г.Петровского, обнаружившего экспериментально роль сравнений по модулю 8 в этой проблеме вещественной алгебраической геометрии, привел к открытию поразительной связи теории алгебраических кривых с топологией четырехмерных многообразий. Тем самым были заложены основы большой области современной математики - вещественной алгебраической геометрии. Я хотел бы подчеркнуть, однако, что, во-первых, источником, из которого возникла эта замечательная теория, была упомянутая выше ошибка Гильберта, а во-вторых, вопрос о том, как могут быть расположены на плоскости 22 овала кривой степени 8, остается открытым и сегодня. Несмотря на то, что этот вопрос в принципе мог бы быть решен компьютером, вклад компьютеров в вещественную алгебраическую геометрию остается удивительно ничтожным.

У Гильберта встречаются фразы вроде: "Все три основные ветви математики - именно, теория чисел, алгебра и теория функций..." (т.II, с.421). По-видимому, он не только не ценил геометрии (считая ее всего лишь ветвью физики), но и плохо понимал ее. Например, признавая гениальность своего друга - геометра Г.Минковского, Гильберт ставит ему в заслугу совершенно очевидное замечание о возможности покрыть плоскость параллелограммами (т.II, с.452), а при перечислении достижений другого своего друга, А.Гурвица, забывает отметить именно те его геометрические работы, которые сегодня наиболее часто упоминаются: исследование пространств накрытий римановой сферы с данными точками ветвления (ныне называемых "пространствами Гурвица") и доказательство теоремы типа Штурма о нулях рядов Фурье (переносящей неравенства Морса на высшие производные и имеющей фундаментальное значение для симплектической и контактной топологии и глобальной топологической теории особенностей распространяющихся волновых фронтов).

Я думаю, что именно Гильберт стоит у истоков того гонения на геометрию, которое было подхвачено группой Бурбаки и которое привело к нынешним попыткам министров образования, прошедших через унижение бурбакизированным обучением математике, вовсе изгнать ее из школьных программ. Уже и в России появились дипломированные историки, не умеющие складывать дроби.

Интересно, что попытка Бурбаки изгнать геометрию и особенно чертежи из преподавания объясняется нынешними французскими математиками (П.Картье) борьбой иудеев и протестантов (составлявших ядро группы Бурбаки) с католиками. Дело в том, что библейский запрет изображений в храме и протестантское иконоборчество сводятся, в применении к математике, к изгнанию чертежей и вообще геометрии.

Оценивая место математики в ряду естественных наук, Гильберт писал в 1930 г.: "Геометрия есть не что иное, как ветвь физики, геометрические истины ни в одном отношении принципиально не отличаются от физических и устанавливаются так же, как и они".

Занявший место Гильберта в глазах математиков бурбакистского поколения замечательный французский тополог Ж.-П.Серр писал мне летом 1998 г.: "Если бы я писал такой текст, я бы начал с объяснения того, что математика полностью отлична от физики... Математикам не следует писать о таких философских вопросах, потому что даже лучшие из них способны написать совершеннейшую чепуху".

Я полагаю, однако, что расходясь во взглядах на физику, Серр согласился бы с Гильбертом в его поддержке Пуанкаре в споре со Л.Н.Толстым о том, нужна ли обществу математика и вообще фундаментальная наука. Говоря словами Гильберта, "достижения промышленности никогда не появились бы на свет, если бы в мире существовала одна лишь практика и если бы этим достижениям не способствовали незаинтересованные безумцы, никогда даже не помышлявшие о какой-либо практической пользе".

Кажется поразительным, что эту простую мысль и сегодня все еще не удается довести до сознания хозяев жизни ни в одной стране. Основные открытия, на которых основана современная цивилизация и материальная культура, обогатили не их изобретателей и первооткрывателей, а "индустриальную и прикладную" предпринимательскую деятельность бизнесменов от науки - тенденция, борьбе с которой Гильберт посвятил многие яркие страницы своих статей, вошедших в рецензируемое собрание.

Можно выразить удивление, почему русский перевод сочинений Гильберта не появился в академическом издательстве "Наука" ни много лет назад, ни сейчас. Быть может, именно этим объясняется неожиданная при публиковании такой замечательной книги неряшливость перевода, порой свидетельствующая о непонимании научного содержания текста как переводчиком (старомодный немецкий Гильберта иногда труден даже для современных немцев), так и редактором.

Приведу лишь несколько примеров. Гильберт пишет: "Понятие одновременности само по себе не существует". Переводчик: "Понятие одновременности существует само по себе" (т.II, с.345). У Гильберта: "...отображение проективной плоскости в конечное [пространство]". В переводе: "...отображение проективной плоскости в ее конечную часть" (т.I, с.357). Гильберт пишет: "перпендикуляры к плоскости...". Перевод: "Перпендикуляры на плоскости..." (т.II, с.9). "Разложимость идеалов" в переводе превратилась в "разрешимость идеалов" (т.II, с.439). Переводчику и редактору читатель обязан и такими перлами, как "Гурвиц получил результаты, имевшие значения и для практического использования"; "при исследовании по некоторым краевых задач" (т.II, с.92), "площадью своих граней" (т.II, с.455).

Описывая математику своего времени, Гильберт гордо говорит о "несомненном и непревзойденном превосходстве немецкой математики" (т.II, с.454). После уничтожения немецкой науки нацистами от этого превосходства не оставалось и следа. Собрание сочинений Гильберта - памятник замечательному периоду истории немецкой науки. Он свидетельствует, что достижения науки останавливали фашистских молодчиков не больше, чем они останавливали римских легионеров во времена Архимеда. Можно опасаться, что и российскую математику, все еще замечательную, ожидает судьба, подобная судьбе математической школы Гильберта.

Назад


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования