Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Дифференциальные уравнения | Популярные статьи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение

Русское издание сочинений Давида Гильберта

Академик В.И.Арнольд, Москва
Опубликовано в журнале "Природа", N 4, 1999 г.
В начало

Давид Гильберт. Избранные труды. В 2 т. М.: Факториал, 1998.
Т.I. Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики. 578 с.;
т.II. Анализ. Физика. Проблемы. Personalia. 608 с.

Издательство "Факториал" выпустило два тома собрания сочинений Давида Гильберта - крупнейшего и знаменитейшего, легендарного математика XX в. (Кенигсберг, 1862 - Геттинген, 1943).

Имя Гильберта знает каждый математик или физик. Гильбертово пространство (от которого он всегда отрекался) - фундамент квантовой механики (которой он не занимался). Учебник "Методы математической физики" Р.Куранта и Д.Гильберта (который он не писал) преобразовал огромную область современной математики и остается незаменимым пособием для всех потребителей математической физики во всех странах. Двадцать три "проблемы Гильберта" (большинство из которых не было, вопреки легенде, сформулировано им во время доклада Международному математическому конгрессу в Париже в 1900 г.) оказали несомненное влияние на развитие многих разделов математики в XX в. Принадлежащая Гильберту программа алгебраизации и формализации математики, подхваченная Н.Бурбаки, совершенно изменила математический язык и преподавание нашей науки практически во всех странах (хорошо это или плохо - другой вопрос).

Согласно Г.Вейлю, Гильберт был "крысоловом, увлекшим за собой слишком многих в глубокие воды математики".

Культ личности Гильберта, олицетворявшего математику, в которой он достиг огромных успехов, породил у "человека с улицы" то представление о математике в "башне из слоновой кости", которое в конце концов привело к резко отрицательному отношению общества (и большинства правительств) к математике и науке вообще.

Среди легенд о Гильберте имеется и такая. Ф.Клейн, обычно представлявший математику в инстанциях, планирующих развитие науки и делящих деньги между науками, однажды заболел и послал вместо себя Гильберта. Когда дело дошло до математики и Гильберта спросили, зачем она нужна, он ответил: "Математика никогда не имела, не имеет и никогда не будет иметь никаких приложений". Больше Клейн Гильберта взамен себя никогда не посылал.

Основные достижения Гильберта относятся к теории чисел, где его влияние до сих пор остается основополагающим. Человеческий мозг делится на два полушария: левое отвечает за языки, последовательные дедуктивные рассуждения, вычисления и шахматы, а правое - за пространственную ориентацию, движение, эмоции и все нужное в реальной жизни. Гильберт, несомненно, был ярким представителем левополушарных математиков (склад ума которых блестяще описан В.Набоковым в "Защите Лужина").

Вероятно, именно Гильберту удалось достичь на этом трудном пути наивысших достижений (они называются теорией полей классов, решением проблемы Э.Варинга о представлении каждого целого числа суммой достаточно большого числа данных одинаковых степеней целых чисел и т.д.). Не стану пытаться объяснить здесь все эти результаты (хотя сам Гильберт говорил, что по-настоящему хороший математический результат можно растолковать "человеку с улицы"). Поясню только, что человеческий ум не был создан для решения таких задач и что основной путь в теории чисел - обходной: это использование идей, происходящих из совершенно других областей математики (как правило, из геометрии, но в последнее время - также из квантовой теории поля, комбинаторики, логики, теории алгебр Ли и даже криптографии и теории особенностей).

Простейшие примеры глубоких аналогий между теорией чисел и теорией функций указал уже И.Ньютон (рассматривавший степенные ряды как прямое обобщение десятичных бесконечных дробей, а весь математический анализ - как "универсальную арифметику"). Следуя подобной аналогии, современные математики достигли высокой степени виртуозности в приложениях идей алгебраической геометрии (т.е. теории кривых и поверхностей, заданных полиномиальными уравнениями, вроде уравнения окружности $x^2+y^2=1$) к исследованию задач алгебраической теории чисел.

Древнейшей является здесь задача об отыскании на окружности всех точек с рациональными координатами, т.е. об отыскании всех "пифагоровых троек" вроде $3^2+4^2=5^2$. Треугольники с такими сторонами называют египетскими (так как индусы и вавилоняне использовали их задолго до египтян)1.

В этой простейшей задаче теории чисел успех достигается при помощи рассмотрения всех прямых на плоскости, проходящих через одну рациональную точку окружности. Такая прямая имеет рациональный тангенс угла наклона к оси абсцисс тогда и только тогда, когда она пересекает окружность в еще одной рациональной точке. Это позволяет, начав, например, с точки $(-1,0)$, получить все пифагоровы тройки (ответ: $x=u^2 - v^2$, $y=2uv$, $z=u^2+v^2$). В более сложных задачах геометрическая идея обычно не столь проста. Например, недавнее решение английским математиком Э.Уайлсом проблемы Ферма (доказать неразрешимость в ненулевых целых числах уравнения $x^n+y^n=z^n$ с $n \gt 2$) основано на теории эллиптических кривых, заданных кубическими уравнениями. В теории этих кривых исследуются эллиптические интегралы (доставляющие, в частности, "истинный" закон колебаний маятника, как выражался К.Якоби). Связь интегралов с теорией чисел поразительная. Комплексные точки эллиптической кривой образуют поверхность тора. Этот факт, известный из алгебраической геометрии (где он был открыт или Л.Эйлером, Г.Абелем, Якоби, или К.Гауссом), оказывается фундаментальным и для теории чисел, в которой все множество точек становится дискретным и применение топологических соображений, основанных на непрерывности, рискованно.

И тем не менее именно последовательный анализ таких рискованных аналогий, позволяющих использовать "правополушарную" геометрическую и даже топологическую интуицию и технику, послужил фундаментом для большинства достижений и программ послегильбертовской теории чисел.

Другой фундаментальной областью математики, совершенно преобразованной Гильбертом, явилась теория инвариантов (обобщающая теорию симметрических функций и "соображения симметрии" физиков).

Используя сегодняшнюю терминологию, можно сказать, что Гильберт создал коммутативную и гомологическую алгебру. Но современные ему математики этого не знали и потому считали его результаты "теологическими" (выражение П.Гордана, предшественника Гильберта в теории инвариантов и изобретателя так называемых базисов Гребнера). Дело в том, что Гильберт вместо вычисления инвариантов начинает с теорем конечности, утверждающих, что все интересующие нас объекты (инварианты и т.п.) выражаются через конечное число базисных. Поскольку для явного вычисления этих базисных объектов Гильберт вначале не предлагал никакого метода, возражение Гордана имело некоторое основание.

Эффективное вычисление гильбертовых базисов стало возможным во многих случаях лишь с появлением программ компьютерной алгебры. Эти программы используют базисы Гребнера (изобретенные им для нужд асимптотической теории уравнений с частными производными и являющиеся сегодня самым мощным средством компьютерной алгебры). Но эти базисы, ранее применявшиеся Горданом с целью детеологизации результатов Гильберта, были в сущности частным случаем общих базисов Гильберта, позволивших ему построить свою "теологическую" теорию инвариантов.

Самые важные для приложений математические методы изобретаются обычно не при решении определенных прикладных задач, а в ходе построения общих теорий, которые без этих методов не могли бы быть созданы.

Удивительно, однако, что Гильберт совершенно не заметил поразительные геометрические следствия своих открытий, которые были доказаны лишь позже Горданом и заложили основу современной теории "торических многообразий" - грандиозного развития "геометрии формул" и метода многоугольника (многогранника) Ньютона, ставшего первым прообразом теории преобразований Фурье. Простейшее из этих следствий - теорема конечности в теории выпуклых конусов. Рассмотрим конус, определенный системой линейных неравенств с целочисленными коэффициентами
$a_1 x_1 + ... + a_{1n} x_n \gt 0$ ,...,
$a_{m1} + ... + a_{mn} \gt 0$.
Все целочисленные решения ($x_1, ..., x_n$) являются тогда суммами конечного числа целых кратных "базисных" решений. Этот факт совершенно неочевиден уже в трехмерном случае (n=3).

Большую часть сочинений Гильберта занимает его книга по теории интегральных уравнений. Сегодня интегральные уравнения включаются в область математики, которая называется функциональным анализом, т.е. анализом с бесконечным числом независимых переменных. Трудно представить себе, что всего сто лет назад эта теория (ее теперь каждый студент усваивает на младших курсах вместе со сложением простых дробей) не была еще создана.

Математический язык меняется каждые 10-20 лет, и читать Гильберта сегодня нелегко. Новые идеи и методы появляются у него не в виде немотивированных и непонятных определений сложных структур, как это принято у математиков после Бурбаки, а внутри доказательств частных случаев общих теорем. Гильберт не утруждает себя описанием максимально общей ситуации, где его идеи работают. Например, вместо того чтобы определить, как это сделал бы любой современный математик, общее понятие нетеровского кольца, Гильберт доказывает свою теорему о базисе лишь для полиномиальных идеалов2.

Это, конечно, исчерпывает вопрос для склонного к обобщениям правополушарного математика, но совершенно недопустимо для способного лишь к дедукции левополушарного. Комментаторы (А.Н. Паршин, Э.Б.Винберг, В.Л.Попов, Ю.А.Данилов и др.) провели большую работу, описав в приложениях к текстам Гильберта как смысл этих текстов в современной терминологии, так и их развитие за истекшие десятилетия.

Развивающих идеи Гильберта работ так много, что эти обзоры не могут быть полными. Мне хочется все же отметить один явный пробел комментария к 14-й проблеме Гильберта. Дело в том, что работы по этой чисто алгебраической пробеме неожиданно оказались чрезвычайно полезными в совершенно другой области математики - симплектической топологии (т.е. топологии фазовых пространств гамильтоновых динамических систем механики). Круг на плоскости можно разбить на любое число частей одинаковой площади так, что внутренность каждой части будет получаться из меньшего круга при помощи сохраняющего площади гладкого отображения. Оказывается, в симплектическом фазовом пространстве гамильтоновой системы дело обстоит иначе: равенство объемов в этом случае уже не достаточно для того, чтобы одна часть фазового пространства переходила в другую под действием фазового потока гамильтоновой системы дифференциальных уравнений с каким бы то ни было гамильтонианом.

Это недавнее открытие теории гамильтоновых систем (или, как ее теперь называют, симплектической топологии) даже ставит под сомнение некоторые рассуждения статистической механики, где частицы фазового пространства, имеющие одинаковый объем, обычно считаются свободно переставляемыми независимо от их формы.

В применении к шарам в четырехмерном фазовом пространстве вопрос о "симплектических упаковках" на сегодня решен полностью: точно известно, какую максимальную часть большого шара могут покрыть непересекающиеся образы нескольких одинаковых меньших шаров под действием фазового потока какой-либо гамильтоновой системы. Ответ совершенно удивителен: два шара покрывают не более половины объема большего шара, три - не более трех четвертей, пять - не более четырех пятых, шесть - не более 24/25, семь - не более 63/64, восемь - не более 288/289.

Четыре меньших шара, а также любое число одинаковых меньших шаров, большее восьми, могут покрыть большой шар почти полностью (оставив не покрытой сколь угодно малую его долю).

Это замечательное открытие (принадлежащее ученице И.М.Гельфанда - Д.Макдафф, ученику Я.Г.Синая - Л.Полтеровичу и ученику Полтеровича - П.Бирану) основано на контрпримерах японского математика М.Нагата к 14-й проблеме Гильберта, в которой идет речь об абстрактно алгебраических вопросах, не имеющих на первый взгляд к гамильтоновой динамике никакого отношения. Контрпримеры Нагата обсуждаются комментаторами книги Гильберта, но их приложения в симплектической топологии от комментаторов, видимо, ускользнули. Я позволю себе высказать здесь предположение, что проявившаяся в этом примере так ярко связь между симплектической топологией и алгебраической геометрией комплексных многообразий не случайна, а служит еще одной иллюстрацией удивительной двойственности, обнаруженной физиками в квантовой теории поля. Эта двойственность всегда переставляет местами симплектическую и комплексную геометрии, и, быть может, самым ярким тому свидетельством явилось недавнее доказательство А.Б.Гивенталем "гипотезы зеркальной симметрии" физиков, также основанное на идеях симплектической геометрии.


1 Автор подчеркивает распространенную традицию называть явление не по имени его первооткрывателя. - Примеч. ред.
2 В человеческих терминах теорема Гильберта гласит: любая бесконечная система уравнений $f_i(x)=0$ эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме. Именно подобные теоремы существования Гордан называл теологическими.

Вперед


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования