Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посетите Сервер по Физике Обратите внимание!
 
  Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
 См. также

НовостиПервые шаги аттофизики

Популярные статьиМагнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Популярные статьиЛабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Словарные статьиАвтоэлектронная эмиссия

НовостиНовости физики в банке препринтов

Словарные статьиАморфные и стеклообразные полупроводники

Популярные статьиСканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Популярные статьиНаноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Словарные статьиОже-эффект

КнигиПрецизионная Фотометрия: 2922

Популярные статьиРоль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Популярные статьиСканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Популярные статьиКвантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

НовостиФизика 2002: итоги года

Популярные статьиМежатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Словарные статьиАнтивещество

Популярные статьиКвантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Словарные статьиАкустический парамагнитный резонанс

Популярные статьиЯдерный магнитный резонанс: Введение

Популярные статьиТермояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.
Содержание

1.2. Статистика ферми-частиц.

1.2.1. Функция распределения Ферми-Дирака

Ферми-частицы, к которым относятся и электроны, описываются не только энергией и импульсом, но и собственным - внутренним моментом количества движения, называемым спином (от английского слова spin - "веретено"). Проекции спина электрона на выделенное направление (например, направление напряженности магнитного поля - ось z) имеет лишь два значения, равные $\ell _{ sz} = \pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}\hbar$. Обычно величину спина измеряют в единицах $\hbar$. Тогда спин электрона принимает значения $s = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \ell _{ sz} }}{\displaystyle {\displaystyle \hbar }}} = \pm {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}$.

Распределение частиц с полуцелым спином (ферми-частиц) по энергии определяется функцией Ферми-Дирака. Принцип Паули (принцип запрета), вводимый для ферми-частиц, запрещает двум (и более) тождественным частицам с полуцелым спином одновременно находиться в одном состоянии. Для свободного электрона состояние задается значением волнового вектора k. Таким образом, принцип Паули вносит корреляцию между частицами. Вероятность какой-либо частице занять то или иное состояние зависит от степени заполнения состояний остальными частицами.

Найти вид функции распределения Ферми-Дирака можно, рассматривая систему ферми-частиц, находящуюся в термодинамическом равновесии при температуре $Т$ и содержащую $n_{ 1}$ частиц с разными спинами в состояниях с энергией $E_{ 1}$ и $n_{ 2}$ частиц в состояниях с энергией $E_{ 2}$.

Пусть энергии $E_{ 1}$ соответствует число возможных состояний $g_{ 1}$ ( $g_{ 1}$ - степень вырождения энергетического уровня $E_{ 1}$ [А.Н.Матвеев, 1987]), а энергии $E_{ 2}$ - число состояний $g_{ 2}$ ($g_{ 2}$ - степень вырождения энергетического уровня $E_{ 2}$). Термодинамическая вероятность [А.Н.Матвеев, 1987] $\Gamma _{ 1}$ указанного выше заполнения уровня энергии $E_{ 1}$ , то есть число различных вариантов заполнения, при которых из $g _{ 1 }$ состояний $n _{ 1}$ заняты, а $p _{ 1}=g_{ 1}-n_{ 1}$ состояний свободны, равно числу сочетаний [А.Н.Матвеев, 1987] $C_{ g_{ 1} }^{ n_{ 1} }$ :

$\Gamma _{ 1} = C_{ g_{ 1} }^{ n_{ 1} } = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g_{ 1} !}}{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle g_{ 1} - n_{ 1} } \right)\,!n_{ 1} !}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g_{ 1} !}}{\displaystyle {\displaystyle p_{ 1} !n_{ 1} !}}}.$

Аналогично число $\Gamma _{ 2}$ возможных состояний системы, когда из $g_{ 2}$ состояний с энергией $E_{ 2}$ занято частицами $n_{ 2}$ состояний, а $p_{ 2}=g_{ 2}-n_{ 2}$ состояний свободны, равно

$\Gamma _{ 2} = C_{ g2}^{ n_{ 2} } = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g_{ 2} !}}{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle g_{ 2} - n_{ 2} } \right)\,!n_{ 2} !}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g_{ 2} !}}{\displaystyle {\displaystyle p_{ 2} !n_{ 2} !}}}.$

При этом учитывается, что в каждом состоянии может находиться только одна ферми-частица с заданным направлением спина.

Число способов, которыми осуществляется такое распределение всей системы частиц по состояниям (термодинамическая вероятность данного распределения частиц), когда одновременно из $g_{ 1}$ и $g_{ 2}$ состояний с энергиями $E_{ 1}$ и $E_{ 2}$ заполнено частицами соответственно $n_{ 1}$ и $n_{ 2}$ состояний, определяется как произведение термодинамических вероятностей Г1 и Г2 :

$ \Gamma = \Gamma _{ 1} \Gamma _{ 2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g_{ 1} !g_{ 2} !}}{\displaystyle {\displaystyle n_{ 1} !p_{ 1} !\,n_{ 2} !p_{ 2} !}}}.$(1.12)

Пусть теперь некоторое возмущение вызывает переход частиц с одного уровня энергии на другой. При этом увеличение числа заполненных состояний на уровне $E_{ 1 }$ происходит за счет уменьшения такого же числа состояний на уровне $E_{ 2}$, то есть $d n_{ 1}=- d n_{ 2}$, так как полное число заполненных состояний (полное число частиц) остается постоянным. В результате энергия системы $E=n_{ 1}E_{ 1}+n_{ 2}E_{ 2}$ изменится на величину

$dE=(E _{ 1}-E_{ 2} )dn _{ 1} $(1.13)

При таком переходе становится другой и величина термодинамической вероятности $\Gamma$ распределения энергии. Найдем изменение ее логарифма $d (\ln Г)$, учитывая, что

  • для больших чисел $n$ справедлива формула Стирлинга

    $\ln n != n ln n - n ;$

  • степени вырождения $g_{ 1}$ и $g _{ 2}$ в результате перехода не изменяются и потому $dg_{ 1} =dg_{ 2} =0$;
  • полное число электронов в системе постоянно, т.е. $dn _{ 1} = - dn _{ 2.}$
  • Тогда логарифмируя и дифференцируя соотношение (1.12) и используя записанные выше условия, получим:

    $d(ln\Gamma ) = d\left( {\displaystyle lng_{ 1} ! + lng_{ 2} !} \right) - d\left( {\displaystyle lnn_{ 1} ! + lnn_{ 2} !} \right) - d\left( {\displaystyle lnp_{ 1} ! + lnp_{ 2} !} \right) = ln\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle n_{ 2} p_{ 1} }}{\displaystyle {\displaystyle n_{ 1} p_{ 2} }}}} \right)dn_{ 1}.$

    Это выражение на основании (1.13) перепишем в виде:

    $ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dln\Gamma }}{\displaystyle {\displaystyle dE}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle E_{ 1} - E_{ 2} }}}ln{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle n_{ 2} p_{ 1} }}{\displaystyle {\displaystyle n_{ 1} p_{ 2} }}}.$(1.14)

    При термодинамическом равновесии по статистическому определению температуры [А.Н.Матвеев, 1987, $\S$ 18] имеем:

    ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\ln \Gamma }}{\displaystyle {\displaystyle dE}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle kT}}} = \beta.$

    Тогда, разделяя параметры первого и второго энергетических уровней, запишем (1.14) в виде:

    $E_{ 1} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \beta }}}\ln {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle n_{ 1} }}{\displaystyle {\displaystyle p_{ 1} }}} = E_{ 2} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \beta }}}\ln {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle n_{ 2} }}{\displaystyle {\displaystyle p_{ 2} }}}.$

    Откуда следует, что при термодинамическом равновесии выражение $\left( {\displaystyle E + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \beta }}}\ln {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle n}}{\displaystyle {\displaystyle p}}}} \right)$ для данного ферми-газа - постоянная величина.

    Обозначая эту константу как $\mu$, будем иметь:

    $ E + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \beta }}}\ln {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle n}}{\displaystyle {\displaystyle p}}} = \mu.$(1.15)

    Теперь учтем, что по определению функции распределения $f ( Е )$ число заполненных состояний n и число свободных состояний p можно представить в виде:

    $n = g f ( Е );\; p = g - g f ( Е )= g (1- f ( Е )).$

    Тогда (1.15) принимает вид:

    $E + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \beta }}}ln{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle f\left( {\displaystyle E} \right)}}{\displaystyle {\displaystyle 1 - f\left( {\displaystyle E} \right)}}} = \mu.$

    Откуда следует выражение для функции Ферми-Дирака $f ( Е )$ равновесного распределения частиц по энергии при температуре Т (рис.2):

    $ f\left( {\displaystyle E} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle exp\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E - \mu }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right) + 1}}},$(1.16)

    Функция f(Е) равна плотности вероятности того, что в состоянии теплового равновесия идеального газа ферми-частиц при температуре Т состояние с энергией Е занято частицей.

    Литература: [А.Н.Матвеев, 1987, 14-16; А.Н.Матвеев, 1987, $\S$ 2; Дж.Займан, 1966, гл.4, $\S$ 5; Ч.Киттель, 1978, гл.7; Д.В.Сивухин, 1990,$\S$ 83; И.Е.Тамм, 1954, $\S$ 41; К.В.Шалимова, 1985, $\S$ 4.2]

    1.2.2. Химический потенциал

    Величина энергии $\mu$ в выражении (1.15) для функции Ферми-Дирака называется химическим потенциалом. Из (1.13) следует, что вероятность f(E) заполнения электроном состояния с энергией $E= \mu$ при любых температурах (рис.2) равна

    $f ( E=\mu ) =1/2.$

    Значение химического потенциала при $Т=0$ носит специальное название - энергия Ферми $E_{ F}$ (подробнее об энергии Ферми будет говориться ниже).

    абв
    Рис. 2. Функция распределения Ферми-Дирака при различных температурах:
    (а) при $kT\ll \mu = E_{ F}$ ;
    (б) при $Т_{ 4} \gt T_{ 3} \gt T_{ 2} \gt T_{ 1} \gt T_{ 0} =0$,
    (в) - линейная экстраполяция при низких температурах (1.17).
    Полное число частиц постоянно и не зависит от температуры

    При $Т \gt 0$ благодаря хаотическому тепловому движению частиц функция распределения Ферми-Дирака размывается в окрестности энергии Ферми.

    При низких температурах $kT\ll \mu$ функцию $f ( E )$ в области значений Е, близких к $\mu$, можно описать линейной зависимостью, если воспользоваться представлением $f ( E )$ в виде ряда Тейлора, ограничиваясь только нулевым и первым членами разложения по величине отклонения энергии от $\mu$ :

    $f_{ lin} \left( {\displaystyle E} \right) = f\left( {\displaystyle \mu } \right) + {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial f}}{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}}} \right|}_{ \mu } \left( {\displaystyle E - \mu } \right).$

    Получаемая линейная зависимость для значений Е, близких к $\mu$ (рис.2 в ):

    $ f_{ lin} \left( {\displaystyle E} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}{\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2kT}}}\left( {\displaystyle E - \mu } \right)} \right]}$(1.17)

    определяет касательную в точке $E = \mu$.

    В таком приближении функция распределения принимает значение единица при $Е_{ 1} = \mu -2kT$, нуль - при $E_{ 2} = \mu +2kT$.

    Таким образом, можно считать, что размытие распределения Ферми-Дирака при низких температурах приблизительно составляет $\approx 2kT$.

    Литература: [А.Н.Матвеев, 1987, $\S$ 14-16; Д.В.Сивухин, 1990, $\S$ 83]

    Назад| Вперед


    Написать комментарий
     Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования