Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посетите Сервер по Физике Обратите внимание!
 
  Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
 См. также

НовостиПервые шаги аттофизики

Популярные статьиМагнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Популярные статьиЛабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Словарные статьиАвтоэлектронная эмиссия

НовостиНовости физики в банке препринтов

Словарные статьиАморфные и стеклообразные полупроводники

Популярные статьиСканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Популярные статьиНаноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Словарные статьиОже-эффект

КнигиПрецизионная Фотометрия: 2922

Популярные статьиРоль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Популярные статьиСканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Популярные статьиКвантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

НовостиФизика 2002: итоги года

Популярные статьиМежатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Словарные статьиАнтивещество

Популярные статьиКвантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Словарные статьиАкустический парамагнитный резонанс

Популярные статьиЯдерный магнитный резонанс: Введение

Популярные статьиТермояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.
Содержание

2) Пусть экстремум (дно или потолок) энергетической зоны расположен в некоторой точке L с импульсом pL. Тогда в окрестности этой точки энергию можно разложить в ряд по степеням $({\displaystyle \bf p}-{\displaystyle \bf p}_{ L} ) _{ x,y,z}$ , где p, pL - импульсы, отсчитанные от центра зоны Бриллюэна. В главных осях тензора эффективных масс разложение будет имеет вид:
$ E\left( {\displaystyle {\displaystyle \bf p}} \right) = E\left( {\displaystyle {\displaystyle \bf p}_{ L} } \right) + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}{\displaystyle \left[ {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle p_{ x} - p_{ Lx} } \right)^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle m* _{ x}^{ } }}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle p_{ y} - p_{ Ly} } \right)^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle m* _{ y}^{ } }}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle p_{ z} - p_{ Lz} } \right)^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle m* _{ z}^{ } }}}} \right]}, $(4.4)

где учтено, что члены разложения первой степени по (p-pL) отсутствуют, поскольку в экстремальных точках ${\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ i} }}}} \right|}_{ p_{ L} } = 0$ . В этом случае компоненты тензора эффективных масс не зависят от импульса и являются постоянными величинами ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle m* _{ i} }}} \equiv m* _{ ii}^{ - 1} = {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{ 2}E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ ^{ i}}^{ 2} }}}} \right|}_{ p_{ L} }$ . Отсчитывая энергию $E({\displaystyle \bf p}_{ m} )=E({\displaystyle \bf p})-E({\displaystyle \bf p}_{ L} )$ и импульс pm =p-pL от точки экстремума типа максимума или минимума запишем выражение для энергии (4.4) в виде

$ E\left( {\displaystyle p_{ m} } \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p_{ mx}^{ 2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2m* _{ x} }}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p_{ my}^{ 2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2m* _{ y} }}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p_{ mz}^{ 2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2m* _{ z} }}} $(4.5)

или ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p_{ mx}^{ 2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2m* _{ x} E}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p_{ my}^{ 2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2m* _{ y} E}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p_{ mz}^{ 2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2m* _{ z} E}}} = 1$ ,

которое представляет собой уравнение эллипсоида. Таким образом, вблизи экстремальных точек изоэнергетические поверхности, в том числе и поверхность Ферми, имеют эллипсоидальную форму (рис.32). Компоненты тензора эффективной массы $m _{ x,y.z}$ через длину $\sqrt {\displaystyle 2m* _{ x,y,z} E}$ полуосей определяют анизотропию эллипсоидальных изоэнергетических поверхностей.

Рис. 32.

Поскольку энергию и импульс всегда принято отсчитывать от экстремумов зон, то в дальнейшем индекс m у импульсов ставиться не будет.

3) Скорость электрона вблизи экстремума связана с его импульсом тензором эффективных масс с учетом (4.5) следующим образом:

$ \begin{array}{l} v = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ x} }}}e_{ x} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ y} }}}e_{ y} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ z} }}}e_{ z} = \\ \quad = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle m* _{ x} }}}p_{ x} e_{ x} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle m* _{ y} }}}p_{ y} e_{ y} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle m* _{ z} }}}p_{ z} e_{ z} = \left( {\displaystyle m_{ ik}^{ * } } \right)^{ - 1}p \\ \end{array} $(4.6)

Поэтому в общем случае векторы скорости V и квазиимпульса p не совпадают друг с другом по направлению, кроме случая сферической симметрии изоэнергетических поверхностей (рис.32б,в). При этом вектор скорости всегда направлен по нормали к изоэнергетической поверхности, так как является градиентом энергии в p-пространстве ( ${\displaystyle \bf V} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial {\displaystyle \bf p}}}}$ ).

4) Обратная эффективная масса $m* _{ ii}^{ - 1}$ определяет кривизну ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{ 2}E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ i}^{ 2} }}}$ зависимости $E(p_{ i} )$.

Вблизи минимума энергии, у дна зоны, где ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{ 2}E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ x} ^{ 2}}}} \gt 0$ и $m_{ xx}*\gt 0$, электрон ведет себя как отрицательно заряженная частица с положительной эффективной массой. Скорость движения электрона совпадает по направлению с квазиимпульсом (рис.25б).

У потолка энергетической зоны, где ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{ 2}E}}{\displaystyle {\displaystyle \partial p_{ x} ^{ 2}}}} \lt 0$ и $m_{ xx}*\lt 0$, скорость электрона направлена против квазиимпульса, если его отсчитывать от потолка зоны ($Е^{ I}_{ max}$ ), как показано на рисунке 32в.

Следует отметить, что в аналитическом виде выражения для закона дисперсии и эффективной массы можно получить только вблизи экстремумов энергии в зоне, где справедливо разложение энергии в ряд Тейлора до квадратичного члена.

4.2. Электронная зонная структура металлов, полупроводников, диэлектриков.

Определим валентную зону как наивысшую энергетическую зону в твердом теле, которая целиком заполнена электронами в основном состоянии (при Т=0), зону проводимости - как самую нижнюю энергетическую зону в твердом теле, которая содержит свободные уровни в основном состоянии (незаполненную или содержащую некоторое число носителей при Т=0).

Рассмотрим случай, когда зона проводимости отделена от валентной зоны энергетической щелью Eg (рис.33). Пусть при Т=0 все состояния в зоне проводимости свободны, а в валентной зоне полностью заполнены электронами. В таком кристалле требуется конечная энергия возбуждения, больше ширины запрещенной зоны Eg, для перевода электронов вверх через энергетическую щель в зону проводимости. Если ширина запрещенной зоны Eg велика, так что ни температура, ни постоянное электрическое поле (и другие воздействия, которые не разрушают твердое тело) не могут сообщить электронам достаточную энергию для перехода в зону проводимости, то такое твердое тело не проводит электрический ток и является изолятором.

Рис. 33.

Если ширина запрещенной щели Eg невелика, то при конечной температуре T в результате тепловых флуктуаций некоторое число электронов, определяемое характерным больцмановским множителем $\exp\left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{ g} }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right)$ , перейдет из валентной зоны в зону проводимости. Как электроны в зоне проводимости, так и дырки (свободные, незаполненные состояния), образовавшиеся в результате ухода электронов из валентной зоны, будут являться носителями тока и будут давать свой вклад в величину проводимости. Вещества с таким энергетическим спектром обладают конечной электропроводностью, быстро возрастающей с ростом температуры, называются полупроводниками.

Удельное электросопротивление полупроводников при комнатной температуре лежит в интервале от 10-6 до 108 ом*м. По величине сопротивления они находятся между хорошими проводниками $(\sim 10 ^{ - 8}\div 10 ^{ - 6} )$ ом*м и изоляторами (>108 ом*м).

Если зона проводимости заполнена не полностью и электронов достаточно много, то концентрация носителей тока не будет зависеть от температуры. Такие вещества являются металлами.

Во введении было показано, что энергетический спектр электронов в кристалле является дискретным. Однако, поскольку кванты импульса и энергии очень малы, то спектр является фактически квазинепрерывным. Несмотря на это наличие дискретности импульса (и энергии) имеет важное значение, так как определяет конечное (и одинаковое) число электронных состояний в каждой энергетической зоне.

Число элементарных квантовых состояний (1.21) в каждой энергетической зоне равно удвоенному за счет спина числу элементарных ячеек в кристалле $N_{ c}$ . Для кубического кристалла $N_{ c} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle W}}{\displaystyle {\displaystyle a^{ 3}}}}$ (W - объем кристалла, а - период). Число состояний в зоне Бриллюэна с учетом спина равно удвоенному отношению объема зоны (2.21) к величине элементарного квантового объема (1.21) :

$ 2{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}} \right)^{ 3}} \mathord{\displaystyle \left/ {\displaystyle \vphantom {\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \hbar }}{\displaystyle {\displaystyle a}}}} \right)^{ 3}} {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle (2\pi \hbar )^{ 3}}}{\displaystyle {\displaystyle W}}}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle (2\pi \hbar )^{ 3}}}{\displaystyle {\displaystyle W}}}}} = 2{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle W}}{\displaystyle {\displaystyle a^{ 3}}}} = 2N_{ c.} . $(4.7)

Если известно число атомов, приходящихся на элементарную ячейку $N_{ a / c}$ и их валентность z, то число электронов, приходящихся на элементарную ячейку $N _{ e / c}$ , и полное число электронов $N_{ e}$ равны, соответственно,

$N _{ e / c} =z \cdot N _{ a / c}$ и $N _{ e} =N _{ c} N _{ e / c}$.(4.8)

Сравнивая число электронов $N_{ e}$ (4.8) в кристалле с числом элементарных квантовых состояний $2N_{ c}$ в зоне (4.7), во многих случаях можно предсказать свойства твердого тела.

  • Вещества, в которых на элементарную ячейку приходится один свободный электрон $N_{ e / c} =1$ и по (4.8) $N_{ e} =N_{ c}$ , являются металлами, так как электроны заполняют половину зоны. К ним относятся одновалентные щелочные металлы Li, Na, K, Rb, Cs и благородные металлы Cu, Ag, Au. Зона проводимости указанных металлов заполнена наполовину.
  • Вещества, в которых на элементарную ячейку приходится нечетное число электронов, также будут металлами, как и в предыдущем случае. К ним относятся металлы Al, Ga, In, Tl, в которых на один атом приходится три электрона $N_{ e / c} =3$. При этом валентная энергетическая зона заполнена полностью, а зона проводимости - наполовину.
  • Вещества, в которых на элементарную ячейку приходится четное число электронов, не обязательно будет изоляторами, так как энергетические зоны, как мы уже видели, могут перекрываться.
  • Элементы As, Sb, Bi, в которых на элементарную ячейку приходится по два атома, а каждый атом имеет пять электронов, представляют собой полуметаллы. Энергетический спектр полуметаллов рассмотрен ниже в 4.5.

    Все двухвалентные вещества - металлы с хорошей проводимостью, за исключением Sr и Br, которые являются плохими проводниками из-за слабого перекрытия зон.

    Четырехвалентный углерод существует или в виде алмаза, со столь широкой запрещенной зоной, что его практически можно считать изолятором или в виде графита, являющегося полуметаллом. Кремний и германий - типичные полупроводники. Олово в одной фазе представляет собой металл, а в другой - полупроводник. Свинец - типичный металл.

    Назад| Вперед


    Написать комментарий
     Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования