Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посетите Сервер по Физике Обратите внимание!
 
  Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
 См. также

НовостиПервые шаги аттофизики

Популярные статьиМагнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Популярные статьиЛабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Словарные статьиАвтоэлектронная эмиссия

НовостиНовости физики в банке препринтов

Словарные статьиАморфные и стеклообразные полупроводники

Популярные статьиСканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Популярные статьиНаноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Словарные статьиОже-эффект

КнигиПрецизионная Фотометрия: 2922

Популярные статьиРоль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Популярные статьиСканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Популярные статьиКвантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

НовостиФизика 2002: итоги года

Популярные статьиМежатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Словарные статьиАнтивещество

Популярные статьиКвантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Словарные статьиАкустический парамагнитный резонанс

Популярные статьиЯдерный магнитный резонанс: Введение

Популярные статьиТермояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.
Содержание

3.2. Зонная структура энергетического спектра в модели сильной связи

3.2.1. Формирование зонной структуры энергетического спектра.

Итак, при образовании связи между двумя атомами из двух атомных орбиталей образуются две молекулярных: связывающая и разрыхляющая с разными энергиями.

Посмотрим теперь, что происходит при образовании кристалла. Здесь возможны два различных варианта: когда при сближении атомов возникает металлическое состояние и когда возникает полупроводниковое или диэлектрическое состояние.

Металлическое состояние может возникнуть только в результате перекрытия атомных орбиталей и образования многоцентровых орбиталей, приводящих к полной или частичной коллективизации валентных электронов. Таким образом, металл, если исходить из концепции первоначально связанных атомных электронных орбиталей, можно представить как систему положительно заряженных ионов, объединенных в одну гигантскую молекулу с единой системой многоцентровых молекулярных орбиталей.

У переходных и редкоземельных металлов кроме возникающей при коллективизации электронов металлической связи, могут существовать так же и ковалентные направленные связи между соседними атомами с полностью заполненными связывающими орбиталями.

Коллективизация электронов, обеспечивающая связь всех атомов в решетке, приводит при сближении атомов к 2N- кратному (с учетом спина) расщеплению атомных энергетических уровней и образованию зонной структуры электронного энергетического спектра.

Качественная иллюстрация изменения дискретных уровней энергии изолированных атомов ($E _{ ia}$ ) при уменьшении межатомного расстояния $r \to a$ представлена на рисунке 30а, где показано расщепление энергетических уровней с образованием узких энергетических зон, содержащих 2N (с учетом спина) различных энергетических состояний (рис.30а).

Рис. 30.

Ширина энергетических зон ($12A_{ i}$ ), как будет показано ниже, зависит от степени перекрытия волновых функций электронов соседних атомов или, другими словами, от вероятности перехода электрона к соседнему атому. В общем случае энергетические зоны разделены запрещенными интервалами энергий $E_{ g}$ , называемыми запрещенными зонами (рис.30а).

При перекрытии s- и p- состояний образуется несколько "связывающих" и "разрыхляющих" зон. Металлическое состояние с этой точки зрения возникает в том случае, если есть зоны не полностью заполненные электронами. Однако, в отличие от слабой связи (модели почти свободных электронов), в данном случае нельзя рассматривать электронные волновые функции как плоские волны, что сильно усложняет процедуру построения изоэнергетических поверхностей. Характер преобразования волновых функций локализованных электронов в волновые функции блоховского типа, описывающие коллективизированные электроны, иллюстрируется на рисунке 30б,в.

Здесь следует еще раз подчеркнуть, что именно коллективизация электронов, то есть их возможность перемещаться в кристаллической решетке, приводит к расщеплению энергетических уровней связанных состояний и образованию энергетических зон (рис 30в).

Полупроводниковое (и диэлектрическое) состояние обеспечивается направленными ковалентными связями. Практически все атомарные полупроводники имеют решетку типа алмаза, в которой каждая пара атомов имеет ковалентную $\sigma$-связь, образованную в результате sp3-гибридизации [Н.Е.Кузьменко и др., 2000]. На каждой sp3-орбитали, связывающей соседние атомы, находится два электрона, так что все связывающие орбитали полностью заполнены.

Заметим, что в модели локализованных связей между парами соседних атомов образование кристаллической решетки не должно приводить к расщеплению энергетических уровней связывающих орбиталей. В действительности, в кристаллической решетке образуется единая система перекрывающихся sp3-орбиталей, так как электронная плотность пары электронов на $\sigma$ -связях сосредоточена не только в области пространства между атомами, но отлична от нуля и вне этих областей. В результате перекрытия волновых функций энергетические уровни связывающих и разрыхляющих орбиталей в кристалле расщепляются на узкие не перекрывающиеся зоны: полностью заполненную связывающую зону и расположенную выше по энергии - свободную разрыхляющую. Эти зоны разделены энергетической щелью.

При отличных от нуля температурах под действием энергии теплового движения атомов ковалентные связи могут разрываться, и освободившиеся электроны перебрасываются в верхнюю зону на разрыхляющие орбитали, на которых электронные состояния не являются локализованными. Таким образом, происходит делокализация связанных электронов и образование определенного числа, в зависимости от температуры и ширины запрещенной зоны, коллективизированных электронов. Коллективизированные электроны могут перемещаться в кристаллической решетке, образуя зону проводимости с соответствующим законом дисперсии. Однако теперь, также как в случае переходных металлов, движение этих электронов в решетке описывается не плоскими бегущими волнами, а более сложными волновыми функциями, учитывающими волновые функции связанных электронных состояний.

При возбуждении электрона с одной из ковалентных связей образуется дырка - незаполненное электронное состояние, которому приписывается заряд +q . В результате перехода какого-либо электрона с соседних связей в это состояние дырка исчезает, но одновременно появляется незаполненное состояние на соседней связи. Так дырка может перемещаться по кристаллу. Так же как и электроны делокализованные дырки формируют свой зонный спектр с соответствующим законом дисперсии. Во внешнем электрическом поле переходы электронов на свободную связь превалируют в направлении против поля, так что дырки перемещаются вдоль поля, создавая электрический ток. Таким образом, при термическом возбуждении в полупроводниках возникает два типа носителей тока - электроны и дырки. Их концентрация зависит от температуры, что характерно для полупроводникового типа проводимости.

Литература: [У.Харрисон, 1972, гл. II, $\S$ 6,7; Д.Г.Кнорре и др., 1990; К.В.Шалимова, 1985, $\S$ 2.4; Дж.Займан и др., 1972, гл.8, $\S$ 1]

3.2.2. Волновая функция электрона в кристалле

В модели сильной связи волновую функцию электрона в кристалле $\Psi \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r}} \right)$ можно представить как линейную комбинацию атомных функций $\Psi _{ a} \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r} - {\displaystyle \bf r}_{ j} } \right)$ :

$ \Psi \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r}} \right) = {\displaystyle \sum\limits_{ j} {\displaystyle C_{ j} } }\Psi _{ a} \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r} - {\displaystyle \bf r}_{ j} } \right), $

где r - радиус-вектор электрона, rj - радиус-вектор j-ого атома решетки.

Поскольку волновая функция $\Psi \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r}} \right)$ коллективизированных электронов в кристалле должна иметь блоховский вид (2.1), то коэффициент С _{ j} при атомной функции на j-ом узле кристаллической решетки должен иметь вид фазового множителя $e^{ - i{\displaystyle \bf kr}}$ , то есть $C_{ j} = e^{ - i{\displaystyle \bf kr}_{ j} }$

Окончательно, волновая функция электрона в кристалле запишется в виде

$ \Psi \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r}} \right) = {\displaystyle \sum\limits_{ j} {\displaystyle e^{ - i{\displaystyle \bf kr}_{ j} }} }\Psi _{ a} \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r} - {\displaystyle \bf r}_{ j} } \right) $(3.11)

На рисунке 30б представлен примерный вид волновых функций (их действительная часть) собственных состояний электронов каждого атома в случае, когда волновые функции электронов не перекрываются. При этом фазы волновых функций отдельных атомов произвольны. В случае перекрытия волновых функций и образования энергетических зон электрон описывается волновой функцией (3.11) в виде линейной комбинации атомных функций, фазы которых становятся скоррелированными блоховским множителем $e^{ - i{\displaystyle \bf kr}}$ (рис.30в). Для случая (30в) внизу справа показано, что восьмикратное (для 8-ми изображенных на рисунке атомов) вырождение энергетического уровня, имеющее место в случае (30б), снимается.

Можно убедиться, что волновая функция (3.11) действительно является блоховской (2.1), то есть при трансляции на периоды решетки только приобретает фазу, не изменяясь по амплитуде. Для этого запишем (3.11) в виде

$ \Psi \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r}} \right) = e^{ - i{\displaystyle \bf kr}}{\displaystyle \sum\limits_{ j} {\displaystyle e^{ i{\displaystyle \bf k}\left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r} - {\displaystyle \bf r}_{ j} } \right)}} }\Psi _{ a} \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r} - {\displaystyle \bf r}_{ j} } \right) $(3.11а)

Покажем, что множитель при $e^{ - i{\displaystyle \bf kr}}$ в (3.11а) обладает периодичностью решетки аналогично $С _{ k} (r)$ в (2.2). Заменяя r на (r+rm) получим

$ {\displaystyle \sum\limits_{ j} {\displaystyle e^{ i{\displaystyle \bf k}\left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r} + {\displaystyle \bf r}_{ m} - {\displaystyle \bf r}_{ j} } \right)}} }\Psi _{ a} \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r} + {\displaystyle \bf r}_{ m} - {\displaystyle \bf r}_{ j} } \right) = {\displaystyle \sum\limits_{ j} {\displaystyle e^{ i{\displaystyle \bf k}\left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r} + {\displaystyle \bf r}_{ m} - {\displaystyle \bf r}_{ j} } \right)}} }\Psi _{ a} \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r} + {\displaystyle \bf r}_{ m} - {\displaystyle \bf r}_{ j} } \right). $

Положив rn =rj -rm и перейдя от суммирования по j к суммированию по n получим сумму, равную сумме в соотношении (3.11а):

$ {\displaystyle \sum\limits_{ n} {\displaystyle e^{ i{\displaystyle \bf k}\left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r} - {\displaystyle \bf r}_{ n} } \right)}} }\Psi _{ a} \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf r} - {\displaystyle \bf r}_{ n} } \right). $

Литература: [Дж.Займан, 1966, гл.3, $\S$ 4; К.В.Шалимова, 1985, $\S$ 2.4]

Назад| Вперед


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования