Научная Сеть >> Уравнение Власова-Эйнштейна и его квантование

Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Дипломные работы

Амосов С.А. (Московский физико-технический институт, факультет управления и прикладной математики)
Научный руководитель: д.ф.-м.н. Веденяпин В.В.
Москва, 1997

Содержание

Глава III. Квантование уравнения Власова-Эйнштейна.

1⁰. Заметим сначала, что рассматриваемая нами функция Гамильтона $H$ вида (II.1) не есть гамильтониан в привычном смысле слова, так как это не функция энергии, ибо двойственная (сопряжённая) к ней переменная есть интервал $s$ , а не время $t$ . Из дальнейших рассмотрений станет ясно, что это массовая функция системы (впрочем, масса и энергия в известном смысле эквивалентны). Напомним, что соотношения между функцией Гамильтона (II.1) и интервалом $s$ такие же, как соотношения между обычным гамильтонианом (энергией системы) и временем $t$ .

Для обычного уравнения Власова квантовые аналоги строятся на основе функции Вигнера [4]. В криволинейных координатах вычисление функции Вигнера затруднительно, поэтому мы выберем иной способ, существенно использующий особенности гамильтонова формализма. Более подробно об этой и других трудностях, возникающих в подходе, связанном с функцией Вигнера, написано в работе [6]. Полное уравнение Власова-Эйнштейна хорошо квантуется, поскольку явно допускает гамильтонову трактовку. Следуя традиционной процедуре квантования гамильтоновых систем, получим квантовый аналог уравнения Власова-Эйнштейна.

Скобкам Пуассона двух функций в квантовом случае сопоставляется (с точностью до множителя $i\hbar$ , где $i$ - мнимая единица) коммутатор соответствующих операторов (принцип, известный как аксиома Дирака [7]). Заметим, что само по себе такое сопоставление ещё не задаёт правила квантования. Оно позволяет лишь получать коммутационные соотношения между операторами. В общем случае квантование скобок Пуассона рассматривается в монографии [7]. Там же затрагиваются некоторые аспекты построения квантовых аналогов уравнений типа Власова.

В качестве квантового гамильтониана, соответствующего функции Гамильтона (II.1), предлагается оператор, в координатном представлении имеющий вид:
$\hat{}H\psi{}(x)=-\frac{\displaystyle{\hbar^2}}{\displaystyle{2mc}}\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{\sqrt{-g}}}\frac{\displaystyle{\partial}}{\displaystyle{\partial{}x^j}}\left(g^{ij}\sqrt{-g}\frac{\displaystyle{\partial}}{\displaystyle{\partial{}x^i}}\psi{}(x)\right), \mbox{(III.1)}$

где $\hbar$ - постоянная Планка. Легко показать, что в пространстве Шварца финитных бесконечное число раз непрерывно дифференцируемых функций с рассматриваемым скалярным произведением $\left(\phi ,\psi\right)=\int{}\phi\psi\sqrt{-g}dx$ этот оператор является эрмитовым и описывает, таким образом, некоторую наблюдаемую величину. Действительно, используя интегрирование по частям, получаем :
$\begin{array}{l} \left(\phi,\hat{}H\psi\right)=-\int\frac{\displaystyle{\hbar^2}}{\displaystyle{2mc}}\frac{\displaystyle{\phi}}{\displaystyle{\sqrt{-g}}}\frac{\displaystyle{\partial}}{\displaystyle{\partial{}x^j}}\left(g^{ij}\sqrt{-g}\frac{\displaystyle{\partial{}\psi}}{\displaystyle{\partial{}x^i}}\right)\sqrt{-g}dx=\int\frac{\displaystyle{\hbar^2}}{\displaystyle{2mc}}\frac{\displaystyle{\partial{}\phi}}{\displaystyle{\partial{}x^i}}g^{ij}\sqrt{-g}\frac{\displaystyle{\partial{}\psi}}{\displaystyle{\partial{}x^j}}dx=\\\\ =-\int\frac{\displaystyle{\hbar^2}}{\displaystyle{2mc}}\frac{\displaystyle{\psi}}{\displaystyle{\sqrt{-g}}}\frac{\displaystyle{\partial}}{\displaystyle{\partial{}x^i}}\left(\sqrt{-g}g^{ij}\frac{\displaystyle{\partial{}\phi}}{\displaystyle{\partial{}x^j}}\right)\sqrt{-g}dx=\left(\hat{}H\phi,\psi\right) \end{array}$

Нетрудно убедиться, что предлагаемый оператор удовлетворяет принципу соответствия. По существу сопоставление функции Гамильтона некоего оператора однозначно задаёт некоторое правило квантования. О прочих (более общих, в некотором смысле) правилах квантования написано ниже, в пункте IV.3⁰.

Перейдём теперь к квантованию величины $F$ . Под оператором $\hat{}F$ следует понимать статистический оператор фон Неймана [4], являющийся квантовым аналогом классической функции распределения. Для него справедливо уравнение $i\hbar\frac{\displaystyle{\partial{}\hat{}F}}{\displaystyle{\partial{}s}}=\hat{}H\hat{}F-\hat{}F\hat{}H. \mbox{(III.2)}$

Уравнение (III.2) с квантовым гамильтонианом вида (III.1) представляет собой проквантованное уравнение (II.5).

Назад | Вперед

Кинетическая теория

Написать комментарий