10. Пусть - многообразие с метрикой где - обобщённые координаты, -
компоненты метрического тензора, причём по повторяющимся на разных уровнях
индексам производится суммирование. "Вообще говоря, размерность многообразия
может быть произвольной, но с физической точки зрения наиболее
обоснованным будет рассмотрение четырёхмерного пространственно-временного
континуума. Поэтому во всех дальнейших построениях, если не оговорено иное,
индексы и пробегают значения , причём индекс соответствует временной компоненте, а и - пространственным компонентам. Рассмотрим на
систему частиц, взаимодействие между которыми осуществляется посредством
создаваемого ими гравитационного поля. Как будет изменяться плотность частиц
в точке ,
движущихся по геодезической со скоростью ? Пусть - число
частиц в элементе фазового объёма . Эволюция функции распределения описывается уравнением неразрывности

где - вектор динамической системы. В рассматриваемом нами случае динамическая система,
которую мы должны отождествить с движущейся в гравитационном поле частицей,
ассоциирована с уравнениями геодезических [2,3]

где - символы Кристоффеля (коэффициенты связности). В
результате подстановки вектора динамической системы в уравнение неразрывности
получаем уравнение:

Здесь . Это выражение для можно переписать в виде , где
. Отсюда следует, в частности, что есть
инвариантная мера, и модифицированная функция распределения удовлетворяет более удобному "бездивергентному"
уравнению Лиувилля:

Заметим, что есть
инвариантная относительно любых (из класса допустимых) замен координат величина
[3], поэтому число частиц в единице фазового объёма удобно записывать в виде
Скалярное произведение двух функций на ,
порождённое рассматриваемой метрикой, даётся формулой: , где
интегрирование проводится по всему многообразию . Сходимость интеграла
обеспечена принадлежностью функций и пространству Шварца основных функций.
20. Уравнение (II.3) есть кинетическое уравнение типа Лиувилля. Замкнём это уравнение в систему,
используя уравнения Эйнштейна для гравитационного поля. Системой уравнений
Власова-Эйнштейна будем называть [1,2] следующую систему:
где - тензор Риччи, - скалярная кривизна пространства, - гравитационная постоянная. Правая часть нижнего
уравнения системы (I.4) есть тензор энергии-импульса системы частиц с функцией
распределения . Такой вид тензора
энергии-импульса является обобщением на рассматриваемый случай тензора
энергии-импульса для одной частицы [1]. Заметим, что он несколько отличается от
приведённого в [2] вида тензора энергии-импульса для системы невзаимодействующих
частиц и совпадает с ним лишь в некотором приближении. В общем же случае,
согласно гипотезе Эйнштейна, тензор энергии-импульса может содержать члены,
отвечающие любому типу взаимодействия, кроме гравитационного.
В уравнении (I.3) можно избавиться от дифференцирования по
интервалу
(то есть перейти к
рассмотрению " -стационарного"
случая), сделав подстановку В
результате уравнение (I.3) перейдёт в уравнение
,
где через
обозначена сумма . Используя тот факт, что , разделим это уравнение на .
Получим:

Заметим, что может
быть и обобщённой функцией от аргумента . В частности, можно положить . При этом система уравнений (I.4) примет вид
:
Возможность перехода к " -стационарной" системе (I.5) есть следствие того факта,
что является интегралом уравнений геодезических (I.1), а
равенство эквивалентно равенству . Именно в
виде (I.5) и выписывается обычно система уравнений Власова-Эйнштейна [1].
Вообще же, как будет ясно из главы IV, отсутствие явной зависимости динамических
переменных от параметра можно трактовать как нахождение на поверхности постоянной массы в фазовом
пространстве, точно так же как в классической механике отсутствие явной
зависимости от времени означает, что состояние системы характеризуется
определённым значением энергии.
Заметим, что
является, таким образом, обобщённым решением системы уравнений Власова -
Эйнштейна. Предполагается, что символы Кристоффеля
являются согласованными с метрикой , которая, в свою очередь, есть решение уравнения
Эйнштейна (нижнего уравнения системы) с рассматриваемым видом тензора
энергии-импульса. Укажем также на следующее обстоятельство. При приближении
-функции Дирака (с аргументом в виде инварианта уравнений
геодезических) интегральным оператором с ядром из семейства основных функций
вида , где - малый
параметр, интеграл в тензоре энергии - импульса может быть расходящимся (в
частности, расходимость имеет место в случае метрики с сигнатурой {1,-1,-1,-1}
). Указанную трудность можно обойти, вводя чисто мнимое время, но при этом не
следует забывать о физическом смысле получаемых таким способом
результатов.
Назад | Вперед
Написать комментарий
|