Научная Сеть >> Уравнение Власова-Эйнштейна и его квантование

Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Дипломные работы

Амосов С.А. (Московский физико-технический институт, факультет управления и прикладной математики)
Научный руководитель: д.ф.-м.н. Веденяпин В.В.
Москва, 1997

Содержание

Глава I. Уравнение Лиувилля на многообразии и уравнения Власова-Эйнштейна.

1⁰. Пусть $M$ - многообразие с метрикой $ds^2=g_{ik}dx^idx^k$ где $x^i$ - обобщённые координаты, $g_{ik}$ - компоненты метрического тензора, причём по повторяющимся на разных уровнях индексам производится суммирование. "Вообще говоря, размерность многообразия $M$ может быть произвольной, но с физической точки зрения наиболее обоснованным будет рассмотрение четырёхмерного пространственно-временного континуума. Поэтому во всех дальнейших построениях, если не оговорено иное, индексы $i$ и $k$ пробегают значения $0,1,2,3$ , причём индекс $0$ соответствует временной компоненте, а $1,2$ и $3$ - пространственным компонентам. Рассмотрим на $M$ систему частиц, взаимодействие между которыми осуществляется посредством создаваемого ими гравитационного поля. Как будет изменяться плотность частиц $\tilde F(s,x,v)$ в точке $x$ , движущихся по геодезической со скоростью $v$ ? Пусть $dN=\tilde F(s,x,v)dxdv$ - число частиц в элементе фазового объёма $dxdv$ . Эволюция функции распределения $\tilde F(s,x,v)$ описывается уравнением неразрывности
$\frac{\displaystyle{\partial\tilde F}}{\displaystyle{\partial{}s}}+div(X\tilde F)=0,$
где $X(x,v)$ - вектор динамической системы. В рассматриваемом нами случае динамическая система, которую мы должны отождествить с движущейся в гравитационном поле частицей, ассоциирована с уравнениями геодезических [2,3]
$\frac{\displaystyle{dx^i}}{\displaystyle{ds}},\frac{\displaystyle{dv^i}}{\displaystyle{ds}}=-\Gamma^i_{kl}v^kv^l,\mbox{(I.1)}$
где $\Gamma^i_{kl}=\frac{1}{2}g^{im}\left(\frac{\displaystyle{\partial{}g_{mk}}}{\displaystyle{\partial{}x^l}}+\frac{\displaystyle{\partial{}g_{ml}}}{\displaystyle{\partial{}x^k}}-\frac{\displaystyle{\partial{}g_{kl}}}{\displaystyle{\partial{}x^m}}\right)$ - символы Кристоффеля (коэффициенты связности). В результате подстановки вектора динамической системы в уравнение неразрывности получаем уравнение:
$\frac{\displaystyle{\partial{}\tilde F}}{\displaystyle{\partial{}s}}+v^i\frac{\displaystyle{\partial{}\tilde F}}{\displaystyle{\partial{}x^i}}-\Gamma_{kl}^iv^kv^l\frac{\displaystyle{\partial{}\tilde F}}{\displaystyle{\partial{}v^i}}+(divX)\tilde F=0 \mbox{(I.2)}$

Здесь $div X=-2\Gamma^i_{kl}v^k$ . Это выражение для $divX$ можно переписать в виде $div{}X=\frac{\displaystyle{d}}{\displaystyle{ds}}ln|g|$ , где $|g|=|det g_{ij}|$ . Отсюда следует, в частности, что $|g|dxdv$ есть инвариантная мера, и модифицированная функция распределения $F(s,x,v)=\tilde F(s,x,v)/|g|$ удовлетворяет более удобному "бездивергентному" уравнению Лиувилля:
$\frac{\displaystyle{\partial{}F}}{\displaystyle{\partial{}s}}+v^i \frac{\displaystyle{\partial{}F}}{\displaystyle{\partial{}x^i}}-\Gamma^i_{kl} v^kv^l \frac{\displaystyle{\partial{}F}}{\displaystyle{\partial{}v^i}}=0, \mbox{(I.3)}$

Заметим, что $\sqrt{-g}dx$ есть инвариантная относительно любых (из класса допустимых) замен координат величина [3], поэтому число частиц в единице фазового объёма удобно записывать в виде $dN=F\sqrt{-g}dx\sqrt{-g}dv$ Скалярное произведение двух функций на $M$ , порождённое рассматриваемой метрикой, даётся формулой: $(f,h)=\int f(x)hx)\sqrt{-g}dx$ , где интегрирование проводится по всему многообразию $M$ . Сходимость интеграла обеспечена принадлежностью функций $f$ и $h$ пространству Шварца основных функций.

2⁰. Уравнение (II.3) есть кинетическое уравнение типа Лиувилля. Замкнём это уравнение в систему, используя уравнения Эйнштейна для гравитационного поля. Системой уравнений Власова-Эйнштейна будем называть [1,2] следующую систему:

где $R^{ik}$ - тензор Риччи, $R=g^{ik}R_{ik}$ - скалярная кривизна пространства, $\Gamma$ - гравитационная постоянная. Правая часть нижнего уравнения системы (I.4) есть тензор энергии-импульса системы частиц с функцией распределения $F$ . Такой вид тензора энергии-импульса является обобщением на рассматриваемый случай тензора энергии-импульса для одной частицы [1]. Заметим, что он несколько отличается от приведённого в [2] вида тензора энергии-импульса для системы невзаимодействующих частиц и совпадает с ним лишь в некотором приближении. В общем же случае, согласно гипотезе Эйнштейна, тензор энергии-импульса может содержать члены, отвечающие любому типу взаимодействия, кроме гравитационного.

В уравнении (I.3) можно избавиться от дифференцирования по интервалу $s$ (то есть перейти к рассмотрению " $s$ -стационарного" случая), сделав подстановку $F(s,x,v)=G(x,v)|Phi(v_iv^j)$ В результате уравнение (I.3) перейдёт в уравнение
$v_i\frac{\displaystyle{\partial{}G}}{\displaystyle{\partial{}x^i\Phi(z})}-\Gamma^i_{kl}\left( \frac{\displaystyle{\partial{}G(x,v)}}{\displaystyle{\partial{}v^i}}\Phi(z) + \frac{\displaystyle{\partial{}F(z)}}{\displaystyle{\partial{}z}}v_iG(x,v)\right)v^kv^l = 0$ ,

где через $z$ обозначена сумма $v_iv^j\equiv g_{ij}v^iv^j$ . Используя тот факт, что $\Gamma_{kl}^iv_iv^kv^l=0$ , разделим это уравнение на $\Phi$ . Получим:
$v_i\frac{\displaystyle{\partial{}G}}{\displaystyle{\partial{}x^i}}-\Gamma^i_{kl}v^kv^l\frac{\displaystyle{\partial{}G}}{\displaystyle{\partial{}v^i}}=0.$

Заметим, что $\Phi$ может быть и обобщённой функцией от аргумента $z$ . В частности, можно положить $F(s,x,v)=f(x,v)\delta(g_{ij}v^iv^j-1)$ . При этом система уравнений (I.4) примет вид :

Возможность перехода к " $s$ -стационарной" системе (I.5) есть следствие того факта, что $g_{ij}v^iv^j$ является интегралом уравнений геодезических (I.1), а равенство $g_{ij}v^iv^j=1$ эквивалентно равенству $ds^2=g_{ij}dx^idx^j$ . Именно в виде (I.5) и выписывается обычно система уравнений Власова-Эйнштейна [1]. Вообще же, как будет ясно из главы IV, отсутствие явной зависимости динамических переменных от параметра $s$ можно трактовать как нахождение на поверхности постоянной массы в фазовом пространстве, точно так же как в классической механике отсутствие явной зависимости от времени означает, что состояние системы характеризуется определённым значением энергии.

Заметим, что $\delta (g_{ij}v^iv^j-1)$ является, таким образом, обобщённым решением системы уравнений Власова - Эйнштейна. Предполагается, что символы Кристоффеля $\Gamma^i_{kl}$ являются согласованными с метрикой $g_{ij}$ , которая, в свою очередь, есть решение уравнения Эйнштейна (нижнего уравнения системы) с рассматриваемым видом тензора энергии-импульса. Укажем также на следующее обстоятельство. При приближении $\delta$ -функции Дирака (с аргументом в виде инварианта уравнений геодезических) интегральным оператором с ядром из семейства основных функций вида $\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{\epsilon}}exp((g_{ij}v^iv^j)-1)/\epsilon)$ , где $\epsilon$ - малый параметр, интеграл в тензоре энергии - импульса может быть расходящимся (в частности, расходимость имеет место в случае метрики с сигнатурой {1,-1,-1,-1} ). Указанную трудность можно обойти, вводя чисто мнимое время, но при этом не следует забывать о физическом смысле получаемых таким способом результатов.

Назад | Вперед

Кинетическая теория

Написать комментарий