Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посетите Сервер по Физике Обратите внимание!
 
  Наука >> Физика >> Общие вопросы >> Справочники >> Физическая энциклопедия | Словарные статьи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
 См. также

Словарные статьиАналитическое продолжение

Курсы лекций"О развитии теории динамических систем" Д.В.Аносов: Конформная динамика.

Курсы лекций"О развитии теории динамических систем" Д.В.Аносов: systfirst

Словарные статьиАналитическая теория дифференциальных уравнений

Аннотации книгМетрическая теория функций и смежные вопросы анализа

Словарные статьиАналитический сигнал

Книги"Введение в криптографию" под редакцией В.В.Ященко: Порядок характера Дирихле

Учетные карточкиМеханико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова: МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Словарные статьиАмплитуда

Популярные статьиДинамические системы: динамическая система

Популярные статьиСолнце и межзвездная среда: fig2

Популярные статьиОбратные задачи в астрофизике: (5)

Популярные статьиОбратные задачи в астрофизике: (4)

Учетные карточкиФакультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова: ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

Словарные статьиВекторное пространство

Календарь событий3 декабря: (1)

Популярные статьиВариационные принципы в физике: Уильям Гамильтоном

КнигиРазмышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу: prim31

Словарные статьиАксиоматическая квантовая теория поля

Аналитическая функция
24.08.2001 16:19 | Phys.Web.Ru
    

Аналитическая функция (голоморфная функция) - функция f(z) комплексной переменной z=x+iy, которая дифференцируема в следующем смысле: в каждой точке z0 некоторой области D комплексной плоскости С существует производная $f^\prime(z_0)=\lim\limits_{\Delta z\to 0}{\displaystyle\lbrack f(z_0+\Delta z)-f(z_0)\rbrack\over\displaystyle\Delta z}$ причем предел не зависит от способа стремления $\Delta z$ к нулю. Рассматриваются аналитические функции многих комплексных переменных.

Аналитические функции широко распространены в математике и ее физических приложениях. Ряд задач классического вещественного анализа решается переходом к комплексным переменным. Все элементарные и специальные функции аналитичны в тех или иных областях, причем выход в комплексную плоскость обнаруживает глубокие связи между этими функциями. Теория аналитических функций прямо связана с теорией двумерного уравнения Лапласа и, следовательно, с теорией гармонических функций. Важной характеристикой аналитической функции являются ее особенности, т. е. точки комплексной плоскости, в которых нарушается аналитичность. Классификация особенностей аналитической функции позволяет во многом охарактеризовать и свойства функции в целом. Функции комплексной переменной использовались уже в 18 в., в частности в работах Л. Эйлера (L. Euler). Окончательно теория аналитических функций одной переменной оформилась в работах О. Коши (А. Cauchy), К. Вейерштрасеа (К. Weierstrass) и Б. Римана (В. Riemann) в 19 в. Теория аналитических функций многих переменных продолжает интенсивно развиваться.

Одна из причин широкого применения аналитических функций в физике связана с физическими требованиями типа причинности. Так, в квантовой теории поля аналитичность функций Уайтмена и амплитуд рассеяния вытекает из исходных постулатов теории. Метод дисперсионных соотношений целиком базируется на теории аналитических функций, уравнения Янга-Миллса можно записать как условия аналитичности некоторых функций. Большое число приложений аналитических функций связано также с двумерными задачами электростатики, гидродинамики и т. д., где используются, например, конформные отображения.

Основные свойства. Если $u$ и $v$ - вещественная и мнимая части функции $f(z) = f(x+iy) = u(x, y)+iv(x, у)$, то требование существования комплексной производной эквивалентно т. н. уравнениям Коши-Римана
${\displaystyle\partial u(x,y)\over\displaystyle\partial x}={\displaystyle\partial v(x,y)\over\displaystyle\partial y,\ \ {\displaystyle\partial u(x,y)\over\displaystyle\partial y}=-{\displaystyle\partial v(x,y)\over\displaystyle\partial x}}$,

из которых следует, что $u$ и $v$ являются гармоническими функциями. Две функции, гармонические в области D и удовлетворяющие там уравнениям Коши-Римана, называются взаимно сопряженными. Любая производная $f^{(n)}(z)$ аналитической функции $f(z)$ есть также аналитическая функция. В окрестности каждой точки z из области D аналитическую функцию можно разложить в абсолютно сходящийся ряд Тейлора:
$f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n$, где $c_n=f^{(n)}(z_0)/n!$

Радиус сходимости этого ряда $R={\displaystyle 1\over\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}(c_n)^{1/n}}$ не меньше радиуса любого круга с центром в $z_0$, содержащегося в D. Обратно, если в каждой точке $z_0$ из D функция $f(z)$ представима абсолютно сходящимся степенным рядом, то $f(z)$ аналитична в D, так что разложимость в степенной ряд можно считать другим эквивалентным определением аналитической функции.

Пример: для распространенных элементарных функций $e^z, \sin z и \cos z$ имеют место следующие разложения в точке $z_0 = 0$:
$e^z=\sum\limits_{n=0}^\infty {\displaystyle z^n\over\displaystyle n!}$,
$\sin z=\sum\limits_{n=0}^\infty {\displaystyle(-1)^n z^{\displaystyle 2n+1}\over\displaystyle (2n+1)!}$,
$\cos z=\sum\limits_{n=0}^\infty {\displaystyle(-1)^n z^{2n}\over\displaystyle (2n)!}$,
из которых, в частности, вытекает формула Эйлера $e^z=\cos z+i\sin z$.

Специфичны и интегральные свойства аналитических функций. Если замкнутый контур $\gamma$ целиком лежит в области аналитичности D функции $f(z)$ и там его можно стянуть в точку, то интеграл от $f(z)$ по этому контуру равен нулю. Это свойство также вполне характеризует аналитическую функцию: если $\int\limits_\gamma f(z)dz=0$ для некоторой непрерывной в D функции $f(z)$ для любого контура $\gamma$ с перечисленными выше свойствами, то $f(z)$ аналитична в D. Для аналитической функции выполняется важная формула Коши
$f(z_0)={\displaystyle 1\over\displaystyle 2\pi i}\int\limits_\gamma {\displaystyle f(z)\over\displaystyle z-z_0}dz$,
справедливая для любой точки $z_0$, которая лежит в области, ограниченной контуром $\gamma$, причем направление обхода контура должно быть таким, чтобы область оставалась слева.

Для аналитической функции имеет место принцип максимума модуля, согласно которому модуль аналитической функции, отличной от постоянной, не может достигать своего максимального значения ни в какой внутренней точке области аналитичности D. Например, если аналитическая функция задана в единичном шаре $\{|z|\lt 1\}$, по модулю не превосходит там 1 и $f(0)=0$, то $|f(z)|\lt|z|$ при $|z|\lt 1$ (лемма Шварца). Применительно к областям специального вида принцип максимума приводит к следующей теореме Фрагмена-Линделефа. Пусть $f(z)$ аналитична в секторе $|\arg z-\varphi_0|\lt\pi/2\rho$ и непрерывна вплоть до его границы, на которой ее модуль не превосходит постоянной М. Если, кроме того, $z^\rho \ln|f(z)|\longrightarrow 0$ при $z\longrightarrow\infty$, то $|f(z)|\leq M$ во всем секторе. Теоремы типа Фрагмена-Линделефа существенно используются в теории рассеяния элементарных частиц высокой энергии, приводя там к асимптотическим соотношениям между сечениями рассеяния частиц и античастиц (теорема Померанчука и др.).

Понятие аналитичности имеет смысл также и на множествах более сложных, чем области комплексной плоскости $С$, но локально устроенных как последние. Например, добавляя к $С$ бесконечно удаленную точку, получают расширенную комплексную плоскость $\overline С$. Комплексная структура в окрестности бесконечно удаленной точки задается отображением $z\longrightarrow z^{-1}$, переводящим ее в начало координат. Функция $f(z)$ аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки, если $f(z^{-1})$ аналитична в окрестности точки z=0. Для областей в $\overline С$ справедливо все сказанное выше. В то же время, если $f(z)$ аналитична во всей $\overline С$, то она постоянна (
теорема Лиувилля).

Особые точки. Точки, в которых нарушается аналитичность функцин $f(z)$, называются ее особыми точками. Если $f(z)$ аналитична во всех точках некоторой окрестности точки $z_0$, кроме, быть может, ее самой, то $z_0$ называется изолированной особой точкой. В окрестности изолированной особой точки $f(z)$ разлагается в абсолютно сходящийся ряд Лорана, содержащий, быть может, отрицательные степени $(z-z_0)$:
$f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n$.
Различают три типа изолированных особых точек: устранимую особую точку, полюс и существенно особую точку. Точка $z_0$ называется устранимой, если $f(z)$ ограничена в некоторой ее окрестности. Полагая $f(z_0)=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ (этот предел существует), получают функцию, аналитическую и в $z_0$. Изолированная особая точка $z_0$ называется полюсом, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty$. В этом случае лишь конечное число членов лорановского разложения $f(z)$ в $z_0$ с отрицательными степенями $(z-z_0)$ отлично от нуля. Коэффициент $c_{-1}$ называется вычетом функции $f(z)$ в точке $z_0$ и обозначается $Выч\lbrack f(z),z_0\rbrack$ или $res_{\displaystyle z_0}f(z)$. Если бесконечное число членов ряда Лорана $f(z)$ в точке $z_0$ с отрицательными показателями n отлично от нуля, то $z_0$ называется существенно особой точкой. Существенно особые точки характеризуются тем, что для любого комплексного числа a существует последовательность $z_k$, сходящаяся к $z_0$ при $k\longrightarrow\infty$, такая, что $\lim\limits_{k\to\infty} f(z_k) = a$.

Пусть $\gamma$ - замкнутый контур, лежащим в области аналитичности функции $f(z)$ и содержащий внутри себя лишь ее полюсы (их обязательно конечное число), расположенные в точках $z_1,...,z_n$, тогда
$\int\limits_\gamma f(z)dz=2\pi i\sum\limits_{k=1}^n res_{\displaystyle z_k}f(z)$.
Эта формула является основой теории вычетов и служит эффективным инструментом для вычисления определенных интегралов. Функция, аналитическая во всей комплексной плоскости, за исключением, быть может, полюсов, называется мероморфной. Функция, не имеющая в $С$ особых точек, называется целой.

Многозначные функции. Всякая аналитическая функция однозначно восстанавливается по своим значениям в любом сколь угодно малом открытом подмножестве области аналитичности. Более того если две аналитические в D функции совпадают в счетном числе точек из D, имеющих хотя бы одну предельную точку, также принадлежащую D, то эти функции совпадают и всюду в D. Типичной является ситуация, когда аналитическая функция первоначально задана в некоторой области D, но продолжается до аналитической функции в существенно большей области. Таким образом, возникает задача об аналитическом продолжении заданной аналитической функции до аналитической функции в максимально возможной области. Чтобы эта задача была разрешима в классе однозначных функций. приходится расширить понятие области, допустив возможность ее самоналожений. Это приводит к понятию неоднолистных областей, в частности римановой поверхности данной аналитической функции. Пусть $f(z)$ - аналитическая в области D и $\gamma$ - некоторый путь, соединяющий точку $z_0$ из D с точкой $z^\prime$ из расширенной комплексной плоскости. Говорят, что $f(z)$ аналитически продолжается вдоль $\gamma$, если существует конечное число кругов Vk, k=0, 1, ..., N с центрами, последовательно расположенными на $\gamma$ (zN=z'), и функции $f_k(z)$ аналитические в Vk, такие, что $f_k(z)=f_{k-1}(z)$ в пересечении Vk, и Vk-1. Если $f(z)$ аналитически продолжается вдоль двух путей $\gamma_1$ и $\gamma_2$ с началом в $z_0$ и концом в z', то в результате этих продолжений в окрестности точки z' могут получиться, вообще говоря, разные аналитические функции. Риманову поверхность функции $f(z)$, первоначально заданной в D, можно понимать как множество всех путей, которые исходят из некоторой точки $z_0$, лежащей в D, и вдоль которых $f(z)$ аналитически продолжима. При этом два пути отождествляются, если они заканчиваются в одной и той же точке и приводят к одинаковым аналитическим функциям в ее окрестности. Тем самым всякая аналитическая в D функцня $f(z)$ определяет некоторую функцию, аналитическую на своей римановой поверхности, - полную аналитическую функцию.

Пусть $f(z)$ аналитична в некоторой области D и аналитически продолжается (вообще говоря, неоднозначно) вдоль любого пути, не содержащего фиксированную точку $z_0$, (такая точка называется точкой ветвления). Если провести разрез плоскости $С$, соединяющий точку $z_0$ с бесконечно удаленной точкой, то можно получить конечное или счетное число функций, аналитичных в плоскости $С$ с разрезом, получающихся из $f(z)$ аналитическим продолжением вдоль путей, огибающих $z_0$, заданное число раз. Риманову поверхность функции $f(z)$ можно представить себе как конечное или счетное число экземпляров плоскостей $С$ с разрезом (листов), склеенных вдоль берегов разрезов таким образом, что каждый оборот вокруг $z_0$ переводит точку на новый лист.

Аналитическая функция, заданная в области D, называется однолистной в D, если она осуществляет взаимно однозначное отображение D на ее образ D*=f(D), который также является областью. Всякая однолистная в D аналитическая функция задает конформное отображение D на D* в том смысле, что оно сохраняет углы между кривыми. Обратно, всякое (гладкое) конформное взаимно однозначное отображение D на D*, сохраняющее углы между кривыми (по величине и знаку), порождается некоторой однолистной в D аналитической функцией, такой, что D*=f(D). Области D и D* в этом случае называются конформно изоморфными. Согласно теореме Римана, любые две односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, конформно изоморфны.

Функции многих переменных. Теория аналитических функций многих комплексных переменных по сравнению с одномерной теорией обладает новыми специфическими чертами. Функция $f(z)$, $z=(z_1,...,z_n)$ называется аналитической (голоморфной) в области D n-мерного комплексного пространства $С^n$, если в окрестности каждой ее точки $z_0=(z_{01}, ..., z_{0n},)$ она представляется в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда:
$f(z)=\sum\limits_{k_1=0}^\infty...\sum\limits_{k_n=0}^\infty c_{k_1}...c_{k_n}(z-z_01)^{k_1}...(z-z_0n)^{k_n}$.
По теореме Гартогса $f(z)$ аналитична в D тогда и только тогда, когда она аналитична по каждому переменному в отдельности при фиксированных остальных в соответствующих сечениях области D.

Важное отличие многомерной теории от одномерной состоит в существовании таких областей, что голоморфные в них функции обязательно аналитически продолжаются в существенно большие области. В частности, при $n\geq 2$ не существует аналитических функций с изолированными особенностями. Естественными областями определения аналитических функций служат т. н. области голоморфности. Область D в $С^n$ называется областью голоморфности, если существует функция, голоморфная в D и аналитически непродолжимая ни в какую другую большую область (в т. ч. и неоднолистную). Свойство области быть областью голоморфности есть локальное свойство ее границы, обобщающее понятие выпуклости. Если D не является областью голоморфности, то все функции, голоморфные в D, одновременно продолжаются в некоторую бОльшую область. Вопрос об отыскании такой наибольшей области (оболочки голоморфности), как и в случае аналитического продолжения заданной функции, приводит к многолистным областям наложения над $С^n$ (многообразиям Штейна).

Другой пример неожиданного "принудительного" продолжения многомерных аналитических функций дает теорема об острие клина (получена Н. Н. Боголюбовым в 1956), играющая важную роль в теории дисперсионных соотношений и аксиоматической квантовой теории поля. По этой теореме две функции, аналитические каждая в своей специального вида трубчатой области и совпадающие на n-мерном чисто вещественном открытом множестве соприкосновения этих областей (т. е. на множестве вдвое меньшей размерности), аналитически продолжаются в комплексную окрестность G этого множества и представляют собой единую аналитическую функцию. Вид области G можно найти с помощью теоремы о $С$-выпуклой оболочке (получена В. С. Владимировым в 1964).


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования