Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посмотрите новые поступления ... Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Математическое образование >> Малый мехмат МГУ | Задачи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
 См. также

ЗадачиМалый Мехмат, 31 марта, 9 класс: Зазеркальная логика

Малый Мехмат, 14 апреля, 9 класс: Метод крайнего
16.06.2001 14:29 | МЦНМО
    
    
           Малый Мехмат                9 класс    
  
Занятие 23 14 апреля 2001 года

Метод крайнего


  • На поле стояли 777 гангстеров, и все они находились на попарно различных расстояниях друг от друга. Гангстеры одновременно выхватили пистолеты и каждый выстрелил в ближайшего. Докажите, что хотя бы в одного гангстера никто не стрелял.
  • Докажите, что не существует выпуклого многогранника, все грани которого имеют различное число сторон.
  • По окружности расположены 6 чисел, при этом каждое число равно модулю разности двух следующих за ним по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна единице. Найдите эти числа.
  • Путешественник отправился из своего родного города А в самый удалённый от него город Б, оттуда --- в самый удалённый от Б город В и т.д. Докажите, что если В и А --- разные города, то путешественник никогда не вернётся домой.
  • В марсианском метро с любой станции можно проехать на любую. Докажите, что можно так выбрать станцию и закрыть её на ремонт (без права проезда через неё), что по прежнему можно будет проехать с любой оставшейся на любую оставшуюся.
  • Даны 12 различных двузначных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами.
  • На полях шахматной доски расставлены числа 1, 2, ... 64 (по одному на каждой клетке). Докажите, что найдётся пара соседних по стороне клеток, где числа отличаются не меньше, чем на 5.
  • На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABD и CBE. Отрезки CD и AE пересекаются в точке M. Докажите, что AM+BM+CM=CD.
  • Проказница мартышка, осёл, козёл да косолапый мишка затеяли сыграть в квартет. Пришли на лужок, сели в кружок, но музыка не пошла. Тогда друзья стали пересаживаться. За одну пересадку меняется местами одна пара соседей. Друзья не успокоятся, пока каждый не посидит на каждом месте. Каким наименьшим количеством пересадок они могут обойтись?

  • Написать комментарий
     Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования