Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Математическое образование >> Малый мехмат МГУ | Задачи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
          
              Малый Мехмат                9 класс          
     
Занятие 25 28 апреля 2001 года

Векторы


  • а)Три вектора равной длины образуют между собой углы по $120^\circ$. Докажите, что их сумма равна нулю.

    б)Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

    в)Дано: $\cases{ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=0\cr \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0.}$

    Доказать: $\cases{ \sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=0\cr \cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma=0.}$

  • Точки $M_1$, $M_2$, \dots, $M_n$ делят окружность с центром в точке O на n равных частей. Докажите, что $\overrightarrow{OM_1}+ \overrightarrow{OM_2}+ \dots+ \overrightarrow{OM_n}= \overrightarrow{0\,}.$
  • Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M . Докажите:

    а) $\overrightarrow{MA_{\phantom{0}}}+ \overrightarrow{MB_{\phantom{0}}}+ \overrightarrow{MC_{\phantom{0}}}= \overrightarrow{0\,}$;

    б)для любой точки O плоскости $\overrightarrow{OM_{\phantom{0}}} ={1\over3}(\overrightarrow{OA_{\phantom{0}}}+ \overrightarrow{OB_{\phantom{0}}}+ \overrightarrow{OC_{\phantom{0}}})$.

  • Может ли фигура на плоскости иметь ровно два центра симметрии?
  • Докажите, что композиция поворота на ненулевой угол и параллельного переноса имеет неподвижную точку.
  • На стене имеется точечная клякса. Её можно закрыть, повесив на стенку флажок (см.рис.)
    Нарисуйте область, куда можно вбить гвоздь, чтобы повешенный на него флажок закрыл кляксу.
  • Треугольник лежит внутри круга радиуса 1. Может ли радиус окружности, описанной около этого треугольника, быть больше 1?
  • На стороне CD квадрата ABCD со стороной 1 во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник CDE . Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника ABE ?
  • На двух смежных сторонах AB и BC ромба ABCD построены равносторонние треугольники ABE и BCF (один во внешнюю, а другой во внутреннюю сторону). Докажите, что точки D , E и F лежат на одной прямой.
  • В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано натуральное число. При этом оказалось, что каждое число равно среднему арифметическому четырёх соседних чисел. Докажите, что все числа равны между собой.

  • Написать комментарий
     Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования