Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посетите Сервер по Физике Обратите внимание!
 
  Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Курсы лекций
 Посмотреть комментарии[1]  Добавить новое сообщение
 См. также

Популярные заметкиКвантовые свойства фуллерена

Популярные статьиПроект Краткая Энциклопедия "Физика" (Вопросы и ответы): 1301

Популярные статьиОткрытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: Об интерпретациях классической и квантовой теорий

Календарь событийУтро квантовой эры. Три четверти века назад появилось нестационарное уравнение Шредингера.

Обзорные статьиО лженауке, ее последствиях и об ошибках в науке

КнигиЗонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: ref2

Новости75 лет волновой механике и стационарному уравнению Шредингера.

Популярные статьиНаноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовые основы наноэлектроники

Популярные статьиОткрытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: ref2

Календарь событий11 января - день рождения Д.И. Блохинцева

Словарные статьиВекторное пространство

Популярные статьиКвантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: Классические и квантовые законы движения электронов

НовостиПервый в мире и в России журнал о квантовых компьютерах!

Популярные заметкиПервый в мире и в России журнал о квантовых компьютерах!

Популярные статьиГорячие ядра и фазовый переход жидкость-газ в ядерном веществе: Введение

Популярные статьиНовая ситуация в квантовой механике (о возможностях управления спектрами, рассеянием, распадами)

Популярные статьиСоотношение неопределенностей или принцип дополнительности?

НовостиМировая линия Гамова

Словарные статьиАлгебраический подход в квантовой теории поля

Популярные статьиЗаконы физики в космосе

Основы квантовой механики.

А.В. Борисов (Физический факультет МГУ)
Физический факультет МГУ, 1998 г.
Содержание

Изменение наблюдаемых со временем

Эволюция средних значений наблюдаемых

Пусть $\psi$ - произвольное состояние, эволюционирующее во времени согласно уравнению Шредингера
$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi.$

Получим уравнение для изменения среднего значения наблюдаемой $ \lt A \gt =(\psi,\hat A \psi)$ в этом состоянии. Имеем
$\frac{d \lt A \gt }{dt}=\left(\frac{\partial\psi}{\partial t},\hat A\psi\right)+ \left(\psi,\frac{\partial\hat A}{\partial t}\psi\right)+ \left(\psi,\hat A \frac{\partial\psi}{\partial t}\right)=-\frac{1}{i\hbar}(\hat H\psi,\hat A\psi)+ \frac{1}{i\hbar}(\psi,\hat A\hat H\psi)+ \left( \psi, \frac{\partial\hat A}{\partial t}\psi \right)=\left(\psi, \left( \frac{\partial \hat A}{\partial t}+ \frac{i}{\hbar} [\hat H, \hat A] \right)\psi\right).$

Здесь учтена эрмитовость $\hat H: \; (\hat H\psi,\hat A\psi)=(\psi,\hat H\hat A\psi).$ Итак,
$\frac{d \lt A \gt }{dt}=\left \lt \frac{\partial \hat A}{\partial t}+ \frac{i}{\hbar} [\hat H, \hat A] \right \gt .$

Это уравнение - квантовый аналог классического уравнения для динамической переменной A(q,p,t):
$\frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{H,A\},$

где введена скобка Пуассона
$\{H,A\}=\sum\limits_{k}^{}\left( \frac{\partial H}{\partial p_k} \frac{\partial A}{\partial q_k} -\frac{\partial H}{\partial q_k} \frac{\partial A}{\partial p_k}\right).$

Таким образом, при переходе к квантовой теории
$\{H,A\}\to \frac{i}{\hbar} [\hat H, \hat A].$

Заметим, что алгебраические свойства скобки Пуассона совпадают со свойствами коммутатора наблюдаемых.
Определим оператор производной по времени:
$\hat{\dot A}\equiv \frac{\partial\hat A}{\partial t}+\frac{i}{\hbar} [\hat H, \hat A].$

Тогда
$\frac{d \lt A \gt }{dt}=(\psi,\hat{\dot A}\psi)= \lt \hat{\dot A} \gt .$

Пусть наблюдаемая $\hat A$ явно не зависит от времени и коммутирует с гамильтонианом:
$\frac{\partial\hat A}{\partial t}=0$ и $[\hat H,\hat A]=0$

Тогда в любом состоянии $\psi$ среднее значение наблюдаемой <A>=const. В этом случае $\hat A$ называется интегралом квантовых уравнений движения.

Стационарные состояния

Рассмотрим важный частный случай независящего от времени гамильтониана:
$\frac{\partial\hat H}{\partial t}=0$

В этом случае существуют специальные решения уравнения Шредингера, которые легко получаются методом разделения переменных:
$\psi_E={\rm exp}\left(-\frac{i}{\hbar}Et\right)\varphi_E,$

где $\varphi_E$ не зависят от времени и являются (как и $\psi_E$) собственными векторами гамильтониана:
$\hat H\varphi_E=E\varphi_E.$

Собственные значения E являются допустимыми значениями энергии системы, так как гамильтониан - оператор энергии, соответствующий классической функции Гамильтона.
Состояния $\psi_E$ называются стационарными состояниями. Их основные свойства таковы:
  • плотность вероятности и поток вероятности в этих состояниях не зависят от времени:
    $\frac{\partial\rho}{\partial t}=0,\; \frac{\partial{\bf j}}{\partial t}=0.$

  • Средние значения наблюдаемых не зависят от времени:
    $ \lt A \gt =(\psi_E,\hat A\psi_E)=(\varphi_E,\hat A\varphi_E)={\rm const}$ при $\frac{\partial\hat A}{\partial t}.$

  • Вероятность обнаружить собственное значение $\lambda$ наблюдаемой $\hat A$ не зависит от времени:
    $w(\lambda)=|(\psi_\lambda,\psi_E)|^2={\rm const}.$


  • Произвольное (нестационарное) состояние может быть разложено по стационарным состояниям - собственным векторам гамильтониана:
    $\psi(t,{\bf r})=\sum\limits_{n}^{}c_n\varphi_n({\bf r}){\rm exp}\left(-\frac{i}{\hbar} E_n t \right).$

    В нестационарном состоянии энергия не имеет определенного значения, но среднее значение ее от времени не зависит:
    $ \lt E \gt =(\psi,\hat H\psi)=\sum\limits_{n}^{}|c_n|^2 E_n={\rm const},$

    так как $\hat H$- интеграл движения:
    $\hat{\dot H}=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat H]=0.$

    Если наблюдаемая $\hat A$ не коммутирует с гамильтонианом, то ее среднее, как и должно быть, зависит от времени (даже при$\frac{\partial\hat A}{\partial t}=0$ ):
    $ \lt A \gt =\sum\limits_{n,n'}^{}c_n^*c_n'(\varphi_n,\hat A\varphi_n'){\rm exp}[\frac{i}{\hbar}(E_n-E_{n'})t].$

    Присутствие здесь недиагональных матричных элементов оператора наблюдаемой $(\varphi_n,\hat A\varphi_n')$ отражает характерный квантовомеханический эффект интерференции различных стационарных состояний.
    Легко проверить, что в нестационарном состоянии $\rho$ и j также зависят от времени.

    Теоремы Эренфеста

    Рассмотрим подробнее случай одномерного движения частицы в поле U(x). Гамильтониан
    $\hat H=\frac{\hat p_x^2}{2m}+U(\hat x).$

    Учитывая фундаментальный коммутатор $[\hat x,\hat p_x]=i\hbar$, вычислим по общему правилу (см. выше) оператор скорости:
    $\hat{\dot x}=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat x]=\frac{i}{2m\hbar}[\hat p_x^2,\hat x]; \; [\hat p_x^2,\hat x]= \hat p_x^2\hat x-\hat x\hat p_x^2+ \hat p_x\hat x\hat p_x-\hat p_x\hat x\hat p_x= \hat p_x[\hat p_x,\hat x]+[\hat p_x,\hat x]\hat p_x=-2i\hbar\hat p_x.$

    В результате
    $\hat{\dot x}=\frac{\hat p_x}{m}.$

    Далее
    $\hat{\dot p_x}=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat p_x]=\frac{i}{\hbar}[U(\hat x),\hat p_x]$

    Последний коммутатор проще всего вычислить в координатном представлении:
    $[U(\hat x),\hat p_x]=-i\hbar\left[ U(x),\frac{\partial}{\partial x}\right]= i\hbar\frac{\partial U}{\partial x}.$

    В результате получим:
    $\hat{\dot p_x}=-\frac{\partial U(\hat x)}{\partial \hat x}.$

    Отсюда для средних значений следуют уравнения, впервые полученные Эренфестом (P. Ehrenfest) в 1927 г.:
    $\frac{d \lt x \gt }{dt}=\frac{ \lt p_x \gt }{m},\; \frac{d \lt p_x \gt }{dt}=-\left \lt \frac{\partial U}{\partial x}\right \gt .$

    Это, очевидно, квантовый аналог системы канонических уравнений Гамильтона. Отсюда следует квантовое обобщение закона Ньютона:
    $m\frac{d^2 \lt x \gt }{dt^2}=-\left \lt \frac{\partial U}{\partial x}\right \gt .$

    Эти уравнения выражают содержание теорем Эренфеста.
    Рассмотрим переход к классическим уравнениям движения. Пусть состояние $\psi$ представляет собой волновой пакет, сосредоточенный в окрестности точки x=<x>. Разложив силу $F(x)=-\partial U/\partial x$ в ряд по $\Delta x=x- \lt x \gt $ и усреднив по пакету, получим с точностью до членов второго порядка малости уравнение движения
    $m\frac{d^2 \lt x \gt }{dt^2}=F( \lt x \gt )+\frac{1}{2}F''( \lt x \gt ) \lt (\Delta x)^2 \gt +\cdots.$

    Здесь учтено, что $ \lt \Delta x \gt \equiv 0.$ При условии
    $ \lt (\Delta x)^2 \gt \ll 2 \left| \frac{F( \lt x \gt )}{F''( \lt x \gt )}\right|$

    движение центра волнового пакета описывается классическим уравнением Ньютона. Этого условия, однако, недостаточно. Надо учесть соотношение неопределенностей
    $ \lt (\Delta x)^2 \gt \lt (\Delta p_x)^2 \gt \ge \frac{\hbar^2}{4}$

    и потребовать относительной малости флуктуаций импульса около среднего значения <px>: $ \lt p_x^2 \gt = \lt p_x \gt ^2+ \lt (\Delta p_x)^2 \gt \cong \lt p_x \gt ^2$ при
    $ \lt p_x \gt ^2\gg \left \lt (\Delta p_x)^2\right \gt \ge \frac{\hbar^2}{4 \lt (\Delta x)^2 \gt }$

    В этом приближении получаем классическую функцию Гамильтона:
    $ \lt H(\hat x, \hat p_x) \gt \cong H( \lt x \gt , \lt p_x \gt )=\frac{ \lt p_x \gt ^2}{2m}+U( \lt x \gt ),$

    и можно говорить о движении центра пакета по траектории.
    Указанные два условия одновременно выполняются при движении частицы с относительно большим импульсом в плавно меняющемся внешнем поле.

    Интегралы движения и симметрия в квантовой механике

    Вернемся к интегралам движения в квантовой механике и покажем, что их существование связано с симметрией системы. Ограничимся случаем $\partial\hat H/\partial t=0$. Пусть спектр гамильтониана инвариантен относительно некоторых преобразований векторов состояний:
    $\psi\to\psi'=\hat D\psi,$

    где $\hat D$- линейный оператор. Инвариантность означает, что из уравнения
    $\hat H\psi=E\psi$

    следует такое же уравнение для преобразованного вектора:
    $\psi H(\hat D\psi)=E\hat D\psi.$

    Отсюда получаем условие инвариантности гамильтониана:
    $\hat D^{-1}\hat H\hat D=\hat H,$ или $[\hat H,\hat D]=0.$

    Естественно потребовать также сохранения нормы вектора:
    $(\hat D\psi,\hat D\psi)= (\psi,\hat D^+\hat D\psi)=(\psi,\psi).$

    Следовательно, оператор преобразования должен быть унитарным:
    $\hat D^+\hat D=\hat I,$ или $\hat D^{-1}=\hat D^+.$

    Для приложений представляют интерес унитарные операторы вида
    $\hat D=e^{i\alpha\hat F},$

    где $\hat F$- эрмитов оператор $\hat F=\hat F^+,$ т.е. некоторая наблюдаемая; $\alpha$- вещественный параметр. Условие инвариантности гамильтониана принимает вид
    $[\hat H,\hat F]=0.$

    Поэтому наблюдаемая $\hat F$- интеграл движения (при $\partial\hat F/\partial t=0.$)
    Пример. Пусть свойства системы инвариантны относительно группы G линейных непрерывных преобразований g координат:
    ${\bf r}\to{\bf r'}=g{\bf r}.$

    Ввиду скалярности волновой функции ее закон преобразования имеет вид:
    $\psi'({\bf r'})=\psi({\bf r}),$ или $\psi'({\bf r})=\psi(g^{-1}{\bf r})=\hat D(g)\psi({\bf r})$

    Линейные операторы $\hat D(g)$ реализуют представление группы G.
    Рассмотрим группу трансляций: r'=r+a, где a- постоянный вектор. Тогда
    $\psi'({\bf r})=\psi({\bf r-a})=[1-{\bf a}\cdot\nabla+\frac{1}{2}({\bf a}\cdot\nabla)^2+\cdots]\psi({\bf r})=e^{-{\bf a}\cdot\nabla}\psi({\bf r}),$

    или
    $\psi'({\bf r})={\rm exp}\left(-\frac{i}{\hbar}{\bf a\cdot\hat p}\right)\psi({\bf r}),$

    где ${\bf\hat p}=-i\hbar\nabla$- оператор импульса, который оказывается генератором группы трансляций в пространстве волновых функций. Для свободной частицы ${\bf\hat p}$ коммутирует с гамильтонианом $\hat H={\bf\hat p}^2/2m$, т.е. является интегралом движения.
    Рассмотрим группу вращений SO(3). Нетрудно показать, что волновая функция преобразуется при вращениях по закону:
    $\psi'({\bf r})={\rm exp}\left( -\frac{i}{\hbar}\varphi{\bf n\cdot \hat L} \right) \psi({\bf r}), $

    где $\varphi$- угол поворота вокруг оси, направление которой задано единичным вектором n;
    ${\bf \hat L=\hat r\times \hat p}=-i\hbar {\bf r}\times \nabla$

    - оператор момента импульса, или угловой момент. Следовательно, оператор момента - генератор группы вращений. Можно показать (см. ниже п. 9), что для частицы, движущейся в центрально-симметричном поле U(|r|), момент - интеграл движения:
    $[\hat H,{\bf\hat L}]=0,\; \hat H=\frac{\bf \hat p^2}{2m}+U(|{\bf r}|)$

    .

    Соотношение неопределенностей "время - энергия"

    Положим в общей формуле СН
    $\left \lt (\Delta A)^2\right \gt \left \lt (\Delta B)^2\right \gt \ge \frac{1}{4} \lt C \gt ^2,\; [\hat A,\hat B]=i\hat C,\; \hat B=\hat H,\; \frac{\partial\hat H}{\partial t}=0.$

    С учетом соотношения
    $\left \lt [\hat H,\hat A]\right \gt =-i\hbar \left \lt (\Delta A)^2\right \gt $

    получаем
    $\left \lt (\Delta A)^2\right \gt \left \lt (\Delta E)^2\right \gt \ge \frac{\hbar^2}{4}\left( \frac{d \lt A \gt }{dt}\right)^2.$

    Введем характерное время изменения наблюдаемой :
    $\Delta t_A=\frac{\left \lt (\Delta A)^2\right \gt ^{1/2}}{\left|\frac{d \lt A \gt }{dt}\right|}.$

    Тогда получим
    $\Delta E\cdot \Delta t_A\ge \frac{\hbar}{2},$

    где $\Delta E= \left \lt (\Delta E)^2\right \gt ^{1/2}.$ Следовательно, множество значений $\Delta t_A$ для всевозможных наблюдаемых ограничено снизу. Определим время, за которое в процессе эволюции системы заметно изменяется распределение хотя бы одной из наблюдаемых:
    $\Delta t=\inf\limits_{A}^{}\Delta t_A.$

    . Тогда получаем, что для любого состояния $\psi$ справедливо соотношение, называемое соотношением неопределенностей "время - энергия":
    $\Delta E\cdot \Delta t\ge\frac{\hbar}{2}.$

    Подчеркнем, что здесь $\Delta E$ - неопределенность энергии в состоянии $\psi,$ которая от времени не зависит (в силу $\partial\hat H/\partial t=0$).
    Качественно СН "время - энергия" может быть получено из анализа эволюции волнового пакета, рассмотренного выше в п. 2: разброс частот в пакете и характерное время его расплывания связаны условием $\Delta \omega\cdot\Delta t\ge 1.$ Учитывая, что $\Delta E=\hbar\Delta\omega,$ получим $\Delta E\cdot \Delta t\ge\hbar.$

    Назад | Вперед


    Посмотреть комментарии[1]
     Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования