Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Зарегистрируйтесь на нашем сервере и Вы сможете писать комментарии к сообщениям Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика | Популярные статьи
 Посмотреть комментарии[1]  Добавить новое сообщение

Гаусс и его теорема о семнадцатиугольнике

Подобно Архимеду Гаусс выразил
желание, чтобы на его могиле был
увековечен семнадцатиугольник.
Г. Вебер

Так же как в литературе Гомер, Данте, Шекспир, Гёте, Толстой и Достоевский, так в математическом естествознании Архимед, Ньютон, Эйлер, Гаусс, Риман и Пуанкаре --- высочайшие вершины, соединение гениальности и всеохватности.

Карл Фридрих Гаусс (1777--1855) --- математик, чьё имя, как и имя Архимеда, овеяно легендами. Многие его высказывания вошли в поговорку. Часто вспоминают его девиз: "Nilactum reputans si quid superesset agendum"1). В этой личности счастливо сплелись могучий интеллект, сильный характер и любознательность естествоиспытателя. При жизни Гаусс был признан величайшим и коронован титулом "Mathematicorum Princeps"2. Хвала его гению и блистательный обзор творчества Гаусса содержится в книге [3].

"Математическая деятельность Гаусса, --- пишет Феликс Клейн, --- началась одним крупным открытием, которое привело его к твёрдому убеждению навсегда посвятить себя науке... 30 марта 1796 года ему --- девятнадцатилетнему --- удалось показать, что правильный семнадцатиугольник может быть построен с помошью циркуля и линейки", т. е. совершить прорыв в проблеме, где не было никакого прогресса в течение свыше 2000 лет.

Потомки постарались выполнить завещание великого учёного. Они воздвигли ему памятник (на родине, в Брауншвейге), который стоит на постаменте, являющемся правильным семнадцатиугольником. Но если не знать этого, то и не заметишь: правильный семнадцатиугольник почти неотличим от круга.

Теорема 5. Правильный семнадцатиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки.

Приводимое доказательство --- лишь незначительная обработка доказательства самого Гаусса.

Доказательство. 5.1. Для построения правильного семнадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, достаточно построить отрезок длины cos (см. рисунок ниже). Дальнейшая последовательность действий не вызывает трудностей. Однако для этого построения нам потребуются некоторые соотношения в комплексных числах.

5.2. Обозначим через один из комплексных корень семнадцатой степени из единицы:


==e
2 i/17=cos+i sin.

Введём обозначения:

z1=+-1,

1=2+-2,

y1=z1+z2,

z2=4+-4,

2=8+-8,

y3=z1z2,

y2=1+2,

x1=y1+y2,

y4=12,

x2=y3+y4.

Заметим, что все эти числа действительные. В самом деле,


k+-k=(cos+i sin) +(cos - +i sin - )=2cos.

Поскольку z1=2cos, нам достаточно построить отрезок длины z1.

5.3. Лемма. k=17+k при целых k.

Доказательство леммы. Действительно,


17+k=cos+i sin=cos(2+)+i sin(2+)=
=cos+i sin=
k.

5.4. Лемма. k=0.

Доказательство леммы. По формуле суммы геометрической прогрессии (которая, конечно, верна и для комплексных чисел) получаем:


k= =0.

Следствие. k=-1.

Доказательство следствия. k = ( k) - 0=0 - 1= -1.

Следствие. (k+-k)=-1.

5.5. Лемма. y1y2 = y3y4 = -1.

Доказательство леммы.


y
1y2=(+-1+4+-4) (2+-2+8+-8)=
=
3+-1+9+-7+ 1+-3+7+-9+ 6+
+
2+12+-4+ -2+-6+4+-12=
=(
k+-k)=-1.

Аналогичная выкладка показывает, что y3y4=-1.

5.6. Лемма. x1+x2= -1, x1x2= -4.

5.7. Напомним, что если заданы отрезки длины 1, |p|, и |q|, то циркулем и линейкой можно построить отрезки, длины которых равны абсолютной величине корней квадратного уравнения x2+px+q=0 (если корни этого уравнения действительны).

Поскольку x1+x2= -1, x1x2= -4, то по теореме Виета x1 и x2 --- корни уравнения x2+x-4=0, а значит, мы можем построить отрезки длины |x1| и |x2|.

Теперь, так как y1+y2=x1 и y1y2= -1, можно построить отрезки длины |y1| и |y2|. Из равенств y3+y4=x2 и y3y4= -1 получаем отрезки длины |y3| и |y4|. И наконец, используя равенства z1+z2=y1 и z1z2=y3, мы можем построить отрезок длины z1, а следовательно, и правильный семнадцатиугольник.

Воспользовавшись этим рассуждением, можно получить следующее выражение для cos :


cos = -1+++
+ .

Впоследствии было доказано, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда n=2k F1 F2*...* Fk, где все Fi --- простые числа вида +1 (числа Ферма). У Ферма было подозрение, что все числа вида +1 --- простые. Эйлер опроверг это утверждение, указав, что число

+1=4,294,967,297

имеет простым делителем 641. В наш компьютерный век стало возможным исследовать на простоту достаточно большие числа, но пока ни одного простого числа Ферма, кроме 5, 17, 257 и 65,537, не найдено.


1 Что не завершено, не сделано вовсе ( лат.).

2 Король математиков ( лат.).

Список литературы


Посмотреть комментарии[1]
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования