Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Дифференциальные уравнения | Научные статьи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
 См. также

Научные статьиПринцип динамического баланса и его реализация в учебном процессе

Популярные статьиВведение в физику открытых систем: Динамическое и статистическое описание сложных движений

Популярные статьиДинамические системы: динамическая система

Аннотации книгЭта книга предназначена для специалистов по теории устойчивости, механике. Будет интересна аспирантам и инженерам-математикам.

КнигиВласть и советское общество в 1930-е годы: англо-американская историография проблемы

Научные статьиТеоретико-методологические основы профилактики нервных и психических болезней

Популярные статьиГорячие "черные дыры". Новое в понимании природы теплоты: 5. Термодинамика и информация

Популярные статьиРусское издание сочинений Давида Гильберта

Словарные статьиАвтоколебания

Популярные статьиРусское издание сочинений Давида Гильберта: (1)

Учетные карточкиО.Б. Лупанов. Математика и механика в Московском университете

Популярные статьиВведение в физику открытых систем: prigogine

Новости14 февраля - день рождения С.П. Капицы

ДиссертацииСуров В.В. - Исследование задач и методов их решения для одного класса систем логических соотношений

Аннотации книгИсаенко А.Н., Денискин С.А. Фрактальность живого. От клетки до национальной идеи.

ТезисыРеализация принципа динамического баланса в процессе методической подготовки будущего учителя физики

Научные статьиПсихосоматический симптом как феномен культуры

Популярные статьиОт громовых камней до современной метеоритики

Научные статьиФилипповский Г. Ю., Поэтика экспозиций в литературных памятниках Руси XII века.

Популярные статьи150 лет ГАИШ: 150 лет Московской университетской обсерватории - Государственному Астрономическому институту имени П.К.Штернберга

Грубые системы.

Уже из простейших примеров видно, что иногда качественные свойства ДС могут изменяться при сколь угодно малых возмущениях, а иногда -- нет. Тривиальный пример -- если в ДС никаких движений на самом деле не происходит, т.е. если речь идёт о тождественном диффеоморфизме или о потоке с нулевым векторным полем фазовой скорости. Тогда, конечно, при сколь угодно малом возмущении могут получиться различные качественные картины. Менее вырожденный пример -- когда имеется неподвижная точка диффеоморфизма или положение равновесия потока (нуль соответствующего векторного поля), которые асимптотически устойчивы, но не экспоненциально устойчивы. Тогда при сколь угодно малом (в смысле C1) возмущении в одних случаях неподвижная точка (положение равновесия) может вообще исчезнуть, а в других случаях исчезновения не происходит, но устойчивость может нарушиться. Если же неподвижная точка экспоненциально устойчива, то при C1-малом возмущении она не исчезает и остаётся асимптотически устойчивой; то же относится и к экспоненциально устойчивому положению равновесия. В данном случае речь идёт о сохранении локальной качественной картины (возле неподвижной точки или положения равновесия). Те случаи, когда качественная картина во всём фазовом пространстве выдерживает малые возмущения, заслуживает особого внимания. В связи с этим по идее А.А.Андронова и Л.С.Понтрягина (1937 г.) вводят следующее определение.

Диффеоморфизм f гладкого замкнутого многообразия M называется грубым, если для любого достаточно C1-близкого к нему диффеоморфизма g существует гомеоморфизм $ \chi$ :  M$ \to$M, сопрягающий f и g в том смысле, что

$\displaystyle \chi$of = go$\displaystyle \chi$. (22)

Поток {$ \phi_{t}^{}$} на гладком замкнутом многообразии M, задаваемый гладким векторным полем фазовой скорости  v (так что $ {\dfrac{d}{dt}}$$ \phi_{t}^{}$(x) = v($ \phi_{t}^{}$(x))), называется грубым, если любое достаточно C1-близкое к  v поле  w определяет поток  {$ \psi_{t}^{}$}, эквивалентный потоку  {$ \phi_{t}^{}$} в том смысле, что существует гомеоморфизм $ \chi$ :  M$ \to$M, переводящий траектории первого потока в траектории второго потока с сохранением направления движения по ним. Стоит отметить некоторые особенности этого определения (более подробное обсуждение имеется в [76]). В случае непрерывного времени не требуется, чтобы гомеоморфизм $ \chi$ сопрягал невозмущённый и возмущённый потоки в том смысле, что

$\displaystyle \chi$o$\displaystyle \phi_{t}^{}$ = $\displaystyle \psi_{t}^{}$o$\displaystyle \chi$    при всех t (23)

(что казалось бы естественным аналогом (22)). Дело в том, что если у потока имеется замкнутая траектория, то при возмущении её период может измениться, а тогда (23) невозможно; между тем изменение периода мы не считаем изменением качественной картины. Не требуется, чтобы $ \chi$ было диффеоморфизмом, потому что если у диффеоморфизма f имеется неподвижная точка (которая у грубого диффеоморфизма должна сохраняться при малом возмущении), то при возмущении собственные значения соответствующей матрицы линейного приближения могут измениться, а если бы $ \chi$ в (22) было диффеоморфизмом, этого не могло бы произойти. Для потоков аналогичные соображения оформляются несколько сложнее (потому что мы требуем эквивалентности, а не выполнения (23)), но вывод по-прежнему состоит в том, что, вообще говоря, $ \chi$ не может быть диффеоморфизмом. В определении Андронова и Понтрягина дополнительно требовалось, чтобы при достаточной близости g к f или  w к  v гомеоморфизм $ \chi$ был C0-близким к тождественному. Позднее М.М.Пейксото предложил этого не делать, так что имеются два логически различных варианта грубости -- по Андронову--Понтрягину и по Пейксото. Первое формально более ограничительно, чем второе, но теперь известно, что на самом деле эти варианты эквивалентны. Поэтому я позволю себе их не различать, хотя на самом деле их эквивалентность -- весьма нетривиальный факт (о чём в своём месте будет сказано отдельно). Вместо грубости часто (особенно за рубежом) говорят о ``структурной устойчивости''.

После того как в классической работе А.А.Андронова и Л.С.Понтрягина было введено понятие грубой системы и охарактеризованы грубые потоки на плоскости (точнее, на двумерной сфере), естественно возник вопрос о качественной характеризации поведения траекторий грубых систем в других случаях. В определении говорится о том, что происходит при возмущении; в характеризации, о которой идёт речь, говорится только о поведении траекторий невозмущённой системы. М.М.Пейксото перенёс теорему Андронова--Понтрягина на потоки на замкнутых поверхностях; формулировка при этом почти не изменилась. Во всех этих случаях грубые потоки образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех потоков с C1-топологией. Естественно, встал вопрос, какие системы являются грубыми в многомерных случаях (а для систем с дискретным временем -- уже и в двумерном 84). Наиболее непосредственное обобщение условий грубости двумерных потоков приводит к так называемым системам Морса--Смейла; кроме того, по аналогии с этим случаем можно было бы думать, что грубые системы образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех ДС на рассматриваемом многообразии с C1-топологией. Но всё это оказалось неверным, за исключением предположения о грубости систем Морса--Смейла. Не лишённая драматизма история исследований в этой области неоднократно описывалась, в том числе и мной (см. ниже), поэтому я сразу перейду к ответу. В ходе ``гиперболической революции'' С.Смейл высказал предположение, что для грубости необходимо и достаточно, чтобы множество неблуждающих точек было гиперболическим 85 (это главное), чтобы периодические точки были в нём плотны (совокупность этих двух условий называется ``аксиомой А'' Смейла) и чтобы соответствующие устойчивые и неустойчивые многообразия имели только трансверсальные пересечения (``сильное условие трансверсальности''). Достаточность была доказана (в полной общности -- Р.К.Робинсоном) в конце предыдущего 20-летия, необходимость же доказана только теперь, хотя очень важный шаг был уже давно сделан Ч.Пью, доказавшим на первый взгляд простую, а на самом деле трудную лемму о замыкании. Она утверждает, что если данная гладкая система имеет неблуждающую точку x, то сколь угодно малым в C1-смысле возмущением можно обеспечить, чтобы x стала периодической. Несколько упрощённое и уточнённое по сравнению с первоначальным доказательство имеется в [79], где также показано, что аналогичная лемма верна и в классе гамильтоновых систем. (В последнем классе, как и в классе ДС, сохраняющих объём, Ck-аналог этой леммы при достаточно большом k неверен! Ссылки на соответствующие работы М.Эрмана и Дж.Ксиа см. в [1].). Но и после того, как эта лемма была доказана, прошло немало времени, пока не удалось доказать необходимость условий грубости, гипотетически указанных Смейлом. Для динамических систем с дискретным временем необходимость была доказана Р.Мане, для потоков -- Ш.Хаяши. (В [76] упоминаются некоторые ``промежуточные'' работы, отчасти тоже сыгравшие роль.) Стоит заметить, что Мане и Хаяши пришлось добавить к лемме о замыкании ещё некоторые утверждения сходного характера (столь же ``очевидные'').

Упоминавшаяся выше эквивалентность грубости по Андронову--Понтрягину и по Пейксото следует из того, что условия, необходимые для второй, являются достаточными для первой. Более простого доказательства эквивалентности не известно, хотя, казалось бы, этот факт должен быть более элементарным.

Несколько более слабым, чем грубость, свойством является так называемая $ \Omega$-грубость, состоящая, грубо говоря, в сохранении при малых возмущениях множества неблуждающих точек вместе с динамикой на нём. Точное определение см. в любом учебнике по гиперболической динамике или в обзоре о гиперболических множествах [77]. Название связано с тем, что множество неблуждающих точек часто обозначают через $ \Omega$. Здесь мы тоже примем это обозначение. Необходимое и достаточное условие $ \Omega$-грубости было высказано в виде гипотезы С.Смейлом и Дж.Палисом. Главным в нём является гиперболичность множества неблуждающих точек; сверх того нужны ещё плотность в нём множества периодических точек и так называемая ацикличность этого множества. Имеются эквивалентные условия, в которых требуется либо гиперболичность и ацикличность некоторого другого множества, которое a priori могло бы быть меньше чем $ \Omega$, либо одна гиперболичность некоторого множества (множества цепно рекуррентных точек), которое a priori могло бы быть больше $ \Omega$; на самом деле при выполнении упомянутых условий все эти множества совпадают с $ \Omega$. Эквивалентность этих условий и их достаточность доказали С.Смейл и его сотрудники; по теперешним меркам это сравнительно несложно (достаточность доказывается легче, чем достаточность соответствующего условия для грубости). Доказательство необходимости оказалось столь же трудным, как и для грубости; для систем с дискретным временем его дал Дж.Палис сразу же после работы Мане, а для потоков -- Ш.Хаяши.

Обзор [76] отражает ситуацию вплоть до начала 80-х гг. (в историческом отношении его дополняют воспоминания М.Пейксото [80]). Достижения следующих лет: [81], [82], [83], [84].

В определении грубой системы говорится о возмущениях, малых в смысле C1. Если рассматривать диффеоморфизмы f, g,... (векторные поля $ \bf v,w,\dots$) класса Ck и если в определении грубости исходной ДС (определяемой f или v) ``близость'' g к f ( w к v) понимать как Ck-близость, то получится определение свойства, которое естественно назвать Ck-грубостью. (От гомеоморфизма $ \chi$ по-прежнему гладкости не требуется. При этом по-прежнему можно требовать или не требовать близости $ \chi$ к тождественному преобразованию, так что получаются два варианта Ck-грубости -- Ck-грубость по Андронову--Понтрягину и Ck-грубость по Пейксото.) В новых терминах прежняя грубость -- это C1-грубость. Что можно сказать о Ck-грубости при k > 1?

Пока что ничто не противоречит предположению, что Ck-грубость эквивалентна C1-грубости (не считая, конечно, того, что о Ck-грубости можно говорить только применительно к ДС класса Ck). Однако положительных результатов на сей счёт всего два: это так а) в размерности 1 (и для потоков, и для диффеоморфизмов); б) для потоков на ориентируемых двумерных замкнутых многообразиях и на трёх простейших неориентируемых двумерных замкнутых многообразиях -- тех, у которых эйлерова характеристика равна 1 (проективная плоскость), 0 (тор) или -1. Во всех этих случаях Ck-грубые системы образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех ДС класса Ck на данном многообразии. В остальных случаях попытка найти необходимое условие Ck-грубости на том пути, который привёл к успеху при k = 1, упирается, прежде всего, в вопрос о справедливости Ck-варианта леммы о замыкании. В свете сказанного выше, перспективы здесь вызывают сомнения. Можно ещё добавить, что если несколько усилить утверждения леммы о замыкании (казалось бы, совершенно естественным способом), то уже её C2-аналог не будет справедлив. См. цитированную в [1] статью К.Гутьерреса, а также [85] (усиление леммы, которое, как показано в [85], при k = 2 неверно, близко к утверждениям, доказанным и использовавшимся при k = 1 Мане и Хаяши).

Можно определить понятие грубости для систем с некомпактным фазовым многообразием и для потоков на компактных многообразиях с краем. Ситуация в этих случаях далеко не полностью выяснена. Известно, что она отчасти отличается от описанной выше.

По темам последних трёх абзацев я не знаю более новых работ, чем указанные в [76].

Наконец, надо остановиться на грубости гладких отображений отрезка [0, 1] в себя, которые не являются взаимно однозначными (для диффеоморфизмов отрезка вопрос тривиален). Определение грубости дословно переносится на этот случай (с заменой слова ``диффеоморфизм'' на ``гладкое отображение''). Сразу же бросается в глаза новое обстоятельство: при наличии критических точек (точек x, где f'(x) = 0) отображение f не может быть C1-грубым. Действительно, путём возмущения, сколь угодно малого в смысле C1, можно столь заметно изменить характер критической точки, что это ``почувствуется'' даже при нашем довольно грубом подходе, когда всё рассматривается с точностью до топологического сопряжения. Например, можно обеспечить, чтобы возмущённое отображение переводило некоторый отрезок в одну точку; или, наоборот, чтобы каждая точка имела только конечное число прообразов. Поэтому при наличии критических точек в содержательной теории речь должна идти о Ck-грубости с k > 1. В свете сказанного выше ясно, что это создаёт немалые трудности.

Используя специфику одномерного случая и пользуясь выходом в комплексную область (где, к счастью, уже имелись результаты, которые удалось использовать), О.С.Козловский смог справиться с этими трудностями в простейшем нетривиальном случае так называемых унимодальных отображений, т.е. гладких отображений отрезка в себя, имеющих ровно одну критическую точку [86]. Результат состоит в том, что при любом k > 1 унимодальное Ck-гладкое отображение отрезка в себя является Ck-грубым в том и только том случае, когда оно удовлетворяет аксиоме А (подходящим образом переформулированной применительно к одномерным отображениям с критическими точками) и его критическая точка является невырожденной (вторая производная в ней отлична от нуля). Козловский доказал также, что унимодальные отображения, удовлетворяющие аксиоме А (к которой уже тривиальным образом можно добавить условие невырожденности критической точки), всюду плотны в пространстве всех унимодальных отображений класса Ck. Собственно, в этом и состоит его основной результат, из которого уже сравнительно легко получается необходимость приведённого выше условия грубости, тогда как его достаточность была известна раньше.




Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования