Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   BOAI: наука должна быть открытой Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Дифференциальные уравнения | Научные статьи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
 См. также

Научные статьиПринцип динамического баланса и его реализация в учебном процессе

Популярные статьиВведение в физику открытых систем: Динамическое и статистическое описание сложных движений

Популярные статьиДинамические системы: динамическая система

Аннотации книгЭта книга предназначена для специалистов по теории устойчивости, механике. Будет интересна аспирантам и инженерам-математикам.

КнигиВласть и советское общество в 1930-е годы: англо-американская историография проблемы

Научные статьиТеоретико-методологические основы профилактики нервных и психических болезней

Популярные статьиГорячие "черные дыры". Новое в понимании природы теплоты: 5. Термодинамика и информация

Популярные статьиРусское издание сочинений Давида Гильберта

Словарные статьиАвтоколебания

Популярные статьиРусское издание сочинений Давида Гильберта: (1)

Учетные карточкиО.Б. Лупанов. Математика и механика в Московском университете

Популярные статьиВведение в физику открытых систем: prigogine

Новости14 февраля - день рождения С.П. Капицы

ДиссертацииСуров В.В. - Исследование задач и методов их решения для одного класса систем логических соотношений

Аннотации книгИсаенко А.Н., Денискин С.А. Фрактальность живого. От клетки до национальной идеи.

ТезисыРеализация принципа динамического баланса в процессе методической подготовки будущего учителя физики

Научные статьиПсихосоматический симптом как феномен культуры

Популярные статьиОт громовых камней до современной метеоритики

Научные статьиФилипповский Г. Ю., Поэтика экспозиций в литературных памятниках Руси XII века.

Популярные статьи150 лет ГАИШ: 150 лет Московской университетской обсерватории - Государственному Астрономическому институту имени П.К.Штернберга

Неклассические группы преобразований.

В большей части настоящей статьи под ДС понимается действие группы или полугруппы $ \mathbb {Z}$, $ \mathbb {R}$, $ \mathbb {Z}$+, $ \mathbb {R}$+  29на фазовом пространстве X (причём X имеет определённую структуру и действие определённым образом согласовано с ней). Но можно рассматривать действие других групп. Тогда говорят о ``группах преобразований'', но если желать подчеркнуть, что нас интересуют вопросы, во многом сходные с рассматриваемыми для обычных ДС, то можно говорить о ``ДС с неклассическим временем'' (пробегающим группу или полугруппу G), тогда как ДС в прежнем смысле -- это ``ДС с классическим временем''. Такая терминология тем более оправдана, что по историческим причинам название ``группы преобразований'' чаще всего используют, говоря либо о непрерывном действии компактной группы, либо об алгебраическом действии алгебраической группы, удовлетворяющем сильному условию регулярности; изучаемые вопросы в обоих случаях имеют другой характер.

Направление, о котором будет идти речь, -- это эргодическая теория ДС с неклассическим временем. Но сперва надо сделать одно отступление.

Ниже придётся упоминать аменабельные группы. Хотя их определение дал Дж.Нейман ещё в 1929 г., оно пока не стало общеизвестным. Поэтому я скажу о двух эквивалентных более поздних определениях 30, ограничиваясь только случаем дискретной группы G, во втором определении даже конечно порождённой. (В общем случае речь шла бы о локально компактной топологической группе или полугруппе.)

В определении Е.Фёлнера постулируется существование некоторой системы {Fn} подмножеств G, которую теперь называют фёлнеровской системой. Она играет примерно такую же роль, какую играют отрезки [- n, n] для  $ \mathbb {Z}$ -- при возрастании n они покрывают всю G; по ним можно осреднять; при сдвиге на фиксированный элемент группы среднее по достаточно большим множествам фёлнеровской системы почти не меняется.

Другое определение (восходящее к Х.Кестену и усовершенствованное Р.И.Григорчуком) годится для конечно порождённой группы G. Если она имеет n образующих, то её можно представить как факторгруппу G = Fn/H свободной группы с n образующими по некоторой нормальной подгруппе H. Обозначим через f (k) число несократимых слов из Fn длины $ \leq$ k, а через h(k) -- число тех из них, которые лежат в H. Почти очевидно, что f (k) = 2n(2n - 1)k - 1. Группа G аменабельна, если $ \lim\limits_{k\to\infty}^{}$$ \sqrt[k]{h(k)}$ = 2n - 1, т.е. если в H число слов длины $ \leq$ k растёт (с ростом k) практически столь же быстро, как и в Fn. Факторизация Fn по H является, стало быть, весьма основательной, -- в G очень много слов от образующих равно 1! Тем не менее кое-что остаётся, -- как-никак, коммутативные, нильпотентные и даже разрешимые группы аменабельны.

Об аменабельных группах см. в [28] (впрочем, второе из приведённых определений является более новым).

Теперь мы можем перейти к нашей теме. Вскоре после появления первых эргодических теорем (``статистической'' Дж.Неймана и ``индивидуальной'' Дж.Биркгофа) их попробовали перенести на другие группы и полугруппы преобразований с инвариантной мерой. Довольно быстро были доказаны аналоги эргодических теорем для $ \mathbb {Z}$n, $ \mathbb {R}$n, $ \mathbb {Z}$n+, $ \mathbb {R}$n+, затем перешли к другим или к более общим группам. По-видимому, естественным классом групп (полугрупп), для которых можно рассчитывать на эргодические теоремы, более или менее непосредственно напоминающие теоремы для классического времени, является класс локально компактных аменабельных групп (полугрупп). Статистическая эргодическая теорема доказана именно в такой общности. С индивидуальной эргодической теоремой положение сложнее. Ограничимся дискретными группами 31. Пусть (X,$ \mu$) -- пространство с конечной 32мерой, в котором действует посредством сохраняющих меру преобразований  {$ \phi_{g}^{}$} дискретная аменабельная группа G. По аналогии с классическим случаем, в индивидуальной эргодической теореме должны фигурировать средние fn(x) : = $ {\dfrac{1}{\char93  F_n}}$$ \sum\limits_{g \in F_n}^{}$f ($ \phi_{g}^{}$(x)), где Fn -- множество из фёлнеровской системы {Fn}, а #Fn -- число его элементов. Оказывается, не всегда можно утверждать, что последовательность fn(x) сходится почти всюду. Достаточным для этого является следующее дополнительное условие об {Fn}: система {Fn} -- возрастающая (т.е. Fn $ \subset$ Fn + 1) и, главное,

$\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}}^{}$$\displaystyle {\dfrac{\char93  (F_n^{-1}F_n)}{\char93  F_n}}$ < $\displaystyle \infty$

(последнее условие указано А.Кальдероном). Фёлнеровские системы, удовлетворяющие условию Кальдерона, существуют для почти нильпотентных групп (групп, имеющих нильпотентную подгруппу конечного индекса) 33. Они существуют также для счётных локально конечных групп. Неизвестно, нет ли ещё какого-нибудь значительного класса групп, для которых существуют такие фёлнеровские системы, а также нельзя ли заменить условие Кальдерона каким-нибудь более общим. Таким образом, индивидуальная эргодическая теорема доказана в формулировке, достаточно близкой к классической, для почти нильпотентных и для локально конечных групп G. Для других групп в литературе имеются некоторые анонсы, подозрительно долго остающиеся не поддержанными подробными публикациями.

Об эргодических теоремах для аменабельных групп см. [30], [29].

Недавно И.Линденштраусс анонсировал следующий общий результат. В любой счётной аменабельной группе имеется такая фёлнеровская система {Fn}, что для любого действия с конечной инвариантной мерой для осреднений по {Fn} имеет место индивидуальная эргодическая теорема. (Таким образом, ``некоторые фёлнеровские системы являются более фёлнеровскими, чем другие''.) Подробной публикации пока нет, но так как анонс был недавним, слова ``подозрительно долго'' к нему не могут относиться.

Но, оказывается, и за пределами класса аменабельных групп могут иметь место эргодические теоремы. Во всяком случае, Р.И.Григорчук получил индивидуальную эргодическую теорему для конечно порождённых свободных групп (полугрупп) и некоторых близких к ним, -- а ведь считается (да отчасти и видно из второго определения), что свободные группы максимально далеки от аменабельных 34. Всё дело в том, что Григорчук изменил способ осреднения по `` времени'', т.е. по группе. Я бы сравнил это с переходом в теории рядов от обычной сходимости к чезаровским средним. Как известно, там имеется много различных способов суммирования. Быть может, нечто аналогичное ожидает нас и в эргодической теории? А может быть, хотя бы для конечно порождённых групп какой-то способ окажется универсальным?

Но я заговорил о неклассическом времени не ради одних только эргодических теорем (если бы речь шла только о них, это едва ли подошло бы под название данного параграфа). В эргодической теории систем с классическим временем эргодические теоремы составляют только часть. Исторически эта часть возникла первой и дала название всей теории, но уже полстолетия это именно часть и даже не половина. В ``абстрактных'', ``чисто метрических'' разделах эргодической теории обсуждаются различные свойства эргодических систем, вплоть до частичной классификации последних. При этом обычно приходится вместо произвольных пространств с мерой (хотя бы и нормированной) рассматривать пространства Лебега 35, что, впрочем, практически не сужает общности результатов с точки зрения возможности их приложения к конкретным примерам. В других разделах, которые условно можно назвать ``прикладными'', исследуются свойства конкретных систем или некоторых их классов. (Эти системы часто являются гладкими или топологическими, так что, в принципе, их изучение можно было бы отнести к топологической или гладкой динамике, но когда речь идёт о свойствах, известных из ``абстрактной'' эргодической теории, соответствующие исследования (классов) конкретных систем обычно тоже относят к эргодической теории.)

Для систем с неклассическим временем отдельные исследования такого рода появлялись и раньше, но широкое развитие они получили примерно после 1970 г. При этом в одних случаях выявлено сходство с классическим случаем, а в других -- отличие от него, причём граница, отделяющая привычную ситуацию от необычной, проходит в различных вопросах по-разному. Часто, как и выше, ситуация для аменабельных групп аналогична классической; иногда уже  $ \mathbb {Z}$2 разительно отличается от  $ \mathbb {Z}$.

Как и в предыдущей части §1, невозможно в двух словах рассказать о целой науке. Приведу только несколько примеров (поскольку я пытаюсь охарактеризовать данную область в целом, некоторые из этих примеров относятся к более раннему периоду, нежели последняя четверть века). Ограничусь только действиями дискретных групп (хотя многое -- но не всё -- проходит для сепарабельных локально компактных полугрупп 36) и вначале (в пп.а--в) буду считать, что группа G действует на пространстве Лебега (X,$ \mu$) и что все преобразования сохраняют меру $ \mu$.

а) Один из разделов эргодической теории -- спектральная теория -- начинается с того, что элементам g $ \in$ G сопоставляются операторы Ug в L2(X,$ \mu$):

(Ugf )(x) = f ($\displaystyle \phi_{g}^{-1}$(x)). (3)

При этом операторы Ug получаются унитарными и Ugh = UgUh, так что мы имеем дело с унитарным представлением 37группы G. Возникает задача -- исследовать свойства этого представления и выяснить, насколько полно они отражают свойства исходной ДС. При переходе от одной ДС к другой ДС, метрически изоморфной исходной, соответствующее представление заменяется на унитарно эквивалентное. В функциональном анализе разработана система понятий, относящихся к свойствам унитарных представлений, инвариантных относительно унитарной эквивалентности. В простейшем случае, когда речь идёт о степенях Un унитарного оператора U (так что мы имеем дело с представлением  $ \mathbb {Z}$), всё сводится к спектру этого оператора; поэтому и в более общем случае соответствующие понятия, инварианты, свойства называют спектральными. Константы всегда инвариантны относительно (3) и они образуют одномерное подпространство; поэтому молчаливо ограничиваются рассмотрением этого представления на ортогональном к константам подпространстве H $ \subset$ L2(X,$ \mu$) и соответствующие спектральные свойства называют также свойствами ДС  {$ \phi_{g}^{}$}. Надо пояснить, что в данном случае даже для одного оператора U спектр понимается в более тонком смысле, нежели в элементарных курсах функционального анализа, где под спектром линейного оператора A понимают совокупность тех $ \lambda$ $ \in$ $ \mathbb {C}$, для которых оператор A - $ \lambda$I не имеет всюду определённого ограниченного обратного. В смысле этого определения спектр ДС  {$ \phi^{n}_{}$} во всех практически интересных случаях совпадает с единичной окружностью; таким образом, он доставляет нам инвариант, который практически всегда одинаков и потому бесполезен. Но для различных специальных (и в то же время важных) классов операторов в функциональном анализе имеются более тонкие варианты понятия спектра; для нас наиболее существенно такое уточнённое понятие спектра для унитарного оператора U и самосопряжённого оператора A (последний выступает на сцену в случае потока как производящий оператор соответствующей однопараметрической группы унитарных операторов). Недостаток места заставляет отослать читателя по поводу этого понятия к менее элементарным учебникам по функциональному анализу (оно приводится также, хотя бы отчасти, в некоторых книгах по эргодической теории) 38. Ограничусь указанием, что говорят о непрерывном спектре, когда у U или A нет собственных функций (на H); о дискретном спектре -- когда собственные функции образуют полную систему (в H и тогда во всём L2(X,$ \mu$)); о смешанном спектре -- в остальных случаях.

Следует предупредить, что если для двух ДС соответствующие представления унитарно эквивалентны, то отсюда, вообще говоря, не следует, что ДС метрически изоморфны. Поэтому свойства ДС, вообще говоря, не исчерпываются её спектральными свойствами. Но иногда это так. В классической ситуации метрического автоморфизма $ \phi$ или потока с инвариантной мерой $ \phi_{t}^{}$ таков тот случай, когда ДС эргодична 39и спектр соответствующего U или A дискретный. В этом случае спектр полностью определяет ДС с точностью до метрического изоморфизма. В неклассической ситуации Дж.Макки 40 выделил случай, который во многом аналогичен и потому получил то же название: это тот случай, когда рассматриваемое представление разлагается в дискретную прямую сумму неприводимых конечномерных представлений. За описанием этого разложения условно сохраняется название ``спектр''. Если G коммутативна, то ситуация вполне аналогична классической, но для общих групп это не совсем так; в частности, дискретный спектр может не определять ДС с точностью до метрического изоморфизма.

Если спектр не дискретный, то даже для классического времени едва ли можно говорить о какой-то общей теории, а скорее о примерах и классах примеров. Для неклассического времени известно ещё меньше. Отмечу один только факт, контрастирующий с ситуацией для классического случая. В своё время в классической ситуации С.Банах обратил внимание на то, что во всех известных ему примерах с лебеговским спектром этот спектр счётнократный, и поставил вопрос, обязательно ли это должно быть так. Теперь разобрано больше примеров и во всех них подтверждается наблюдение Банаха, но ответ на его вопрос по-прежнему неизвестен 41. А вот для мультипликативной группы ненулевых рациональных чисел известен пример действия с однократным лебеговским спектром (М.Новодворский).

Отмечу заодно ещё один пример контраста между классическим и неклассическим аменабельным временем, хотя этот пример и не ``спектральный'', по крайней мере, непосредственно не является таковым 42. В.А.Рохлин высказал предположение, что если ДС с классическим временем обладает свойством перемешивания, то она обладает и свойством перемешивания любой кратности. Этот вопрос тоже остаётся открытым, тогда как для G = $ \mathbb {Z}$2 Ф.Ледраппье указал пример, где перемешивание есть, а кратного перемешивания нет.

б) Другим большим разделом эргодической теории является энтропийная теория, содержащая не только определение метрического инварианта ``энтропия'' и исследование его свойств, но и ряд родственных вопросов. Она в значительной степени переносится на аменабельные группы, начало чему положил А.М.Стёпин, определивший в конце 60-х гг. энтропию h$\scriptstyle \mu$ для действия аменабельной группы G с инвариантной нормированной мерой $ \mu$. Позднее совместно с А.Т.Таги-заде для непрерывного действия G на метрическом компакте он определил топологическую энтропию и доказал, что она совпадает с $ \sup_{\mu}^{}$h$\scriptstyle \mu$, где верхняя грань берётся по всем инвариантным нормированным мерам этого действия. (Тем самым подразумевается, что последние имеются; см. п.г.) Это является обобщением относящейся к классическому времени теоремы Е.И.Динабурга--Т.Гудмана--Л.Гудвина. См. также п.е.

в) Вот ещё один пример, где класс аменабельных групп тоже оказывается тем естественным классом, на который переносится известный результат, первоначально полученный для классического времени: любые два эргодические действия двух счётных дискретных аменабельных групп на пространстве Лебега X, сохраняющие меру, траекторно эквивалентны, т.е. существует такой метрический изоморфизм X$ \to$X, который переводит траектории одной системы в траектории другой (А.Конн, Дж.Фельдман и Б.Вейсс, 1981 г.). С чисто метрической точки зрения имеется, стало быть, только одно разбиение на траектории эргодических действий -- в качестве ``стандартного образца'' можно взять, скажем, разбиение окружности на траектории поворота на `` иррациональный'' угол 43.

У неаменабельной группы имеются траекторно неэквивалентные эргодические действия. Особенно резко контрастирует с теоремой Конна--Фельдмана--Вейсса следующий результат Р.Циммера (1980). Пусть G, H -- две связные полупростые группы Ли ранга больше 1, без центра и конечных факторгрупп. Пусть {$ \phi_{g}^{}$} и {$ \psi_{h}^{}$} -- их действия на пространстве Лебега (X,$ \mu$), которые сохраняют меру $ \mu$, эргодичны и остаются таковыми при ограничении на любую неединичную нормальную подгруппу, причём любой элемент группы, отличный от единицы, сдвигает все или почти все 44точки X. Если эти действия траекторно эквивалентны, то G и H изоморфны и после соответствующего отождествления их элементов оба действия становятся метрически изоморфными. Иными словами, существуют такие изоморфизм групп Ли f :  G$ \to$H и метрический автоморфизм h :  X$ \to$X, что h$ \phi_{g}^{}$ = $ \psi_{f(g)}^{}$ для всех g $ \in$ G.

Когда нечто может реализовываться, по существу, единственным образом (т.е. единственным образом с точностью до очевидных модификаций вроде ``подкручивания'' на f и h выше), то часто говорят о ``жёсткости'' 45. К моменту появления работы Циммера уже был получен ряд результатов (прежде всего, Г.Мостова и Г.А.Маргулиса) о жёсткости дискретных подгрупп групп Ли; они, как отмечает сам Циммер, оказали на него влияние (в данном случае, возможно, не столько в смысле непосредственной логической зависимости, сколько в отношении идейных ассоциаций 46). Позднее появились работы (прежде всего, А.Катка и его сотрудников) о некоторых явлениях жёсткости в более гладкой ситуации, смыкающейся с гиперболической теорией.

г) Широко известна теорема Н.М.Крылова--Н.Н.Боголюбова, которая находится на грани между топологической динамикой и эргодической теорией. Она утверждает, что топологическая динамическая система с классическим временем, фазовое пространство которой компактно, имеет хотя бы одну нормированную инвариантную меру. Вскоре после её опубликования Н.Н.Боголюбов указал, что точно такая же теорема справедлива для непрерывных действий аменабельных групп 47 на компактах (об этой его работе 1939 г. см.[39]). Можно доказать, что и обратно, если для любого непрерывного действия локально компактной группы на компактах имеется конечная инвариантная мера, то группа аменабельна.

д) Эта теорема Боголюбова, как и относящаяся к ``классическому'' случаю теорема Крылова--Боголюбова, ничего не говорит о свойствах инвариантной меры -- в различных примерах они могут быть различными; может также случиться, что одна система имеет много нормированных инвариантных мер, в том числе и эргодических, свойства которых существенно различаются. Одна мера может быть сосредоточена в одной точке (неподвижной при всех $ \phi_{g}^{}$), а другая -- быть положительной для всех открытых множеств. Первая мера эргодична 48, но никаких содержательных утверждений о системе с такой мерой (кроме того, что у системы есть неподвижная точка), разумеется, сделать нельзя. Во втором случае мера может быть, а может и не быть эргодической; если она эргодическая, то она может обладать или не обладать более сильными свойствами ``квазислучайного'' характера (в ``классической'' ситуации -- перемешивание, положительная энтропия и т.д.). Иногда существование инвариантной меры, заведомо заслуживающей особого внимания, известно заранее (с этим мы сталкиваемся в ``классической'' ситуации, рассматривая гамильтоновы системы), иногда же заранее никакой ``привилегированной'' инвариантной меры не имеется и специально выясняется вопрос о существовании не просто инвариантных мер, а мер с теми или иными интересными свойствами. Естественно, это делается в гораздо более конкретной ситуации, нежели в общих теоремах Крылова--Боголюбова или Боголюбова.

Интересный и важный класс примеров, для которых исследуется данный вопрос, возникает из статистической физики или по крайней мере подсказывается ею. Представим себе, что в каждой точке решётки $ \mathbb {Z}$m находится частица, которая может находиться в одном из k возможных состояний (``решётчатая система''). Обозначим фазовое пространство состояний одной частицы через A (например, можно взять A = {1,..., k}, если нет особых причин обозначать состояния частицы как-то иначе). Тогда состояние всей нашей бесконечной системы частиц описывается функцией $ \xi$ :  $ \mathbb {Z}$m$ \to$A, где $ \xi$(g) для точки g $ \in$ $ \mathbb {Z}$m есть состояние находящейся в этой точке частицы. Я нарочно обозначаю точку $ \mathbb {Z}$m через g, чтобы сразу перейти от  $ \mathbb {Z}$m к произвольной группе G (собственно, в большей части этого пункта можно было бы взять и полугруппу, но ограничимся группой, чтобы потом не делать оговорок). Конечно, в случае G $ \neq$ $ \mathbb {Z}$m мы уже не можем представлять себе некий кристалл, расположенный в  $ \mathbb {R}$m, но по-прежнему можем рассматривать функции $ \xi$ :  G$ \to$A. Совокупность $ \Omega$ : = AG всех таких функций есть фазовое пространство нашей бесконечной системы. Оно естественно снабжается топологией (тихоновская топология прямого произведения бесконечного числа экземпляров пространства A) 49 и несколько менее естественным образом -- метрикой. Несколько меньшая естественность метрики состоит в том, что имеется много метрик, индуцирующих эту топологию, и a priori нет оснований предпочесть одну из них другим. Опыт показывает, что в случае G = $ \mathbb {Z}$m для наших целей хороша следующая метрика. Взяв какую-нибудь (безразлично, какую) метрику d в A (например, можно принять, что расстояние между различными точками A равно 1, или положить d (i, j) = | i - j|), взяв какое-нибудь (безразлично, какое) число a $ \in$ (0, 1), и обозначив

| g| = $\displaystyle \sum_{r}^{}$| gr|    для $g = (g_1,..., g_k) &isin#in;Z^m$,

положим

$\displaystyle \rho$($\displaystyle \xi$,$\displaystyle \eta$) = $\displaystyle \sum_{g \in \mathbb{Z}^m}^{}$a| g|d ($\displaystyle \xi$(g),$\displaystyle \eta$(g)).

Легко проверяется, что топология в $ \Omega$, индуцируемая этой метрикой, есть как раз тихоновская топология. Для других групп тоже можно взять нечто аналогичное, заменив a| g| на подходящую функцию от g, которая, так сказать, достаточно быстро убывает при удалении g от единицы группы; я не буду на этом останавливаться. Таким образом, $ \Omega$ -- метрический компакт.

Наконец, имеется естественное действие G на $ \Omega$:

(g,$\displaystyle \xi$) $\displaystyle \mapsto$ $\displaystyle \phi_{g}^{}$($\displaystyle \xi$),    где    ($\displaystyle \phi_{g}^{}$($\displaystyle \xi$))(h) = $\displaystyle \xi$(gh)    при всех h $ \in$ G. (4)

Здесь мы обозначили групповую операцию как умножение (g, h) $ \mapsto$ gh, а не как сложение (g, h) $ \mapsto$ g + h, потому что G может быть некоммутативной. (Когда имеют дело с $ \mathbb {Z}$m, то, конечно, имеют дело с обычным сложением и записывают его с помощью знака +.) Отображения $ \phi_{g}^{}$ -- гомеоморфизмы $ \Omega$.

Полученный объект -- метризуемый компакт $ \Omega$ с действующей на нём согласно сказанному группой G, -- называют топологической ДС Бернулли или топологическим бернуллиевским действием группы G. Основанием для такого названия служит то, что при G = $ \mathbb {Z}$ элемент $ \xi$ $ \in$ $ \Omega$ можно интерпретировать как запись результатов бесконечной последовательности испытаний, имеющих одни и те же возможные исходы, которые образуют множество A: $ \xi$(n) -- это исход испытания в момент времени n (время дискретно и пробегает  $ \mathbb {Z}$). При этом $ \xi$(n) с n $ \leq$ 0 -- это результаты уже проведённых испытаний (в частности, $ \xi$(0) -- это результат испытания, проведённого ``сейчас''), а $ \xi$(n) с n > 0 -- это результаты будущих испытаний; первые нам уже известны, вторые нет. Чаще говорят о двусторонне бесконечной последовательности

...,$\displaystyle \xi$(- n),$\displaystyle \xi$(- n + 1),...,$\displaystyle \xi$(- 1),$\displaystyle \xi$(0);$\displaystyle \xi$(1),$\displaystyle \xi$(2),...,$\displaystyle \xi$(n),..., (5)

представляя себе её элементы записанными именно так, как выше, -- в порядке возрастания номера слева направо. Чтобы выделить положение элемента с номером ноль, использована точка с запятой. Действие  $ \mathbb {Z}$ на $ \Omega$ сводится к итерированию ``топологического сдвига Бернулли''

$\displaystyle \sigma$ :  $\displaystyle \Omega$$\displaystyle \to$$\displaystyle \Omega$,    $\displaystyle \xi$ $\displaystyle \mapsto$ $\displaystyle \sigma$$\displaystyle \xi$,    ($\displaystyle \sigma$$\displaystyle \xi$)(n) : = $\displaystyle \xi$(n + 1)

и обратного к нему отображения $ \sigma^{-1}_{}$. При этом сдвиге последовательность (5) сдвигается налево относительно точки с запятой; прежнее $ \xi$(1) становится элементом с нулевым номером, так что можно представить себе, что мы ещё раз повторили испытание и теперь уже знаем этот элемент. Обозначим проекцию бесконечного произведения

$\displaystyle \Omega$ = A$\scriptstyle \mathbb {Z}$ =...A×A×...×A×...

на его ``нулевой'' сомножитель A через $ \pi_{0}^{}$, так что $ \pi_{0}^{}$$ \xi$ = $ \xi$(0). Тогда можно сказать, что при последовательных испытаниях в момент времени n наблюдается исход $ \pi_{0}^{}$($ \sigma^{n}_{}$$ \xi$).

Из сказанного видно, что при G = $ \mathbb {Z}$ один и тот же объект ($ \Omega$,$ \sigma$) может интерпретироваться двумя способами. С точки зрения статфизики, с которой мы начали, речь идёт о состояниях бесконечной цепочки. Ни о какой динамике в обычном смысле -- в смысле эволюции системы с изменением времени -- при этом нет речи, ибо о настоящем времени вообще не говорится. Число n в (5) -- это номер элемента цепочки, а действие $ \sigma$ соответствует пространственному сдвигу цепочки на одно ``звено''. С вероятностной точки зрения, к которой мы перешли, n может считаться ``настоящим, физическим'' временем: за время n точка $ \xi$ фазового пространства переходит в  $ \sigma^{n}_{}$$ \xi$. Это соответствует тому, что мы представляем себе испытания, входящие в данную последовательность испытаний, осуществляющимися один за другим; сюда добавляется ещё указание, что в опыте наблюдается не $ \xi$, а только $ \pi_{0}^{}$$ \xi$, так что с изменением времени наблюдаются величины $ \pi_{0}^{}$$ \sigma^{n}_{}$$ \xi$, которые в данном случае совпадают с $ \xi$(n). (В более общем случае фазовое пространство $ \Omega$ и отображение $ \sigma$ :  $ \Omega$$ \to$$ \Omega$ могут быть другими, а наблюдаемая величина может быть некоторой функцией f :  $ \Omega$$ \to$$ \mathbb {R}$, так что с течением времени из наблюдений получается последовательность f ($ \sigma^{n}_{}$$ \xi$).) Статфизическая точка зрения годится и при G = $ \mathbb {Z}$m с m > 1; ``динамика'' опять-таки означает не изменение состояния со временем (которого нет), а действие пространственных сдвигов (трансляций) на рассматриваемую систему. Говорить же о последовательности испытаний больше не приходится, хотя можно вообразить испытания, почему-то пронумерованные элементами  $ \mathbb {Z}$m (чему, пожалуй, ещё можно дать (квази)реалистическую интерпретацию) или даже элементами общей группы G. Для G $ \neq$ $ \mathbb {Z}$m статфизическая интерпретация тоже становится условностью речи, навеянной аналогией с физически реальным случаем G = $ \mathbb {Z}$, $ \mathbb {Z}$2, $ \mathbb {Z}$3.

Хотя мы отчасти использовали вероятностный язык и упомянули о Бернулли, пока никаких вероятностей у нас не было. С именем Якова Бернулли, как известно, связано исследование последовательности одинаковых независимых испытаний. В этом случае каждый возможный исход испытания a $ \in$ A имеет некоторую вероятность p(a), а независимость испытаний проявляется в том, что результат испытания в момент времени n не зависит от результатов испытания в другие моменты времени. Стало быть, вероятность того, что в моменты n1,..., nl получатся исходы a1,..., al, есть p(a1) . ... . p(al). Вот мы фактически и описали меру $ \mu$ в $ \Omega$, по отношению к которой последовательность случайных величин $ \pi_{0}^{}$($ \sigma^{n}_{}$$ \xi$) описывает последовательность независимых одинаковых испытаний. Повторим описание ещё раз, перенося его на общий случай $ \Omega$ = AG, когда вероятностная интерпретация (в терминах последовательности испытаний) теряет непосредственный смысл, хотя условно можно продолжать использовать вероятностный язык. (В теории вероятностей в этих случаях говорят о случайных полях, что соответствует ``интуитивному смыслу'' этих слов, когда G = $ \mathbb {Z}$m.)

Элементам a $ \in$ A должны быть заранее приписаны вероятности или меры p(a) $ \geq$ 0; при этом сумма последних должна равняться 1. Тем самым подмножеству B $ \subset$ A приписывается мера p(B) = $ \sum\limits_{a \in B}^{}$p(a) и мы получаем меру на конечном множестве A, что, конечно, тривиально. Мера на $ \Omega$, которая будет построена, зависит от задания этих p(a), т.е. этой меры p на A.

Цилиндрическим подмножеством пространства $ \Omega$ называется множество вида

C = {$\displaystyle \xi$$\displaystyle \xi$(g1) $\displaystyle \in$ B1, ..., $\displaystyle \xi$(gl) $\displaystyle \in$ Bl}, (6)

где g1,..., gl $ \in$ G, B1,..., Bl $ \subset$ A. Ему приписывается мера

$\displaystyle \mu$(C) = p(B1) . ... . p(Bl). (7)

В теории меры доказывается, что на $ \sigma$-алгебре борелевских подмножеств компакта $ \Omega$ существует и притом единственная мера $ \mu$, которая для цилиндрических множеств (6) принимает значения (7). С точки зрения теории меры, она является прямым произведением

pG =...×p×p×...×p×...

мер p на сомножителях A прямого произведения AG. Почти очевидно, что эта мера инвариантна относительно действия (4) группы G и что действие эргодично по отношению к этой мере.

В классическом случае сдвиг $ \sigma$, рассматриваемый по отношению к построенной мере, называется метрическим автоморфизмом Бернулли. Саму меру естественно тоже называть бернуллиевской. Свойства ДС  {$ \sigma^{n}_{}$} с этой мерой резко отличаются от свойств эргодической ДС с дискретным спектром. Система ({$ \sigma^{n}_{}$},$ \mu$) имеет перемешивание всех степеней, счётнократный лебеговский спектр и положительную, но конечную (метрическую) энтропию. Вообще, автоморфизм Бернулли -- это как бы образец ДС с ``квазислучайными'' свойствами (что и понятно ввиду его происхождения) и даже, так сказать, крайний такой образец, если не считать ДС с бесконечной энтропией. В случае неклассического времени бернуллиевские ДС играют аналогичную роль.

Само по себе определение бернуллиевской ДС и бернуллиевской меры не зависит от того, аменабельна ли G. Для дальнейшего же в этом и следующем пп. требуется аменабельность.

Значительным достижением теории ДС является теорема Д.Орнстейна, согласно которой автоморфизмы Бернулли с одинаковой энтропией метрически изоморфны. Д.Орнстейн и Б.Вейсс показали, что эта теорема переносится на бернуллиевские действия аменабельных групп [40], [41].

е) Мера на A (т.е. система чисел p(a) $ \geq$ 0, удовлетворяющая условию $ \sum$p(a) = 1) может выбираться произвольно; таким образом, у топологической ДС Бернулли имеется континуум инвариантных эргодических мер. Но оказывается, что помимо построенных выше, эта ДС имеет очень много других инвариантных нормированных мер, в том числе и эргодических. Некоторые из них безусловно заслуживают особого внимания.

При G = $ \mathbb {Z}$ некоторые меры, как и бернуллиевские, выделяются (из общего огромного множества инвариантных мер) или вводятся (независимо от того, что мы знаем о прочих мерах) на основании вероятностных соображений. В теории вероятностей рассматриваются некоторые последовательности одинаковых испытаний, которые не являются независимыми. Особенно важны те случаи, когда {$ \pi_{0}^{}$($ \sigma^{n}_{}$$ \xi$); n $ \in$ $ \mathbb {Z}$} оказывается марковским процессом. Им соответствуют новые инвариантные нормированные меры $ \mu$ в A, которые иногда эргодичны, иногда нет. Но при переходе от  $ \mathbb {Z}$ к G определение марковского свойства теряет смысл. Некое разумное видоизменение этого определения выработано для G = $ \mathbb {Z}$m, но пока что соответствующие объекты, насколько известно, играют заметную роль в теории случайных полей, а не в эргодической теории. Мы их оставим в стороне и обратимся от теории вероятностей к статистической физике, с которой мы начали, но от которой затем ушли.

С физической точки зрения бернуллиевские меры отвечают такой ситуации, когда состояния частиц в вершинах решётки  $ \mathbb {Z}$m не зависят друг от друга. Так, конечно, может быть при отсутствии взаимодействия между ними, но интересен как раз тот случай, когда взаимодействие имеется. В этом случае соображения, заимствованные из статфизики, приводят к некоторым новым нормированным инвариантным мерам. Их определению, как мы увидим, можно придать такую форму, что оно уже не будет относиться специально к топологической бернуллиевской ДС, а будет иметь смысл для действия группы G (по-прежнему аменабельной) на метрическом компакте. Правда, при этом может случиться, что не существует мер, удовлетворяющих этому определению. Но если они существуют, то заслуживают внимания. Следует предупредить, что наша цель здесь всё-таки не статфизика, а теория ДС, поэтому в излагаемых далее построениях даже применительно к решётчатым системам встречается некоторое несоответствие со статфизикой. Можно доказать, что на окончательные результаты для таких систем оно не влияет. Но для нас указания, заимствованные из статфизики, имеют скорее эвристический характер, так что на это несоответствие можно вообще не обращать внимания.

В статистической физике для системы, имеющей конечное число состояний $ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{N}^{}$ с энергиями E($ \alpha_{j}^{}$), вводят так называемую статистическую сумму

Z = $\displaystyle \sum_{j = 1}^{N}$e- $\scriptstyle \beta$E($\scriptstyle \alpha_{j}$), (8)

где $ \beta$ -- величина, обратная температуре, выраженной в подходящих единицах; поскольку же температуру издавна измеряют в градусах, то для перехода к ``подходящим'' единицам её надо умножить на константу Больцмана k; итак, $ \beta$ = $ {\dfrac{1}{kT}}$. Для системы макроскопических размеров рассматриваемая в феноменологической термодинамике свободная энергия F выражается через Z:

F = - $\displaystyle {\dfrac{\ln Z}{\beta}}$. (9)

При термодинамическом равновесии (отвечающем данной температуре T) состояние $ \alpha_{j}^{}$ имеет вероятность

p($\displaystyle \alpha_{j}^{}$) = e- $\scriptstyle \beta$E($\scriptstyle \alpha_{j}$)/Z. (10)

Одна из возможных характеризаций этого распределения вероятностей такова: при данных $ \beta$ и E($ \alpha_{j}^{}$) величина

$\displaystyle \sum$piE($\displaystyle \alpha_{i}^{}$) + $\displaystyle {\dfrac{1}{\beta}}$$\displaystyle \sum$piln pi (11)

достигает минимума по всем распределениям вероятностей (p1,..., pN) в точности когда pi = p($ \alpha_{i}^{}$). А если подставить эти pi в (11), получится как раз F.

При pi = 0 в (11), естественно, подразумевается, что piln pi = 0, поскольку $ \lim\limits_{p \to 0}^{}$p ln p = 0. Значит, можно считать, что в (11) фигурируют только положительные pi. Опустив же в (8) слагаемые с теми j, для которых pj = 0, мы можем только уменьшить статсумму Z, и если для этой уменьшенной Z будет доказано, что

$\displaystyle \sum$piE($\displaystyle \alpha_{i}^{}$) + $\displaystyle {\dfrac{1}{\beta}}$$\displaystyle \sum$piln pi $\displaystyle \geq$ - $\displaystyle {\dfrac{1}{\beta}}$ln Z    при pi > 0, $\displaystyle \sum$pi = 1, (12)

то тем более это будет справедливо для первоначальной Z. Поскольку ln x -- вогнутая функция, т.е. её график обращён выпуклостью вверх, то при любых xi > 0

$\displaystyle \sum$piln xi $\displaystyle \leq$ ln$\displaystyle \sum$pixi.

В частности,

$\displaystyle \sum$piln(e- $\scriptstyle \beta$E($\scriptstyle \alpha_{i}$)/pi) $\displaystyle \leq$ ln$\displaystyle \sum$pie- $\scriptstyle \beta$E($\scriptstyle \alpha_{i}$)/pi = ln$\displaystyle \sum$e- $\scriptstyle \beta$E($\scriptstyle \alpha_{i}$),

а это равносильно (12).

Заметим кстати, что при подстановке в (11) pi = p($ \alpha_{i}^{}$) первое слагаемое получается равным энергии нашей системы в данном равновесном состоянии, а второе -- равным - TS, где S : = - k$ \sum$piln pi -- её энтропия (измеренная в макроскопических единицах, используемых в феноменологической термодинамике). Таким образом, F = E - TS. В феноменологической термодинамике это соотношение является определением F.

После этого краткого экскурса в статфизику вернёмся к нашей решётчатой системе или, более общо, к ДС Бернулли (с аменабельной группой G). Сперва сделаем одно терминологическое замечание. Бывает, что в разных науках одно и то же слово имеет совсем разный смысл. Если науки далеки друг от друга, это не приводит к недоразумениям, -- трудно представить себе, как можно было бы спутать ``клетки'' в топологии с ``клетками'' в биологии. Но бывает и так, что слово имеет разный смысл в довольно близких разделах науки, которые со временем соприкасаются и даже частично перекрываются. Тогда терминологию стоит уточнять. Такое случилось с термином `` состояние''. В теории ДС состояние -- это точка фазового пространства. В статфизике состояние -- это распределение вероятностей, т.е. мера, в фазовом пространстве. (В конце предыдущего абзаца слово ``состояние'' один раз употреблялось именно в таком смысле.) Если принять последнюю терминологию, то не надо говорить о точках фазового пространства как о состояниях. В теории решётчатых систем их часто называют ``конфигурациями'' 50. Но эта статья написана с иных позиций, и ``не назвать ли нам меру мерой?''

Суммарная энергия всей бесконечной решётчатой системы, вообще говоря, бесконечна и работать с ней нельзя. Но разумно считать, что в ней можно как бы выделить часть, приходящуюся на одну частицу, и что для частицы, находящейся в точке g, этот вклад является некоторой функцией E(g,$ \xi$) от g и состояния всей решётчатой системы $ \xi$. Мы считаем, что взаимодействие инвариантно относительно левых групповых сдвигов. Значит, если в точке g частица находится в состоянии $ \xi$(g), а в точках gh (со всевозможными h) -- в состояниях $ \xi$(gh) (как это и есть для состояния всей системы $ \xi$), то вклад в энергию, приходящуюся на ``g-ю'' частицу, таков же, как вклад в энергию, приходящийся на `` e-ю'' частицу (e -- единица группы), если она находится в состоянии $ \xi$(g), а ``h-е'' частицы -- в состоянии $ \xi$(gh). Последнее имеет место при состоянии всей системы $ \phi_{g}^{}$($ \xi$). Итак, E(g,$ \xi$) = E(e,$ \phi_{g}^{}$($ \xi$)), и нам достаточно рассматривать функцию f ($ \xi$) : = - E(e,$ \xi$), которую мы будем считать непрерывной. (Знак ``минус'' не имеет физической мотивировки, но принят в соответствующих математических работах, слегка упрощая часть формул. Излагаемая теория хотя и навеяна статфизикой, но в конечном счёте является математической, и фигурирующие в ней величины в общем случае никак не могут иметь такого физического смысла, как в обсуждаемом сейчас примере.) Тогда

E(g,$\displaystyle \xi$) = - f ($\displaystyle \phi_{g}^{}$($\displaystyle \xi$)). (13)

(При более реалистическом подходе для случая G = $ \mathbb {Z}$m начинают с того, что взаимодействие сводится к парным, тройным, ..., r-арным, ... взаимодействиям; однако в предположении, что все взаимодействия быстро убывают с увеличением числа частиц и расстоянием, результат в конечном счёте оказывается таким же.)

План наших действий будет состоять в том, чтобы сперва рассмотреть конечный ``кусок'' Sn решётчатой системы, образованный частицами, расположенными в тех точках решётки  $ \mathbb {Z}$m, которые лежат в кубе или, более общо, воображаемыми частицами, занумерованными элементами фёлнеровского множества Fn. Затем мы хотим сделать некоторый предельный переход при n $ \rightarrow$ $ \infty$. Формула (9) подсказывает, что разумно взять

- $\displaystyle {\dfrac{\ln Z_{F_n}}{\beta\, \char93  F_n}}$, (14)

где #Fn, как и ранее, -- число элементов Fn. В пределе при n $ \rightarrow$ $ \infty$ (существование которого, конечно, надо доказать) получается свободная энергия, приходящаяся на одну частицу. (``Суммарная'' свободная энергия всей бесконечной решётчатой системы, под которой следовало бы понимать предел -ln ZFn/$ \beta$, скорее всего, будет бесконечной).

При осуществлении этого плана некоторые детали конкретизируются не совсем так, как это могло бы показаться более естественным.

Во-первых, в (14) опускают знак минус и соответствующий предел называют не ``свободной энергией'' (приходящейся на одну частицу), а ``давлением'' и соответственно обозначают через P. Если не говорить о `` житейском'' смысле слова ``давление'', то в термодинамике для макроскопической непрерывной физической системы под давлением понимают следующее: надо выразить F через объём системы V и температуру T (возможно, и через какие-то ещё параметры); тогда P = - $ \partial$F(V, T)/$ \partial$V. Называя взятый с обратным знаком предел (14) давлением, по-видимому, исходят из того, что для решётчатой системы вместо производной F по объёму естественно взять приращение F, получающееся при добавлении одной частицы, а это и приводит к (14) (причём как раз без минуса, если приращение, как и производную в случае непрерывной системы, брать с обратным знаком). Однако в самой статфизике о давлении для решётчатых систем, кажется, не говорят.

Во-вторых, обычно полагают $ \beta$ = 1. Это соответствует изменению функции f ($ \xi$) на постоянный множитель, что не принципиально. (Существенным это становится только тогда, когда по каким-то причинам надо рассматривать не одну f, а семейство $ \beta$f с параметром $ \beta$. В физике для этого есть серьёзное основание -- надо с самого начала иметь в виду, что одна и та же система будет рассматриваться при разных температурах. В теории ДС нет причин с самого начала уделять особое внимание семейству $ \beta$f; если же когда-нибудь в этом возникнет нужда (что действительно бывает), ничто не мешает тогда и заменить f на $ \beta$f.)

В-третьих (это более серьёзно), ZFn определяют так. Состояния Sn суть элементы AFn (т.е. функции Fn$ \to$A). Каждую такую функцию $ \alpha$ мы каким-нибудь образом продолжаем до отображения $ \xi_{\alpha}^{}$ :  F$ \to$A и полагаем (ср.(13))

ZFn : = $\displaystyle \sum_{\alpha \in A^{F_n}}^{}$e- $\scriptstyle \sum\limits_{g \in F_n}$E(g,$\scriptstyle \xi_{\alpha}$) = $\displaystyle \sum_{\alpha \in A^{F_n}}^{}$e $\scriptstyle \sum\limits_{g \in F_n}$f($\scriptstyle \phi_{g}$($\scriptstyle \xi_{\alpha}$)). (15)

В показателе здесь учитывается взаимодействие ``g-й'' частицы (с g $ \in$ Fn) со всеми остальными частицами ``решётки'', не только отвечающими элементам Fn. С точки зрения статфизики можно было бы, рассматривая выделенный ``кусок'' Sn как изолированную систему, учесть только взаимодействия частиц из Sn друг с другом. (Тогда и продолжать $ \alpha$ :  Fn$ \to$A до $ \xi_{\alpha}^{}$ :  F$ \to$A не понадобилось бы.) Повторяю, что на самом деле (при естественных предположениях о взаимодействиях) это не меняет окончательного результата и что для нас это вообще не так уж важно. ZFn зависит от конкретного выбора продолжений $ \alpha$ до  $ \xi_{\alpha}^{}$. Но оказывается, что при любом таком выборе существует предел

P(f )= $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}^{}$$\displaystyle {\dfrac{1}{\char93  F_n}}$ln ZFn, (16)

который не зависит ни от конкретного выбора $ \xi_{\alpha}^{}$, ни от использованной фёлнеровской системы. Число P(f ) называют топологическим давлением, отвечающим непрерывной функции f :  $ \Omega$$ \to$$ \mathbb {R}$. (Оно, конечно, зависит от G и A, а в более общей ситуации, к которой мы вскоре перейдём, -- от рассматриваемой ДС, но обычно они считаются фиксированными и потому не указываются явно в обозначении для P.) Выражение (11), как будет пояснено ниже, тоже имеет естественный аналог для решётчатой системы (``приходящийся на одну частицу''), в котором вместо конечного распределения вероятностей (p1,..., pN) фигурирует мера $ \mu$ в фазовом пространстве, инвариантная относительно  {$ \phi_{g}^{}$}. Естественно сравнить этот аналог с P(f ) (т.е., с точностью до знака, со свободной энергией, приходящейся на одну частицу), и обратить внимание на те меры, при которых эти две величины совпадают (если такие меры существуют).

Пока что речь шла о топологической ДС Бернулли (это использовалось, когда говорилось о её ``куске'' Sn и о продолжении состояния $ \alpha$ последнего до $ \xi_{\alpha}^{}$). Теперь мы перейдём к общей топологической ДС с аменабельной группой G и компактным фазовым пространством X, считая также заданной непрерывную f :  X$ \to$$ \mathbb {R}$.

Пусть $ \mathcal {U}$ = {U1,..., Ul} -- конечное открытое покрытие X. Положим $ \phi_{g}^{-1}$$ \mathcal {U}$ : = {$ \phi_{g}^{-1}$U1,...,$ \phi_{g}^{-1}$Ul},

$\displaystyle \mathcal {U}$Fn : = $\displaystyle \bigvee_{g \in F_n}^{}$$\displaystyle \phi_{g}^{-1}$$\displaystyle \mathcal {U}$,

где использовано следующее обозначение: для нескольких конечных покрытий $ \mathcal {U}$t, t $ \in$ T, через $ \bigvee_{t}^{}$$ \mathcal {U}$t обозначается покрытие, элементы которого суть всевозможные непустые пересечения $ \bigcap_{t \in T}^{}$Ukt с Ukt $ \in$ $ \mathcal {U}$t. Положим

ZFn,$\scriptstyle \mathcal {U}$ : = $\displaystyle \sum_{U \in \mathcal{U}_{F_n}}^{}$e $\scriptstyle \sup\limits_{x \in U}$$\scriptstyle \sum\limits_{g \in F_n}$f($\scriptstyle \phi_{g}$x). (17)
P(f ): = $\displaystyle \sup_{\mathcal{U}}^{}$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}^{}$$\displaystyle {\dfrac{Z_{F_n,\mathcal{U}}}{\char93  F_n}}$, (18)

где $ \sup_{\mathcal{U}}^{}$ берётся по всевозможным конечным покрытиям пространства X. Такое определение, в отличие от (15), (16), уже не связано с какими-то специфическими фазовым пространством и групповым действием. В то же время для бернуллиевской ДС оно приводит к тому же числу P(f ). (Различия между (17), (18) и (15), (16) в основном сводятся к тому, что для бернуллиевской ДС используется только одно покрытие

$\displaystyle \mathcal {U}$ = {Uaa $\displaystyle \in$ A},    где    Ua : = {$\displaystyle \xi$$\displaystyle \pi_{0}^{}$($\displaystyle \xi$) = a}; (19)

заметим, что при этом

$\displaystyle \mathcal {U}$Fn = {U$\scriptstyle \alpha$$\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \in$ AFn},    где    U$\scriptstyle \alpha$ : = {$\displaystyle \xi$$\displaystyle \xi$|Fn = $\displaystyle \alpha$},

так что прежние $ \xi_{\alpha}^{}$ $ \in$ U$\scriptstyle \alpha$. Оказывается, что в данном случае на $ \mathcal {U}$ из (19) как раз и достигается фигурирующая в (18) верхняя грань $ \sup_{\mathcal{U}}^{}$. Кроме того, в правой части (15) фигурируют произвольно выбранные $ \xi_{\alpha}^{}$ $ \in$ U$\scriptstyle \alpha$, а в (17) в показателе берётся верхняя грань по всем таким  $ \xi_{\alpha}^{}$; оказывается, что для данных ДС и  $ \mathcal {U}$ это не меняет предела $ {\dfrac{1}{\char93  F_n}}$ln ZFn,$\scriptstyle \mathcal {U}$.)

Мы получили некий аналог ``свободной энергии на одну частицу''. Теперь займёмся аналогом (11). Сумма $ \sum$piln pi -- это, конечно, взятая с обратным знаком энтропия 51 распределения вероятностей (p1,..., pN). Аналогом последнего для общей ДС является инвариантная нормированная мера $ \mu$, а аналогом энтропии является упомянутая в п.б энтропия h$\scriptstyle \mu$. Аналогом же (средней) энергии, приходящейся на одну частицу, является - $ \int_{X}^{}$f d$ \mu$ (знак ``минус'' вызван ``минусом'' в определении f). Итак, аналогом (11), взятым с обратным знаком, является величина

h$\scriptstyle \mu$ + $\displaystyle \int_{X}^{}$f d$\displaystyle \mu$. (20)

(об энтропии h$\scriptstyle \mu$ мы уже говорили в пункте б). Для частного случая ДС Бернулли можно было бы более детально проследить переход от (11) к (20), аналогично тому как это было сделано для P(f ). Но для P(f ) это давало эвристическую мотивировку определения (которое иначе казалось бы ``взятым с потолка''), в чём нет нужды для обоих слагаемых в (20). (На самом деле нечто в этом роде можно было бы привести в связи с опущенным в б определением h$\scriptstyle \mu$. Я не стал этого делать, поскольку для ДС с классическим временем определение h$\scriptstyle \mu$ достаточно широко известно, а переход в определении к общему случаю является непосредственным.)

После всего сказанного читатель, вероятно, найдёт естественной следующую теорему (которую, однако, всё же надо доказывать, и это отнюдь не просто):

$\displaystyle \sup_{\mu}^{}$$\displaystyle \Bigl($h$\scriptstyle \mu$ + $\displaystyle \int_{X}^{}$f d$\displaystyle \mu$$\displaystyle \Bigr)$ = P(f ), (21)

где верхняя грань берётся по всем инвариантным нормированным мерам рассматриваемой топологической ДС. В отличие от простого случая системы с конечным числом состояний, верхняя грань не всегда достигается, а если достигается, то не всегда на единственной мере. Если верхняя грань достигается, то соответствующие меры называют равновесными мерами (а часто также и состояниями равновесия, опять-таки используя слово ``состояние'' в смысле статфизики, а не теории ДС). Соотношение (21) называют ``вариационным принципом для топологического давления''. Изучение соответствующих вопросов составляет предмет так называемого ``термодинамического формализма'' для ДС.

Я отмечу здесь только одно. В случае ДС Бернулли с G = $ \mathbb {Z}$m существование равновесной меры доказано для любой непрерывной функции f, но при этом имеется существенное различие между случаями m = 1 и m > 1. В первом случае равновесная мера для гёльдеровской f единственна, а во втором -- не обязательно. Для решётчатой системы неединственность равновесной меры отвечает известному (не только людям, но и животным 52) физическому явлению -- фазовому превращению.

Для ДС с классическим временем основы термодинамического формализма в духе только что намеченного подхода были заложены П.Уолтерсом и Д.Рюэллем в начале 70-х гг.; в частности, они доказали вариационный принцип. Для Рюэлля это было тем более естественно, что он ещё раньше много занимался математическими вопросами статистической физики. Поэтому он был также первым или одним из первых, кто стал распространять эту теорию на действия  $ \mathbb {Z}$m. Переход к общим аменабельным группам G был осуществлён А.М.Стёпиным и А.Т.Таги-заде в [42].

Имеется другой подход к выделению и исследованию ``интересных'' мер, предложенный для ДС с классическим временем Я.Г.Синаем тоже около 1970 г. [43] (причём он сразу отметил, что этот подход годится и для неклассического времени, и в виде примера указал, что для ДС Бернулли так можно получить меры, возникающие в статфизике). Соответствующие меры называются `` гиббсовскими''. 53Гиббсовская мера для ДС {$ \phi_{g}^{}$g $ \in$ G} в компакте X строится по заданным нормированной инвариантной мере $ \mu_{0}^{}$ и функции f $ \in$ L$\scriptstyle \infty$(X,$ \mu_{0}^{}$). По этим данным строится последовательность мер $ \mu_{n}^{}$, абсолютно непрерывных относительно $ \mu_{0}^{}$ с `` плотностью'' (т.е. производной Радона--Никодима)

$\displaystyle {\dfrac{e^{\,\sum\limits_{g \in F_n} f(\phi_gx)}}{\displaystyle\int_X e^{\,\sum\limits_{g \in F_n} f(\phi_gy)} d \mu_0(y)}}$.    

Гиббсовские меры -- это предельные точки последовательности мер $ \mu_{n}^{}$ (в смысле слабой сходимости мер). Они не обязательно инвариантны 54. Но если гиббсовская мера является не предельной точкой, а пределом, то она инвариантна. Инвариантные гиббсовские меры являются равновесными, обратное же не обязательно. Для ДС с классическим временем и гиперболическим поведением траекторий обратное имеет место для ``хороших'' f.

При исследовании равновесных и гиббсовских мер ДС с гиперболическим поведением траекторий используется приём ``кодирования'', позволяющий в некотором смысле представить рассматриваемую ДС как подсистему бернуллиевской ДС. Буквально подсистема последней была бы инвариантным подмножеством A в соответствующем $ \Omega$; в топологическом контексте естественно рассматривать замкнутые A. Оговорка ``в некотором смысле'' связана с тем, что такое A нульмерно, так что система с фазовым пространством большей размерности никак не может быть топологически эквивалентной ограничению {$ \phi_{g}^{}$|A} ДС Бернулли на A. Но она вполне может быть факторсистемой последней, т.е. получаться из неё при факторизации по некоторому отношению эквивалентности, инвариантному относительно ДС. В удачных случаях A и факторизация допускают достаточно подробное описание, причём при факторизации точки A хотя и ``склеиваются'' друг с другом, но это происходит не очень часто -- ``большинство'' точек ни с чем не склеивается. Этот приём (когда он срабатывает) позволяет сводить ряд вопросов об исследуемой ДС к вопросам, относящимся к {$ \phi_{g}^{}$|A}. Успех, конечно, зависит от того, удастся ли найти ``удачное'' кодирование. Для систем с наиболее чётко выраженным гиперболическим поведением траекторий (системы Аносова и базисные гиперболические множества) удачное кодирование связано с так называемыми марковскими разбиениями, которые для гиперболических автоморфизмов двумерного тора были введены Р.Адлером и Б.Вейссом, для систем Аносова -- почти одновременно Я.Г.Синаем и затем в усовершенствованном виде, пригодном также и для базисных гиперболических множеств -- Д. Рюэллем и Р.Боуэном [44].

Синай, Рюэлль и Боуэн не только построили новые инвариантные меры, но и специально выделили те случаи, когда эти меры представляют особый интерес. Впоследствии их подход 55 переносился на другие типы систем с несколько (ненамного) ``ухудшенной'' гиперболичностью -- биллиарды, псевдоаносовские гомеоморфизмы поверхностей, аттракторы типа аттрактора Лоренца. Что же касается действий аменабельных групп, то сколько-либо продвинутых применений этого подхода за пределами решётчатых систем мне не известно.

Хотя выше почти всё время отмечалось особое положение аменабельных групп, на самом деле работы по эргодической теории (или близким вопросам статфизики), где группы не аменабельны, не исчерпываются теми немногими работами такого характера, которые упоминались (или подразумевались) выше. Имеется ряд работ, в которых, в отличие от того, что делается для аменабельных групп, используется какая-то дополнительная структура. Например, могут фиксироваться образующие элементы группы 56, какое-нибудь разбиение или покрытие фазового пространства. (Ведь и для  $ \mathbb {Z}$m, рассматривая бернуллиевскую ДС, мы начали с использования фиксированного покрытия (оно же в данном случае и разбиение) (19) -- вернее, там это было настолько естественно, что мы вначале даже не отмечали этого специально. О других разбиениях мы заговорили только при переходе к более общим групповым действиям.) Однако пока что было бы затруднительно охарактеризовать исследования такого рода какими-то общими чертами.

Новых обзоров по теме п.1.3 я не знаю. О ситуации в начале рассматриваемого периода см.[45].




Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования