Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   BOAI: наука должна быть открытой Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Дифференциальные уравнения | Научные статьи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
 См. также

Научные статьиПринцип динамического баланса и его реализация в учебном процессе

Популярные статьиВведение в физику открытых систем: Динамическое и статистическое описание сложных движений

Популярные статьиДинамические системы: динамическая система

Аннотации книгЭта книга предназначена для специалистов по теории устойчивости, механике. Будет интересна аспирантам и инженерам-математикам.

КнигиВласть и советское общество в 1930-е годы: англо-американская историография проблемы

Научные статьиТеоретико-методологические основы профилактики нервных и психических болезней

Популярные статьиГорячие "черные дыры". Новое в понимании природы теплоты: 5. Термодинамика и информация

Популярные статьиРусское издание сочинений Давида Гильберта

Словарные статьиАвтоколебания

Популярные статьиРусское издание сочинений Давида Гильберта: (1)

Учетные карточкиО.Б. Лупанов. Математика и механика в Московском университете

Популярные статьиВведение в физику открытых систем: prigogine

Новости14 февраля - день рождения С.П. Капицы

ДиссертацииСуров В.В. - Исследование задач и методов их решения для одного класса систем логических соотношений

Аннотации книгИсаенко А.Н., Денискин С.А. Фрактальность живого. От клетки до национальной идеи.

ТезисыРеализация принципа динамического баланса в процессе методической подготовки будущего учителя физики

Научные статьиПсихосоматический симптом как феномен культуры

Популярные статьиОт громовых камней до современной метеоритики

Научные статьиФилипповский Г. Ю., Поэтика экспозиций в литературных памятниках Руси XII века.

Популярные статьи150 лет ГАИШ: 150 лет Московской университетской обсерватории - Государственному Астрономическому институту имени П.К.Штернберга

Теория сингулярных возмущений.

Это ещё один пример успешного продолжения начатых ранее исследований. Речь идёт о системах обыкновенных дифференциальных уравнений вида

$\displaystyle \epsilon$$\displaystyle \dot{x}$ = f (x, y,$\displaystyle \epsilon$),    $\displaystyle \dot{y}$ = g(x, y,$\displaystyle \epsilon$), (33)

где $ \epsilon$ -- малый параметр. ``Сингулярность'' состоит в том, что малый параметр входит как множитель при производной, а не просто как параметр, от которого зависит правая часть системы (в (33) она тоже может зависеть от $ \epsilon$, но это менее существенно). Конечно, можно ввести новое (``медленное'') время s : = t/$ \epsilon$ и, обозначая дифференцирование по нему штрихом, переписать (33) как

$\displaystyle \dot{x}$ = f (x, y,$\displaystyle \epsilon$),    $\displaystyle \dot{y}$ = $\displaystyle \epsilon$g(x, y,$\displaystyle \epsilon$). (34)

Теперь $ \epsilon$ входит только в правую часть, но зато в новых терминах отрезку времени t конечной длины T соответствует отрезок медленного времени s длины T/$ \epsilon$, неограниченно удлиняющийся при $ \epsilon$ $ \rightarrow$ 0 (а мы, естественно, хотим изучить поведение решений (33) по крайней мере на конечном отрезке времени, не уменьшающемся при $ \epsilon$$ \to$ 0), так что всё равно получается не совсем обычная задача о возмущениях.

Так или иначе, ясно, что x меняется намного быстрее y, и поэтому свойства решений зависят, прежде всего, от свойств ``системы быстрых движений''

$\displaystyle \dot{x}$ = f (x, y, 0), (35)

в которую y входит как постоянный параметр. При тех или иных предположениях о (35) можно попытаться описать более медленное изменение y.

Простейший случай здесь тот, когда решения (35) стремятся (при t$ \to$$ \infty$) к экспоненциально устойчивому положению равновесия x0(y), вообще говоря, зависящему от `` параметра'' y. Тогда естественно предположить, что в системе (33) это y изменяется со временем приблизительно как решение системы

$\displaystyle \dot{y}$ = g(x0(y), y, 0). (36)

Если же решения (36) со временем стремятся к экспоненциально устойчивым положению равновесия y0 или замкнутой траектории l0, то и решения (33) стремятся к положению равновесия (x0(y0), y0) или, соответственно, к замкнутой траектории  L$\scriptstyle \epsilon$, близкой к кривой L0 : = {(x0(y), y); y $ \in$ l0}. Результаты такого типа (разумеется, при надлежащих уточнениях условий на систему) были получены около 50 лет назад. Помимо доказательства утверждения о пределе траекторий при $ \epsilon$$ \to$ 0, можно провести более точное исследование их зависимости от $ \epsilon$, а именно, получить для них асимптотическое разложение с точностью до любой степени $ \epsilon$. Для периодической траектории  L$\scriptstyle \epsilon$ получается асимптотический ряд по степеням $ \epsilon$, для траектории же с фиксированным начальным значением (x', y'), где x' $ \neq$ x0(y'), соответствующее разложение содержит также члены с ln$ \epsilon$. Доказывается также единственность замкнутой траектории  L$\scriptstyle \epsilon$, близкой к L0. Это результат несколько иного характера, чем асимптотика  L$\scriptstyle \epsilon$. Ведь a priori могли бы существовать две замкнутые траектории L'$\scriptstyle \epsilon$ и L''$\scriptstyle \epsilon$, ``расстояние'' между которыми имело бы более высокий порядок малости, чем любая степень $ \epsilon$, скажем, экспоненциальный порядок O(e-1/$\scriptstyle \epsilon$) или O(e-1/$\scriptstyle \sqrt{\epsilon}$). Упомянутое асимптотическое разложение с точностью до любого $ \epsilon^{n}_{}$ этого попросту ``не могло бы почувствовать''.

Более сложная ситуация возникает, когда при некоторых (``бифуркационных'') значениях y сливаются два положения равновесия системы (35) -- устойчивое x0(y) и неустойчивое, но при этом где-то в стороне от этого ``места слияния'' у (35) имеется устойчивое положение равновесия x1(y), к которому после прохождения бифуркационного значения y может `` притянуться'' наша траектория. Допустим, что те y, при которых происходит такое слияние, образуют гладкую гиперповерхность M в пространстве y-ов (точнее, накладываются аналитические условия на M, при которых это так) и что траектории системы (36) попадают на M, имея трансверсальное к M направление (это формулируется в виде явных условий на f и g). Если это так для траектории системы (36), к которой близка y-компонента интересующей нас траектории системы (33), то естественно предположить, что после этого последняя траектория быстро переходит к x1(y) и далее её y-компонента близка к траектории y(t) системы (36), в которой x0(y) заменено на x1(y), а x-компонента близка к x1(y(t)). Этот процесс может повторяться. Тогда можно ожидать, что траектория системы (33) будет состоять из дуг двух типов -- одни из них аналогичны описанным выше в более простой ситуации и близки к дугам вида {(xi(yi(t)), yi(t))}, где yi суть решения систем вида (36) (с какими-то xi(y) вместо x0(y)), а другие близки к каким-то дугам, каждая из которых идёт от двух сливающихся положений равновесия системы (35) к некоторому устойчивому положению равновесия. Дуги первого типа проходятся за конечное время, а второго -- очень быстро. Нетрудно сообразить, что такая система дуг может ``замыкаться'', образуя замкнутую кривую L0. Тогда можно ожидать, что (опять-таки при надлежащих уточнениях условий) при малых $ \epsilon$ у (33) будет существовать замкнутая траектория  L$\scriptstyle \epsilon$, близкая к L0. Стоит заметить, что подобные объекты известны в физике, доставляя математическое описание некоторых типов релаксационных колебаний 97.

Исследование этих вопросов началось в 40-х гг. с того случая, когда x и y ``одномерны'' (Ж.Хааг, А.А.Дородницын). В 50-х гг. Л.С.Понтрягин и Е.Ф.Мищенко получили существенные результаты в многомерном случае. В этих работах были получены первые члены асимптотических разложений для различных дуг траекторий, для периодической траектории  L$\scriptstyle \epsilon$ и её периода. Эти асимптотические разложения оказались значительно сложнее, чем в предыдущем случае (появляются дробные степени $ \epsilon$) и их едва ли можно было предвидеть заранее. Несколько позднее Н.Х.Розов выяснил структуру всего асимптотического разложения в случае ``одномерных'' xy. В последнем случае единственность замкнутой траектории  L$\scriptstyle \epsilon$ доказывается очень просто, так что в этом случае теория приобрела известную законченность, тогда как в многомерном случае оставались открытыми вопросы о единственности L$\scriptstyle \epsilon$ и о полной структуре асимптотического разложения. (Подробно о состоянии дел к началу рассматриваемого периода см. [125].)

Ответы на эти вопросы были получены около 10 лет назад. Единственность L$\scriptstyle \epsilon$ была независимо доказана К.Боне и группой четырёх русских математиков -- Е.Ф.Мищенко, Ю.С.Колесов, А.Ю.Колесов, Н.Х.Розов. См. [126].

Напомню, что выше одно из условий состояло в том, что при попадании траектории системы (36) на гиперповерхность M (где сливаются устойчивое и неустойчивое положения равновесия системы (35)) вектор g(x0(y), y, 0) (задающий направление этой траектории) трансверсален к M. Возникает вопрос, как ведут себя траектории системы (33) возле той точки, где g(x0(y), y, 0) касается M? Существование таких точек -- явление, в понятном смысле достаточно ``типичное'', за исключением того случая, когда y ``одномерно'', так что от этого вопроса нельзя отмахнуться как от относящегося к какой-то исключительной ситуации. Если же y одномерно (так что M -- просто точка), то сам по себе данный вопрос относился бы к исключительной ситуации, но если при этом (33) зависит от некоторого параметра a, то такая ситуация может возникать при некотором a = a0 и это уже является достаточно ``типичным''. В таком случае, естественно, ставится вопрос об исследовании поведения решений (33) не только при a = a0, но и при значениях a, близких к a0. Если в правой части (33) заменить $ \epsilon$ на 0, то у полученной ``слегка упрощённой'' системы точка M будет положением равновесия. Когда a пробегает некоторый отрезок, в системе (33) (уже не упрощённой) происходит бифуркация положения равновесия, близкого к M. Особенно интересен случай, когда это бифуркация Хопфа; интересно проследить, как с изменением a рождающийся предельный цикл, вначале маленький и почти эллиптической формы, вырастает до совсем не похожего на него ``почти разрывного'' предельного цикла, о котором шла речь выше.

Сперва был исследован именно этот последний вопрос, что осуществила в начале рассматриваемого периода группа французских математиков, связанных со Страсбургом (Э.Бенуа, Ф. и М.Дьене, Ж.-Л.Калло, А.Трёш, Е.Урлаше и др.); их работа была начата по предложению Ж.Риба (известного своим вкладом в теорию слоений). См. [127], [128], [129], [130]. Кому-то показалось, что `` растущий'' (при изменении a) предельный цикл при некоторых a похож на летящую утку; различные его части получили соответствующие названия, от ``клюва'' до ``хвоста''. Вскоре все исследуемые в этих задачах (в том числе и при отсутствии параметра a, но при ``не-одномерном'' y) траектории стали называть ``траекториями-утками'' (даже если они незамкнутые, не говоря уже об отсутствии сходства с утками -- летящими, плавающими, ходящими или жареными), а вся эта деятельность получила название ``охота на уток''. Своеобразной особенностью французских работ было систематическое использование нестандартного анализа, что отражено в [127] и [128]. Французские авторы, как и авторы [128], явно считают язык нестандартного анализа более удобным для проведения рассуждений в этой области (включая построение различных асимптотических разложений). Формулировки же окончательных утверждений если и не даются на стандартном языке, то обычно легко переводятся на таковый, к тому же авторы [127] и [128] местами специально поясняют, как это делается. Впрочем, статья [129] положила начало использованию при ``охоте на уток'' одной только стандартной математики. В рамках последней в [126] исследован ряд вопросов об ``утках'' при ``не-одномерном'' y.

Очевидно, возможен и такой случай, когда при изменении y положение равновесия x0(y) системы (35) претерпевает бифуркацию иного рода -- от него ответвляется устойчивый предельный цикл, а само оно остаётся, но становится неустойчивым. Казалось бы, тогда можно ожидать, что траектория системы (33) быстро переходит к предельному циклу. Но действительность оказывается более сложной. Возможно (и в некотором смысле является достаточно типичным) явление ``затягивания'', когда и после этой бифуркации x-компонента траектории долго остаётся возле x0(y) (а y при этом по-прежнему изменяется приблизительно согласно (36)). Исследование этого явления было начато в одном частном (но вполне ``представительном'') случае Л.С.Понтрягиным и М.А.Шишковой в 1973 г. Достаточно законченные результаты в общем случае были получены спустя немногим более 10 лет А.И.Нейштадтом. Ссылки см. в [52]; дополнительно см. [131], [132], [130]. В [133] обсуждается сходное явление, связанное с потерей устойчивости циклом.

Далее, траектории (35) могут при всех рассматриваемых y стремиться не к положению равновесия, а к устойчивой замкнутой траектории C(y). В этом случае естественно ожидать, что x-компонента решения (33) c начальным значением (x', y') быстро приближается к C(y') и в дальнейшем всегда остаётся вблизи C(y), где y -- это y-компонента рассматриваемой траектории, а эволюция y приближённо описывается с помощью осреднения уравнения $ \dot{y}$ = g(x, y, 0) вдоль C(y). Опять-таки можно рассмотреть тот случай, когда осреднённая система имеет экспоненциально устойчивые положение равновесия или замкнутую траекторию. По существу, основная работа здесь была выполнена Н.М.Крыловым и Н.Н.Боголюбовым (а в частных случаях -- также и рядом других авторов) задолго до начала рассматриваемого периода, но постановка задачи у них была несколько иной; в духе излагаемого здесь подхода задача была исследована Л.С.Понтрягиным и Л.В.Родыгиным в 1960 г. (см. [125]).

В предыдущем случае в системе (35) устанавливается одночастотный колебательный режим. Вполне возможна и ситуация, когда в ней с самого начала (без переходного процесса) имеют место многочастотные колебания. Если они не зависят от y, вопрос сводится к поведению решений уравнения $ \dot{y}$ = g(t, y,$ \phi$) c ``многочастотной'' зависимостью g от t. Существенные результаты о задачах такого типа были получены (тоже до начала интересующего нас периода) Н.Н.Боголюбовым и его сотрудниками (прежде всего, Ю.А.Митропольским). Иной характер имеет ситуация, когда многочастотные колебания в (35) зависят от y. Казалось бы, в этом случае нельзя рассчитывать на сколько-либо общие результаты, потому что в достаточно реалистических задачах при сколь угодно малом изменении начальных значений (x', y') характер соответствующей траектории (35) может существенно измениться. Скажем, то она плотна на торе большой размерности, то является замкнутой траекторией. По чему же осреднять уравнения для y?

В 1960 г. я указал, что можно получить вполне удовлетворительный ответ в достаточно общем случае 98, если интересоваться поведением не всех траекторий, а только их ``большинства''. ``Исключительные'' траектории, для которых метод осреднения в его естественной (или ``наивной''?) формулировке ``не работает'', отвечают множеству начальных значений, мера которого при $ \epsilon$$ \to$ 0 стремится к нулю. Точнее, при фиксированных $ \delta$ > 0 и T > 0 к нулю стремится мера $ \mu_{\delta,T}^{}$($ \epsilon$) множества тех (x', y'), для которых ошибка метода осреднения на отрезке [0, T] превосходит $ \delta$. Можно сказать, что речь идёт о сходимости решений (при $ \epsilon$$ \to$ 0) по мере начальных значений. Одновременно родственные, но (по крайней мере формально) менее общие результаты получил Т.Касуга.

Я не дал оценки $ \mu_{\delta,T}^{}$($ \epsilon$), а только доказал, что эта величина стремится к 0 при $ \epsilon$$ \to$ 0. Это связано со значительной общностью теоремы, при которой рассчитывать на такую оценку (во всяком случае, на сколько-либо удовлетворительную оценку) не приходится. Спустя примерно 15 лет, т.е. уже в начале рассматриваемого периода, выяснилось, что при разумном снижении общности такую оценку можно получить. Речь идёт о тех случаях, когда в (35) происходят ``настоящие'' многочастотные колебания (решения являются квазипериодическими). Наиболее существенный шаг здесь сделал А.И.Нейштадт, рассмотревший важный случай, когда базисные частоты этих колебаний невырожденным образом зависят от y. Он показал, что $ \mu_{\delta,T}^{}$($ \epsilon$), самое большее, пропорциональна $ \sqrt{\epsilon}$/$ \delta$, причём в классе степенных оценок этот результат является окончательным -- имеются примеры, где $ \mu_{\delta,T}^{}$($ \epsilon$) отличается от $ \sqrt{\epsilon}$/$ \delta$ только на не очень существенный логарифмический множитель. Позднее с помощью тех же методов результаты такого рода были распространены (с определённым изменением формулировок) на некоторые системы с вырожденной зависимостью частот от y; наибольших успехов здесь добился В.И.Бахтин [134]. Ссылки на более ранние работы см. в [135].




Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования