Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Дифференциальные уравнения | Научные статьи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
 См. также

Научные статьиПринцип динамического баланса и его реализация в учебном процессе

Популярные статьиВведение в физику открытых систем: Динамическое и статистическое описание сложных движений

Популярные статьиДинамические системы: динамическая система

Аннотации книгЭта книга предназначена для специалистов по теории устойчивости, механике. Будет интересна аспирантам и инженерам-математикам.

КнигиВласть и советское общество в 1930-е годы: англо-американская историография проблемы

Научные статьиТеоретико-методологические основы профилактики нервных и психических болезней

Популярные статьиГорячие "черные дыры". Новое в понимании природы теплоты: 5. Термодинамика и информация

Популярные статьиРусское издание сочинений Давида Гильберта

Словарные статьиАвтоколебания

Популярные статьиРусское издание сочинений Давида Гильберта: (1)

Учетные карточкиО.Б. Лупанов. Математика и механика в Московском университете

Популярные статьиВведение в физику открытых систем: prigogine

Новости14 февраля - день рождения С.П. Капицы

ДиссертацииСуров В.В. - Исследование задач и методов их решения для одного класса систем логических соотношений

Аннотации книгИсаенко А.Н., Денискин С.А. Фрактальность живого. От клетки до национальной идеи.

ТезисыРеализация принципа динамического баланса в процессе методической подготовки будущего учителя физики

Научные статьиПсихосоматический симптом как феномен культуры

Популярные статьиОт громовых камней до современной метеоритики

Научные статьиФилипповский Г. Ю., Поэтика экспозиций в литературных памятниках Руси XII века.

Популярные статьи150 лет ГАИШ: 150 лет Московской университетской обсерватории - Государственному Астрономическому институту имени П.К.Штернберга

21-я проблема Гильберта.

В этом пункте мы будем иметь дело с системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области

$\displaystyle {\dfrac{dy}{dx}}$ = C(x)y,        y = (y1,..., yp) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {C}$p. (24)

За одним исключением, которое будет оговорено, она подразумевается голоморфной во всей расширенной плоскости комплексного переменного (сфере Римана) $ \overline{\mathbb{C}}$, кроме нескольких особых точек a1,..., an. Голоморфность
[3]системы в точке x $ \in$ $ \mathbb {C}$ означает просто голоморфность в этой точке коэффициентов матрицы C(x). Если среди ai нет $ \infty$, то система (24) должна быть голоморфной в точке $ \infty$; это означает следующее: перепишем (24) в терминах новой независимой переменной $ \zeta$ : = 1/z; коэффициенты полученной системы

$\displaystyle {\dfrac{dy}{d\zeta }}$ = - $\displaystyle {\dfrac{1}{\zeta^2}}$ C$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\dfrac{1}{\zeta}}$$\displaystyle \Bigr)$y (25)

должны иметь в точке $ \zeta$ = 0 устранимую особенность. Решения системы (24), вообще говоря, ветвятся (простейший пример:

p = 1,    n = 2,    S : = $\displaystyle \overline{\mathbb{C}}$ $\displaystyle \setminus$ {0,$\displaystyle \infty$},    $\displaystyle {\dfrac{dy}{dx}}$ = $\displaystyle {\dfrac{\alpha}{x}}$ y; (26)

решения суть y = Cx$\scriptstyle \alpha$). Но их можно рассматривать как функции на универсальной накрывающей поверхности $ \widetilde{S}$ области S, и там они являются однозначными голоморфными функциями. (У линейной системы любое решение действительно продолжается на всю поверхность  $ \widetilde{S}$, что доказывается примерно так же, как и вероятно известное читателю утверждение, что в вещественной области решения линейной системы продолжается на весь тот интервал, полупрямую или всю прямую  $ \mathbb {R}$, где определены и непрерывны коэффициенты этой системы. Для нелинейных систем ни комплексный, ни вещественный варианты утверждения о продолжении, вообще говоря, не верны.) Точки  $ \widetilde{S}$ я буду обозначать с добавлением тильды, при этом $ \widetilde{x}$ лежит над точкой x $ \in$ S; поэтому для решений (24) лучше писать y($ \widetilde{x}$). Вполне может случиться, что для какого-то решения какой-то конкретной системы (24) однозначность достигается уже при его подъёме на какую-то меньшую, чем $ \widetilde{S}$, накрывающую поверхность области S (иногда решение однозначно уже в самой S). Но ничто не мешает всё равно поднять его на  $ \widetilde{S}$ -- ``каши маслом не испортишь''.

Проекцию $ \widetilde{S}$$ \to$S, переводящую точку $ \widetilde{x}$ $ \in$ $ \widetilde{S}$ в накрываемую ею точку x $ \in$ S, обозначим через $ \pi$. Гомеоморфизмы $ \sigma$ :  $ \widetilde{S}$$ \to$$ \widetilde{S}$, для которых $ \pi$o$ \sigma$ = $ \sigma$o$ \pi$ (т.е. которые переставляют между собой точки  $ \widetilde{x}$, лежащие над одной и той же x), называют скольжениями. Группа всех скольжений обозначается через $ \Delta$. Она изоморфна более конкретному объекту -- фундаментальной группе $ \pi_{1}^{}$(S, x0), которая в данном случае является свободной группой с n - 1 образующими, отвечающими обходам вокруг каких-нибудь n - 1 из точек ai. Однако группы $ \pi_{1}^{}$(S, x0), в отличие от $ \Delta$, отчасти зависят от x0 (при различных x0 они изоморфны, но ``стандартного'' изоморфизма между ними нет, как нет и ``стандартного'' изоморфизма $ \pi_{1}^{}$(S, x0)$ \to$$ \Delta$).

Сумма двух решений линейной системы -- снова решение, произведение решения на постоянный скаляр -- решение, поэтому решения (24) образуют векторное пространство  $ \mathfrak{Y}$, в данном случае комплексное. Из того, что решение однозначно определяется своим значением при каком-нибудь  $ \widetilde{x}_{0}^{}$, легко следует, что $ \mathfrak{Y}$ p-мерно. Базис в  $ \mathfrak{Y}$ -- это то, что в теории дифференциальных уравнений называется фундаментальной системой решений. Наряду с векторно-матричной системой (24) рассматривается матричная система

$\displaystyle {\dfrac{dY}{dx}}$ = C(x)Y, (27)

где Y -- квадратная матрица p-го порядка. Её столбцы суть решения (24), и их линейная независимость означает невырожденность матрицы Y($ \widetilde{x}$) (при любом $ \widetilde{x}$ = $ \widetilde{x}_{0}^{}$, для чего достаточно доказать её невырожденность при каком-нибудь  $ \widetilde{x}_{0}^{}$); в этом случае матрицу  Y($ \widetilde{x}$) называют фундаментальной матрицей системы (24) (так что фундаментальная матрица -- это матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений). Общее решение (24) имеет вид y = Y($ \widetilde{x}$)c с постоянным c $ \in$ $ \mathbb {C}$p. При использовании в  $ \mathfrak{Y}$ базиса, образованного столбцами  Y($ \widetilde{x}$), координаты этого y даются вектор-столбцом c.

Всё это аналогично определениям и утверждениям из теории линейных систем в вещественной области. А вот и нечто новое: если y($ \widetilde{x}$) -- решение (24) или Y($ \widetilde{x}$) -- решение (27) и $ \sigma$ $ \in$ $ \Delta$, то $ \widetilde{x}$ $ \mapsto$ y($ \sigma$$ \widetilde{x}$) или $ \widetilde{x}$ $ \mapsto$ Y($ \sigma$$ \widetilde{x}$) -- тоже решение (24) или (27). Действительно, у любой точки $ \widetilde{x}_{0}^{}$ $ \in$ $ \widetilde{S}$ имеется в $ \widetilde{S}$ окрестность  $ \widetilde{U}$, которую $ \pi$ гомеоморфно отображает на окрестность U : = $ \pi$($ \widetilde{U}$) точки x0 = $ \pi$$ \widetilde{x}_{0}^{}$ в S; тогда $ \sigma$$ \widetilde{U}$ -- окрестность $ \sigma$$ \widetilde{x}_{0}^{}$ в $ \widetilde{S}$, которую $ \pi$ тоже гомеоморфно отображает на U; ясно, что

$\displaystyle \sigma$($\displaystyle \pi$|$\scriptstyle \widetilde{U}$)-1 = ($\displaystyle \pi$|$\scriptstyle \sigma$$\scriptstyle \widetilde{U}$)-1. (28)

Утверждение, что y($ \widetilde{x}$) является решением (24) в $ \widetilde{U}$, означает, что y1(x) : = y(($ \pi$|$\scriptstyle \widetilde{U}$)-1x) -- решение (24) в U. Утверждение, что $ \widetilde{x}$ $ \mapsto$ y($ \sigma$$ \widetilde{x}$) является решением (24) в  $ \widetilde{U}$, означает, что y2(x) : = y($ \sigma$($ \pi$|$\scriptstyle \widetilde{U}$)-1x) -- решение (24). Но ввиду (28) имеем y2(x) = y(($ \pi$|$\scriptstyle \sigma$$\scriptstyle \widetilde{U}$)-1x), а это действительно решение (24), ибо y($ \widetilde{x}$) является решением в $ \sigma$$ \widetilde{U}$ (как и на всей  $ \widetilde{S}$). Итак, y($ \sigma$$ \widetilde{x}$) действительно является решением (24) возле любой точки $ \widetilde{x}_{0}^{}$ $ \in$ $ \widetilde{S}$. Пользуясь изоморфизмом $ \Delta$ $ \approx$ $ \pi_{1}^{}$(S, x0), переход от y($ \widetilde{x}$) к y($ \sigma$$ \widetilde{x}$) можно описать как изменение решения (24) при его аналитическом продолжении по цепочке кругов, взятых вдоль замкнутого пути, отвечающего $ \sigma$. Но это подразумевает несколько отождествлений различных объектов -- $ \Delta$ и $ \pi_{1}^{}$(S, x0), голоморфных функций на  $ \widetilde{S}$ и наборов их элементов по Вейерштрассу.

Таким путём возникает преобразование

$\displaystyle \sigma_{*}^{}$ :   $\displaystyle \mathfrak{Y}\to \mathfrak{Y}, \qquad
(\sigma_*y)(\widetilde x) = y(\sigma^{-1}\widetilde x),
$

очевидно, линейное и невырожденное. При этом ($ \sigma_{*}^{}$$ \tau_{*}^{}$) = $ \sigma_{*}^{}$$ \tau_{*}^{}$ (если бы мы определили ($ \sigma_{*}^{}$y)($ \widetilde{x}$) как y($ \sigma$$ \widetilde{x}$), то получилось бы ($ \sigma_{*}^{}$$ \tau_{*}^{}$) = $ \tau_{*}^{}$$ \sigma_{*}^{}$; то же самое отмечалось в п.1.3, а). Обозначая через GL($ \mathfrak{Y})$ группу невырожденных линейных преобразований пространства  $ \mathfrak{Y}$, получаем представление

$\displaystyle \Delta$$\displaystyle \to$GL($\displaystyle \mathfrak{Y}), \qquad \sigma \mapsto \sigma_*,$ (29)

которое называется представлением монодромии (для (24)). Взяв в  $ \mathfrak{Y}$ какой-нибудь базис, т.е. фундаментальную систему решений, объединённую в фундаментальную матрицу Y($ \widetilde{x}$), можем перейти к матричному представлению $ \chi$ :  $ \Delta$$ \to$GL(p,$ \mathbb {C}$), для которого $ \chi$($ \sigma$) описывает изменение координат в этом базисе элемента y $ \in$ $ \mathfrak{Y}$ при переходе к  $ \sigma_{*}^{}$y. Как легко видеть, Y($ \widetilde{x}$) = Y($ \sigma$$ \widetilde{x}$)$ \chi$($ \sigma$), что является эквивалентным определением $ \chi$. Представление $ \chi$ тоже называют представлением монодромии. Оно определяется заданием n - 1 невырожденной матрицы -- образов образующих $ \Delta$ (значит, эти матрицы описывают аналитическое продолжение решений при обходах вокруг n - 1 особой точки), так что является более конкретным объектом, нежели (29). Но самой системой (24) $ \chi$ определено не совсем единственным образом: при изменении базиса в  $ \mathfrak{Y}$ представление $ \chi$ заменяется на сопряжённое представление C$ \chi$C-1, где C -- некоторая постоянная матрица. В связи с этим монодромией называют также и весь класс сопряжённых представлений {C$ \chi$C-1; C $ \in$ GL(p,$ \mathbb {C}$)} (он уже определяется системой (24)).

Нас будут интересовать системы (24), имеющие особенности сравнительно ``слабого'' типа. Особая точка ai $ \neq$ $ \infty$ называется фуксовой, если C(z) имеет в этой точке полюс первого порядка; особая точка $ \infty$ называется фуксовой, если коэффициенты (25) имеют в точке $ \zeta$ = 0 полюс первого порядка. Система, у которой все особые точки фуксовы, называется фуксовой системой. Можно доказать, что у фуксовой системы, у которой особые точки суть a1,..., an и, возможно, $ \infty$, матрица C(x) имеет вид

C(x) = $\displaystyle \sum_{i = 1}^{n}$$\displaystyle {\dfrac{B_i}{x - a_i}}$,

где Bi -- постоянные матрицы. При этом точка $ \infty$ тоже будет особой в том и только том случае, когда $ \sum$Bi = 0.

``Слабость'' фуксовых особенностей проявляется и в поведении решений возле особых точек. Если x стремится к фуксовой особой точке a, то | y(x)| может расти или убывать не быстрее некоторой степени | x - a|. Сказанное нуждается в некотором уточнении, потому что даже для (26) при $ \Im$$ \alpha$ $ \neq$ 0 можно обеспечить сколь угодно большой рост | y| с уменьшением | x|, если приближаться к 0 по спирали, вдоль которой | y| убывает медленно по сравнению с числом оборотов, сделанных вокруг 0 (тогда | y| изменяется главным образом за счёт этих оборотов). Нужное уточнение очень просто: | y| растёт или убывает не быстрее некоторой степени от | x - a|, когда x стремится к a, оставаясь внутри фиксированного угла с вершиной в a.

Изолированная особая точка a системы (24) называется регулярной, если для неё выполняется то же самое свойство не более чем степенного роста или убывания решений при приближении x к a (с тем же уточнением об угле). Оказывается, в регулярной особой точке коэффициенты правой части системы имеют полюс, но не обязательно первого порядка, так что существуют регулярные особые точки, не являющиеся фуксовыми. Но уже при полюсе второго порядка особая точка может не быть регулярной. Лишь немногим более 10 лет назад удалось указать алгоритм, позволяющий (если удастся реально проделать все вычисления) определять, является ли особая точка регулярной. Он оказался весьма громоздким. Было бы неосторожно утверждать, что его совсем нельзя упростить, но по-видимому среди всех систем, коэффициенты которых имеют полюс в a, регулярные системы расположены каким-то сложным образом, так что ``распознающий'' их алгоритм не может быть слишком простым.

Если все особые точки системы регулярные, то и вся система называется регулярной.

Теперь можно перейти к нашей теме -- 21-й проблеме Гильберта (её называют также ``проблемой Римана--Гильберта''). Она гласит: показать, что ``всегда существует линейное дифференциальное уравнение (на самом деле имеется в виду не одно уравнение, а система. -- Д.А.) фуксова типа с заданными особыми точками и заданной группой монодромии'' (теперь говорят точнее о представлении монодромии). Гильберт вполне мог иметь в виду не только те системы, которые мы теперь называем фуксовыми, а (по теперешней точной терминологии) регулярные системы. Независимо от неясности с терминологией начала века, здесь реально имеются две проблемы -- ``фуксова'' и ``регулярная''. Последняя была вскоре положительно решена Й.Племелем (между прочим, фактически это было первое удачное использование теории сингулярных интегральных уравнений, основы которой именно в данной связи и были заложены Племелем, хотя формально в тот момент Племель о них не говорил). Племель пытался также вывести отсюда положительную разрешимость фуксова варианта, но на самом деле его редукция проходит при некотором дополнительном условии на представление монодромии, т.е. фактически он получил некоторое достаточное условие положительной разрешимости фуксовой 21-й проблемы. Оно состоит в том, что хоть одна из матриц монодромии, отвечающих обходам вокруг особых точек a1,..., an, приводится к диагональному виду. Но это было осознано много позже. По словам Ю.С.Ильяшенко, он заметил пробел у Племеля в 1975 г., когда говорил о фуксовых системах в своих лекциях. В печати неполнота рассуждений Племеля была отмечена, по-видимому, только в 1985 г. в обзоре [87]. Но тогда ещё оставалась надежда, что для фуксовых систем ответ всё-таки всегда положителен. Неожиданностью явилось открытие А.А.Болибрухом противоречащего примера [88] 86. Продолжая работу в этом направлении, Болибрух, с одной стороны, построил серию контрпримеров различного характера, а с другой -- нашёл новые достаточные условия различной степени общности, гарантирующие положительный ответ; в этой работе участвовали и другие авторы. Вот одно из новых достаточных условий, принадлежащее В.П.Костову и А.А.Болибруху: представление $ \chi$ неприводимо.

Новые методы нашли применение и к некоторым другим задачам аналитической теории (задача Биркгофа о стандартной форме системы в окрестности нерегулярной особой точки). Следует отметить, что в работах Болибруха вместо интегральных уравнений обычно используются векторные расслоения; такой геометрический подход впервые появился в работе Х.Рорля, датированной в точности началом предыдущего 20-летия (и содержащей, в частности, другое доказательство теоремы Племеля); другим постоянным ``ингредиентом'' его работ является принадлежащее А.Левелю (1961) усовершенствование классической локальной теории, построенной ещё в прошлом веке (главным образом, Л.Фуксом и А.Пуанкаре). Изложение этого направления (хотя теперь уже не совсем полное) см. в [89].

Замечу, что можно сформулировать (и исследовать) нелинейный аналог задачи Римана--Гильберта [90].




Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования