Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Зарегистрируйтесь на нашем сервере и Вы сможете писать комментарии к сообщениям Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Математическое образование | Популярные статьи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
Next: Метод Шнирельмана в аддитивной Up: Советская математика 30-х годов Previous: Александр Осипович Гельфонд и Contents: Содержание

Лев Генрихович Шнирельман, антиподы на сфере и квадрат, вписанный в кривую

Лев Генрихович Шнирельман родился 2 января 1905 года в Гомеле. Там он прожил до 16 лет. Отец его был учителем русского языка.

Лев Генрихович очень рано обнаружил выдающиеся способности. Он рисовал, писал стихи, в 12 лет самостоятельно прошел курс элементарной математики. В течение нескольких месяцев мальчик посещал физико-математические курсы для окончивших среднюю школу. Там на него обратил внимание преподаватель, который добился того, чтобы мальчика направили в Москву для продолжения образования.

В 15 лет он испробовал свои силы в самостоятельной работе. Согласно одной из легенд (которые всегда сопровождают жизненный путь выдающегося человека), он приехал в Москву в шестнадцатилетнем возрасте поступать в Московский университет, привезя с собой записанную в школьной тетради (на ужасной бумаге - другой в ту трудную пору не было) теорему о раскраске сферы (мы обсудим ее чуть дальше). Эта теорема сыграла основополагающую роль при решении (найденном Шнирельманом совместно с Лазарем Ароновичем Люстерником) проблемы Пуанкаре о трех геодезических. Решение проблемы Пуанкаре сделало имя Шнирельмана известным всему миру.

Окончив Университет за два с половиной года, Шнирельман поступил в аспирантуру "Института математики и механики Первого МГУ". Он был учеником Николая Николаевича Лузина. Лазарь Аронович вспоминал, что Лузину (по-видимому, склонному в некоторой мере к мистическому восприятию мира) как-то приснился сон, что к нему придет юноша ("с теми же анкетными данными", что и Лев Генрихович, как писал Л. А.) и решит проблему континуума. И когда к нему явился юный Шнирельман, Лузин воспринял его как посланца небес. Увы, Шнирельман проблему континуума не решил, решения ее пришлось ждать до 60-х годов, когда ее осилил Пол Коэн.

Свои самые замечательные результаты Шнирельман опубликовал в течение двух лет - 1929 и 1930. Вот их формулировки.

Теорема 1 (о вписанном квадрате). В любую замкнутую кривую на плоскости можно вписать квадрат.

Точнее, можно найти 4 точки на кривой, служащие вершинами квадрата (если кривая ограничивает невыпуклую область, то квадрату разрешается вылезать из этой области). В работе Шнирельмана кривая предполагается достаточно гладкой. Когда цитируют теорему Шнирельмана, ее часто формулируют для произвольной непрерывной кривой. Авторам неизвестно, опубликовано ли где-нибудь доказательство для этого случая. В 1996 г. один из нас (В.В.Успенский) спросил знаменитого Пола Эрдеша, каков статус теоремы о вписанном квадрате в случае произвольной непрерывной кривой. Эрдеш ответил, что это открытая проблема.

Теорема 2 (о трех геодезических). На любой гладкой поверхности, гомеоморфной сфере $S^2$, имеется по меньшей мере три замкнутых геодезических.

Найдите на берегу моря (или мысленно) какой-нибудь гладкий камешек. И тонкую аптечную резиночку. Попробуйте надеть резиночку на камешек, чтобы она "не сползала". Если вам это удастся, вы нашли замкнутую геодезическую. На шарообразном мячике замкнутые геодезические - большие круги: если вы чуть-чуть собъетесь с большого круга, резиночка соскочит. А на эллипсоиде - всего три замкнутых геодезических: сечения этого эллипсоида плоскостями, проходящими через его оси. Гипотеза Пуанкаре состояла в том, что "на любом гладеньком камешке" имеется не меньше трех различных замкнутых геодезических. В 1929 году Люстерник и Шнирельман доказали гипотезу Пуанкаре, и это стало всемирной сенсацией. (Правда, впоследствии в доказательстве был обнаружен пробел, но его удалось залатать.)

Теорема 3. Существует натуральное $N$ такое, что любое натуральное число есть сумма не более чем $N$ простых чисел.

Всякое ли натуральное число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел? Такой вопрос поставил перед Эйлером Христиан Гольдбах - немецкий математик, полжизни проживший в России и умерший в Москве. Он задал этот вопрос в письме от 7.6.1742. В ответном письме (от 30.6.1742) Эйлер указывал, что для решения этой проблемы достаточно доказать, что любое четное число $\ge 4$ есть сумма двух простых.

Первым сдвигом в исследовании этих проблем (до конца не решенных по сей день) был результат Шнирельмана. (Впрочем, к тому времени были опубликованы исследования Харди и Литтлвуда, в которых гипотеза Гольдбаха доказывалась (для достаточно больших нечетных чисел) в предположении, что верны некоторые другие (не доказанные и по сей день) гипотезы. В 1937 году И.М.Виноградов доказал гипотезу Гольдбаха для достаточно больших нечетных чисел.) Но особое значение имел не сам факт представимости любого числа суммой ограниченного числа простых (тем более, что у самого Шнирельмана число слагаемых оценивалось в несколько сотен тысяч), а своеобразный и очень оригинальный метод, с помощью которого удалось сдвинуть эту и множество других проблем. Мы расскажем об этом методе ниже.

В 1931 году Шнирельман был командирован за границу на три месяца и там имел огромный успех. Он работал некоторое время в Геттингене - Мекке математики того времени, где жил и творил в ту пору великий Гильберт. (Шнирельман запомнился многим тогда не только своими феноменальными результатами, но и тем, что "walked barefoot through the streets of Goettingen" - прогуливался босиком по улицам Геттингена, - как писала Констант Рид в книге о Куранте.) Ему было предложено написать монографию для престижного немецкого издательства, но этому не дано было осуществиться: в Германию пришли фашисты.

В 1933 году Шнирельман был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР.

В 1934 году Правление Московского математического общества приняло решение о проведении первой Московской школьной олимпиады по математике. В оргкомитет по проведению олимпиады вошел Л.Г.Шнирельман. Он был одним из инициаторов Школьного математического кружка при МГУ (наряду с Люстерником и Гельфандом). Тогда же профессора и преподаватели два раза в месяц по воскресеньям читали лекции в университете для школьников. И снова Шнирельман был одним из организаторов этих лекций. Он прочитал, в частности, лекции по многомерной геометрии, по теории групп.

Одним из первых Шнирельман стал культивировать в Москве выпуклую геометрию. Он написал замечательную работу по приложению выпуклой геометрии к теории наилучшего приближения (опубликованную посмертно).

Еще об одной работе Шнирельмана надо сказать - о его статье (написанной совместно с Л.С.Понтрягиным), посвященной метрическому определению размерности. Эта работа оказала влияние на разработку концепции $\varepsilon$-энтропии Колмогорова. Статья Понтрягина и Шнирельмана помещена в качестве приложения к русскому переводу "Теории размерности" Гуревича и Волмэна.

Лев Генрихович очень дружил с Люстерником, Гельфондом, Гельфандом. Многие вспоминали о нем, как о личности большого масштаба, человеке мягком и деликатном, имевшем самые многогранные интеллектуальные запросы, человеке остроумном, наблюдательном, одухотворенном и очень обаятельном.

Жизнь его оборвалась трагически: 24 сентября 1938 года он покончил с собой. Те люди старшего поколения, с кем нам доводилось говорить на эту тему, связывали этот шаг Льва Генриховича с кровавым безумием того времени: они говорили, что Лев Генрихович попал в поле зрения НКВД и, устрашившись этого, решил покончить с жизнью. Быть может, истина откроется, когда кто-то из людей, желающих узнать правду, доберется до архивов КГБ.

А теперь расскажем чуть подробнее о теоремах Шнирельмана. Начнем с уже упоминавшегося результата из юношеской тетради.

Теорема 4 (о раскраске сферы). Пусть сфера $S^2$ покрыта тремя замкнутыми множествами. Тогда одно из них содержит пару антиподов (т.е. диаметрально противоположных точек).

Иными словами, если сферу $S^2$ раскрасить в три цвета, то найдется пара одноцветных антиподов. Шнирельман доказал свою теорему и для сфер произвольной размерности: если $n$-мерная сфера $S^n$ раскрашена в $n+1$ цветов (т.е. покрыта замкнутыми множествами $F_1,\ldots,F_{n+1}$), то найдется пара одноцветных антиподов.

Теорема Шнирельмана эквивалентна другой теореме, которую доказали в тридцатые годы польские математики К. Борсук и С. Улам: всякое отображение $f$ сферы $S^n$ в евклидово пространство ${{\mathbb{R}}^n}$ склеивает некоторую пару антиподов. Иными словами, найдется такое $x\relax \in S^n$, что $f(x)=f(-x)$. (Все отображения здесь и далее предполагаются непрерывными.) Еще одна эвивалентная формулировка теоремы Борсука-Улама такова: не существует нечетного отображения $f\colon S^n\relax \to S^{n-1}$. При этом отображение $f$ называется нечетным, если $f(-x)\relax =- f(x)$.

Покажем, как вывести теорему о раскраске сферы из теоремы Борсука - Улама. Пусть $F_1,\dots,F_{n+1}$ - замкнутые подмножества сферы $S^n$, объединение которых равно $S^n$. Нам надо доказать, что при некотором $i$, $1\leq i\leq n+1$, множество $F_i$ содержит пару антиподов. Если существует точка $x$, принадлежащая всем множествам $F_i$, то все ясно: некоторое $F_i$ содержит пару антиподов $x,  -x$. Предположим, что $F_1\cap\ldots\cap F_{n+1}$ пусто. Для каждого $x\in S^n$ пусть $f_i(x)$ - расстояние от точки $x$ до множества $F_i$. Тогда $f_i\colon S^n\to {{\mathbb{R}}}$ - непрерывная неотрицательная функция, и $f_i(x)=0$ тогда и только тогда, когда $x\in F_i$. Согласно нашему предположению, функции $f_i$, $1\leq i\leq n+1$, нигде не обращаются в нуль одновременно, поэтому функция $h=\sum_{i=1}^{n+1} f_i$ всюду положительна. Положим $g_i=f_i/ h$, $1\leq i\leq n+1$, и $G(x) =(g_1(x),\dots , g_n(x))$. Тогда $G\colon S^n\to {{\mathbb{R}}}^n$ - непрерывное отображение. Применяя к нему теорему Борсука - Улама, находим такое $x\in S^n$, что $g_i(x)=g_i(-x)$ при каждом $i=1,\dots, n $. Так как $g_{n+1}=
1-\sum_{i=1}^n g_i$, имеем также $g_{n+1}(x)=g_{n+1}(-x)$. Если $i$ таково, что $x\in F_i$, то $g_i(-x)=g_i(x)=0$, так что $F_i$ содержит пару антиподов $x$ и $-x$.

Что касается теоремы Борсука - Улама, то ей можно придать более сильную форму, используя понятие степени отображения сферы в себя:

Теорема Борсука. Всякое нечетное отображение $f\colon S^n\to S^n$ имеет нечетную степень.

Отсюда следует, что всякое отображение $f\colon S^n\to S^n$ четной степени склеивает пару антиподов. Действительно, если отображение $f$ не склеивает антиподов, то его можно продеформировать в нечетное отображение, а при непрерывной деформации степень отображения не меняется. Деформацию можно осуществить так: для каждого $x\in S^n$ точки $f(x)$ и $f(-x)$ равномерно двигаются в разные стороны по дуге большого круга, пока они не займут диаметрально противоположные позиции.

Объясним идею доказательства теоремы Борсука. Нечетное отображение $f\colon S^n\to S^n$ приводит к отображению $g\colon\mathbb{RP\mkern2mu}^n\to\mathbb{RP\mkern2mu}^n$, где $\mathbb{RP\mkern2mu}^n$ - вещественное проективное пространство, получающееся из сферы $S^n$ отождествлением антиподов. Для отображения $g$ определена степень по модулю 2. Если $g$ гладко, то эта степень совпадает с четностью числа прообразов точки общего положения. Если $\char93 g^{-1}(p)=k$ и точка $p\in \mathbb{RP\mkern2mu}^n$ представляется парой антиподов $x,  -x$ на сфере, то $\char93 (f^{-1}(x)\cup f^{-1}(-x))\relax =2k$ и $\char93 f^{-1}(x)=k$, так что $f$ и $g$ имеют одинаковые степени по модулю 2. Нам надо установить, что $g$ имеет ненулевую степень.

Замкнутые кривые в $\mathbb{RP\mkern2mu}^n$ бывают двух сортов: образы замкнутых кривых на сфере и образы кривых, соединяющих антиподы. Кривые первого сорта могут быть стянуты в точку, кривые второго сорта нет. Отображение $g$ переводит нестягиваемые кривые в нестягиваемые, так как $f$ переводит кривые с антиподальными концами на сфере в такие же кривые. Таким образом, все сводится к следующему утверждению: всякое отображение $\mathbb{RP\mkern2mu}^n$ в себя, переводящее нестягиваемые кривые в нестягиваемые, имеет нечетную степень по модулю 2.

С каждым компактным многообразием $X$ можно связать его кольцо пересечений по модулю 2. Элементами этого кольца (обозначим его через $A(X)$) служат классы гомологичных циклов по модулю 2, а умножение соответствует пересечению циклов, находящихся в общем положении. Отображению $h\colon X\to Y$ между компактными многообразиями отвечает гомоморфизм колец $h^*\colon A(Y)\to A(X)$ и гомоморфизм аддитивных групп $h_*\colon A(X)\to A(Y)$. Эти гомоморфизмы можно представлять соответственно как переход к прообразу или образу цикла. Гомоморфизмы $h_*$ и $h^*$ связаны формулой
\begin{displaymath}
h_*(h^*(\eta)\cdot \xi)=\eta\cdot h_*(\xi)
\quad (\eta\in A(Y), \xi\in A(X)).%%\tag{8}
\end{displaymath} (8)

Пусть теперь $X= \mathbb{RP\mkern2mu}^n$ и $A=A(X)$. Для каждого $k=0,\dots,n$ имеется только один ненулевой класс $k$-мерных циклов в $\mathbb{RP\mkern2mu}^n$, представленный подмногообразием $\mathbb{RP\mkern2mu}^k$. Поэтому кольцо $A$ состоит из $2^{n+1}$ элементов вида $\sum_{i=0}^n a_ix^i$, где $a_i\in {\mathbb{Z}}/2{\mathbb{Z}}$, $x$ соответствует гиперплоскости в $\mathbb{RP\mkern2mu}^n$, а $x^k$ соответствует подмногообразию $\mathbb{RP\mkern2mu}^{n-k}$ коразмерности $k$. В частности, $x^{n-1}$ - класс окружности $\mathbb{RP\mkern2mu}^1$.

Предположим, что $h\colon \mathbb{RP\mkern2mu}^n\to\mathbb{RP\mkern2mu}^n$ переводит нестягиваемые кривые в нестягиваемые. Тогда $h_*(x^{n-1})$ является классом нестягиваемой кривой $h(\mathbb{RP\mkern2mu}^1)$, так что $h_*(x^{n-1})=x^{n-1}$. Положим $\xi=x^{n-1}$, $\eta=x$ и применим формулу (8). Правая часть $\eta\cdot h_*(\xi)=x\cdot x^{n-1}=x^n$ отлична от нуля. Следовательно, $h^*(\eta)=h^*(x)$ отлично от нуля - иначе левая часть $h_*(h^*(\eta)\cdot \xi)$ была бы нулевой. Класс $h^*(x)$ представляется циклом коразмерности 1. Поскольку этот класс ненулевой, должно быть $h^*(x)=x$. Так как кольцо $A$ порождается элементом $x$ и $h^*\colon A\to A$ - кольцевой гомоморфизм, то этот гомоморфизм должен быть тождественным. В частности, $h^*(x^n)=x^n$. Но $x^n$ - это класс точки, и последнее равенство означает, что $h$ имеет нечетную степень по модулю 2.




Подразделы
Next: Метод Шнирельмана в аддитивной Up: Советская математика 30-х годов Previous: Александр Осипович Гельфонд и Contents: Содержание


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования