Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посетите ASTRONET.RU Обратите внимание!
 
  Наука >> Астрономия >> Астрофизика >> физические процессы | Книги
 Посмотреть комментарии[2]  Добавить новое сообщение
 См. также

Учетные карточкиФизический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова: ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

НовостиАстрономия: учебно–методическое пособие для преподавателей астрономии, студентов педагогических вузов и учителей средних учебных заведений.

Популярные статьи150 лет ГАИШ: 150 лет Московской университетской обсерватории - Государственному Астрономическому институту имени П.К.Штернберга

Популярные статьиЗаконы физики в космосе

Популярные статьиСолнечно-земная физика

Биографии ученых"...И гений - парадоксов друг": 290 лет со дня рождения Михаила Васильевича Ломоносова

Анонсы конференцийПрограмма молодежной конференции "Современные вопросы геологии", 2-е Яншинские чтения, Институт литосферы окраинных и внутренних морей РАН, 26-29 марта 2002 года

Научные статьиБиогенез: мотивы и феномены возникновения жизни

Научные статьиПроблемы нефрологии детского возраста на рубеже столетий: наследственные нефропатии, дизэмбриогенез почек, гломерулонефрит, эконефропатии

Популярные статьиКонцепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (1)

Анонсы конференцийXXXVI Тектоническое совещание

Обзорные статьиА.С. Спирин. Принципы структуры рибосом

Научные статьиБиологическая эволюция и морфогенез: Накопление биологического потенциала на докембрийском этапе эволюции.

Популярные статьиКонцепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (2)

Научные статьиБ.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

НовостиМировая линия Гамова

Научные статьиРадиоактивные газовые зонды в дифузионно-структурном анализе твердых тел и твердофазных процессов: (1)

<< 8.1 Идея искривленного ... | Оглавление | 8.3 Физика искривленного ... >>

8.2 Параллельный перенос векторов

Что такое параллельный перенос в евклидовом пространстве, всем понятно: при переносе должны оставаться постоянными компоненты вектора в декартовых координатах. Однако уже в плоском пространстве, но в криволинейных координатах, например, в полярных, это не так просто определить.

При параллельном переносе в плоском пространстве сохраняется направление вектора. В частности, сохраняются углы, образуемые вектором с прямой (т. е. геодезической), соединяющей исходную и конечную точки переноса. При обходе замкнутого контура положение вектора совпадает с исходным. В искривленном пространстве это не так. Легче всего это понять на примере сферы8.1 (см. рис. 51). Выйдем из полюса с вектором, направленным по меридиану. Дойдем до экватора и перенесем вектор параллельно самому себе вдоль экватора, после чего вернемся по другому меридиану на полюс. Очевидно, что конечное положение вектора не совпадает с исходным и угол поворота $ \alpha $ равен как раз избытку углов треугольника над $ 180^{\circ}$. При малых $ \alpha $

$\displaystyle \vert\Delta\vec{A}\vert=\vert\vec{A}\vert\alpha=\vert\vec{A}\vert S/R^2,
$

где $ S$ -- площадь треугольника.

Приращение вектора $ \Delta\vec{A}\perp\vec{A}$, так как длина вектора не меняется.

Рис. 52.

Кривизна двумерной поверхности характеризуется только одним числом (например, радиусом кривизны $ R$). Надо понимать, что эта кривизна не обусловлена рассматриванием ее из трехмерного мира. Это число характеризует внутреннюю геометрию двумерной поверхности.

Например, поверхность цилиндра с точки зрения трехмерного наблюдателя искривлена. Ее внешняя геометрия характеризуется двумя радиусами кривизны: одним конечным $ R_1$ и другим $ R_{\infty}$ (рис. 52). Но с точки зрения двумерного существа все геометрические фигуры на этой поверхности имеют те же свойства, что и фигуры на плоском листе (сумма углов треугольника равна $ \pi$ и т. п.). Таким образом, цилиндр является примером плоской поверхности (от обычной плоскости он отличается только топологией).

Другой пример -- конус. Коническая поверхность везде плоская, кроме одной точки, но в этой точке кривизна ведет себя подобно $ \delta$-функции. Поэтому там, где входят интегралы от кривизны, мы получаем конечный вклад от этой одной точки.

Приращение компонент вектора $ \vec{A}=(A_1,\;A_2)$ при параллельном переносе по бесконечно малому контуру площади $ \Delta f$ на поверхности в некоторой системе координат $ x_1$, $ x_2$ можно записать в виде:

$\displaystyle \Delta A_1=\kappa\;A_2\;\Delta f,
$

$\displaystyle \Delta A_2=-\kappa\;A_1\;\Delta f,
$

т. е. матрица этого преобразования имеет вид $ \left(\begin{array}{cc}
0 & \kappa \\
-\kappa & 0 \\
\end{array}\right)$. Здесь $ \kappa$ -- внутренняя кривизна поверхности (на сфере $ \kappa=1/R$). Такой вид матрицы преобразования связан с условием сохранения длины вектора.

В трехмерном (и более общем) случае изменение компонент вектора при параллельном переносе зависит также от ориентации элементарных площадок, определяемых контуром пути переноса. Поэтому изменение компонент вектора при параллельном переносе по контуру, ограничивающему малую двумерную поверхность $ \Delta f^{lm}$, описывается формулой

$\displaystyle \Delta A^i={1\over 2}R^i_{klm}A^k\,\Delta f^{lm},
$

где $ R^i_{klm}$ -- так называемый тензор кривизны. Как это принято, здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. В силу свойств симметрии в четырехмерном случае $ R^i_{klm}$ имеет 20 независимых компонент.

Тензор $ R^i_{klm}$ выражается через метрику $ g_{ik}$, точнее говоря через $ g_{ik}$, $ \partial g_{ik}/\partial x^l$ и $ \partial^2g_{ik}/\partial
x^l\partial x^m$.

Поэтому, если известна метрика $ g_{ik}$, то известна и кривизна в каждой точке. И наоборот, если известен тензор кривизны $ R^i_{klm}$, то геометрия пространства полностью известна. Заметим, что если $ R^i_{klm}$=0, то пространство плоское, и существует такое преобразование координат, которое преобразует выражение $ ds^2=
g_{ik}dx^i dx^k$ к псевдоевклидову виду: $ ds^2=\delta ^{ik}dx^i dx^k$.



HREF="node52.html">8.1 Идея искривленного ... | Оглавление | 8.3 Физика искривленного ... >>


Посмотреть комментарии[2]
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования