Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Зарегистрируйтесь на нашем сервере и Вы сможете писать комментарии к сообщениям Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
   
Next:   1 Скалярное произведение

Формулы сложения и их следствия

Повторить:Свойства параллелограмма.
Прямоугольные координаты на плоскости
(по любому пособию).


0.1 Направленные отрезки и векторы

Чтобы как следует понять важный раздел тригонометрии, которому посвящена эта глава, нам придется познакомиться с векторами на плоскости.

Рис. 70:
\begin{figure}\epsfbox{t17.1}\end{figure}

Давайте рассматривать отрезки, у которых один из концов назван началом отрезка (а другой так и остался концом). Такие отрезки называются направленными отрезками. На чертежах их принято изображать в виде стрелки, идущей от начала отрезка к его концу. Направленный отрезок с началом $ A$ и концом $ B$ обозначается $ \overline{AB}$.

Главное отличие направленных отрезков от обычных - это то, в каких случаях два направленных отрезка считаются равными. Если обычные отрезки равны в том случае, когда равны их длины, то для направленных отрезков мы будем учитывать еще и направление. Именно:

Определение. Два направленных отрезка $ \overline{AB}$ и  $ \overline{CD}$ считаются равными, если:

  • Равны их длины, т.е. $ AB = CD$;
  • Прямые $ AB$ и $ CD$ параллельны (или совпадают), и при этом отрезки $ AB$ и $ CD$ направлены в одну сторону.
  • Например, на рис. 71 длины направленных отрезков $ \overline{AB}$, $ \overline{CD}$, $ \overline{KL}$, $ \overline{PQ}$ и  $ \overline{MN}$ равны друг другу; тем не менее верны только равенства $ \overline{AB}
=\overline{CD}=\overline{KL}$; направленные отрезки $ \overline{PQ}$ и  $ \overline{MN}$ не равны друг другу и этим трем ( $ \overline{PQ}$ хоть и лежит на прямой, параллельной $ AB$, но направлен в сторону, противоположную $ \overline{AB}$).

    Рис. 71: $ \overline{AB}
=\overline{CD}=\overline{KL}$.
    \begin{figure}\epsfbox{t17.2}\end{figure}

    Рис. 72:
    \begin{figure}\epsfbox{t17.3}\end{figure}

    Если два направленных отрезка не лежат на одной прямой, то определение их равенства можно сформулировать и короче: $ \overline{AB}=\overline{CD}$ тогда и только тогда, когда четырехугольник $ ABDC$ является параллелограммом (рис 72). (Вспомним, что четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда две его стороны равны и параллельны.)

    Обратите внимание, что вершины параллелограмма идут в порядке $ ABDC$: именно это обеспечивает выполнение того условия, что направленные отрезки $ \overline{AB}$ и  $ \overline{CD}$ направлены в одну сторону, а не в противоположные.

    Предположим теперь, что на плоскости задана система координат. Тогда можно определить, что такое координаты направленного отрезка.

    По определению, координаты направленного отрезка получаются, если из координат его конца вычесть координаты начала. Точнее говоря:

    Если точка $ A$ имеет координаты $ (x_1;y_1)$, а точка $ B$ имеет координаты $ (x_2;y_2)$, то координатами направленного отрезка $ \overline{AB}$ называется пара чисел $ (x_2-x_1;\linebreak[0]y_2-y_1)$.

    В частности, если начало направленного отрезка $ \overline{OA}$ совпадает с началом координат, то координаты $ \overline{OA}$ - не что иное, как координаты точки $ A$.

    Геометрически можно представить координаты направленного отрезка так: проведем через его концы прямые, параллельные осям координат (рис. 73).

    Рис. 73: Координаты направленного отрезка.
    \begin{figure}\epsfbox{t17.4}\end{figure}

    Вместе с самим отрезком эти прямые ограничивают прямоугольный треугольник ($ AMB$ на рисунке)   10. Координаты $ \overline{AB}$ - это длины катетов этого треугольника, взятые с подходящим знаком (``плюс'', если при движении по катетам треугольника из начала в конец отрезка мы движемся в том же направлении, куда указывает соответствующая ось координат, и ``минус'' в противном случае).

    Можно еще сказать, что координаты направленного отрезка $ \overline{AB}$ - это числа, указывающие, на какие расстояния надо сдвинуться вдоль осей координат, чтобы попасть из $ A$ в $ B$.

    Главное свойство координат направленного отрезка таково: Направленные отрезки равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

    Рис. 74:
    \begin{figure}\epsfbox{t17.5}\end{figure}

    В самом деле, пусть $ \overline{AB}=\overline{CD}$. Достраивая эти отрезки до прямоугольных треугольников $ ABM$ и $ CDN$ (рис. 74), получаем, что в этих треугольниках $ AB = CD$ и $ \angle BAM=\angle DCN$: первое равенство - это часть определения направленных отрезков, второе вытекает из того, что $ AB\parallel CD$ и  $ AM\parallel CN$. Значит, прямоугольные треугольники $ ABM$ и $ CDN$ равны, стало быть, равны и их катеты: $ AM=CN$, $ BM=DN$. А катеты этих треугольников - это и есть координаты $ \overline{AB}$ и  $ \overline{CD}$.

    Напротив, пусть нам известно, что у направленных отрезков $ \overline{AB}$ и  $ \overline{CD}$ равны координаты. Тогда, построив те же треугольники $ ABM$ и $ CDN$, получаем, что они равны (по двум катетам), откуда $ \angle BAM=\angle DCN$; так как $ AM\parallel CN$, из этого следует, что $ AB\parallel CD$.

    С формальной точки зрения наши рассуждения неполны: например, из равенства направленных отрезков мы вывели лишь равенство абсолютных величин их координат, ни словом не обмолвившись об их знаках. Это - неизбежное следствие того, что в определении равенства направленных отрезков мы пользовались наглядно очевидным, но не определенным формально понятием ``отрезки направлены в одну сторону''. Давайте сформулируем определение равенства направленных отрезков более строго.

    Для случая, когда отрезки $ AB$ и $ CD$ не лежат на одной прямой, равенство $ \overline{AB}=\overline{CD}$ равносильно, как мы знаем, тому, что $ ABDC$ - параллелограмм. Однако четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам, поэтому определение можно сформулировать еще и так: $ \overline{AB}=\overline{CD}$ если и только если середины отрезков $ AD$ и $ BC$ совпадают. В таком виде это определение имеет смысл и в том случае, когда точки $ A$, $ B$, $ C$ и $ D$ лежат на одной прямой; легко убедиться, что и в этом случае оно равносильно нашему исходному определению. Такое определение равенства направленных отрезков уже безупречно с формальной точки зрения.

    С помощью нового определения легко дать аккуратное доказательство того факта, что равенство направленных отрезков равносильно равенству их координат. В самом деле, пусть точки $ A$, $ B$, $ C$, $ D$ имеют координаты соответственно $ (a_1;a_2)$, $ (b_1;b_2)$, $ (c_1;c_2)$, $ (d_1;d_2)$. Так как координаты середины отрезка являются полусуммами координат его концов, равенство $ \overline{AB}=\overline{CD}$ (то есть, по нашему определению, совпадение середин отрезков $ AD$ и $ BC$) равносильно равенствам

    $\displaystyle \frac{a_1+d_1}{2}$ $\displaystyle =\frac{b_1+c_1}{2};$    
    $\displaystyle \frac{a_2+d_2}{2}$ $\displaystyle =\frac{b_2+c_2}{2}.$    

    Эти равенства, в свою очередь, равносильны равенствам $ \binoppenalty 10000 b_1-a_1
=d_1-c_1$, $ b_2-a_2=d_2-c_2$, то есть равенству координат $ \overline{AB}$ и  $ \overline{CD}$.

    Задача 0.1   Точки $ M$, $ N$ и $ P$ таковы, что координаты направленного отрезка $ \overline{MN}$ равны $ (10; -14)$, а координаты направленного отрезка $ \overline{NP}$ равны $ (-6; 26)$. Найдите координаты направленного отрезка $ \overline{MP}$.

    Задача 0.2   Докажите, что длина направленного отрезка с координатами $ (x;y)$ равна $ \sqrt{x^2+y^2}$.

    Указание. Воспользуйтесь формулой, выражающей расстояние между точками через их координаты, или теоремой Пифагора.

    Задача 0.3   Рассмотрим на плоскости наряду с той системой координат $ OXY$, которая у нас уже есть (назовем ее ``системой координат номер 1''), еще две следующие системы координат (рис. 75): Система координат номер 2. Ее начало координат $ O'$ имеет в системе номер 1 координаты $ (3;2)$, а оси $ O'X'$ и $ O'Y'$ параллельны осям $ OX$ и $ OY$ и направлены в ту же сторону. Система координат номер 3. Ее начало координат совпадает с $ O$, а оси $ OX''$ и $ OY''$ повернуты на $ 45^\circ $ в положительном направлении относительно осей $ OX$ и $ OY$. Пусть направленный отрезок имеет в системе координат номер 1 координаты $ (1;1)$. Каковы будут его координаты: а) в системе номер 2? б) в системе номер 3?

    Рис. 75:
    \begin{figure}\epsfbox{t17.6}\end{figure}

    Указание. Так как равные направленные отрезки имеют равные координаты, удобно рассмотреть равный данному направленный отрезок, имеющий своим началом точку $ O$.

    В тех случаях, когда все равно, о котором из равных направленных отрезков идет речь (в трех последних задачах так и было), направленные отрезки часто называют векторами.

    Например, на рис. 71 изображено 5 различных направленных отрезков, но всего 3 различных вектора. Так как с точностью до равенства направленный отрезок полностью определяется координатами, для задания вектора не обязательно рисовать направленный отрезок: если есть система координат, то достаточно указать координаты, и вектор будет полностью определен.

    В большинстве интересных задач, в которых встречаются направленные отрезки, равные направленные отрезки взаимозаменяемы, так что обычно предпочитают говорить именно о векторах, а не о направленных отрезках.

    Наряду с векторами, соответствующими настоящим отрезкам, рассматривают еще ``нулевой вектор'', имеющий координаты $ (0;0)$. Можно сказать, что нулевой вектор соответствует любому из ``отрезков'' $ \overline{AA}$, у которого начало и конец совпадают. Как мы вскоре увидим, нулевой вектор играет роль, аналогичную роли нуля среди чисел.

    Обозначать векторы можно так же, как и направленные отрезки; кроме того, иногда их обозначают латинскими буквами с черточкой сверху, например $ \overline{a}$. Можно также в качестве обозначения вектора записать его координаты: если вектор $ \overline{a}$ имеет координаты $ (x;y)$, пишем $ \overline{a}=(x;y)$. Нулевой вектор обозначается $ \overline{0}$ или $ (0;0)$. Длина вектора $ \overline{a}$ обозначается $ \vert\overline{a}\vert$.

    И еще одна особенность терминологии: если про направленные отрезки говорят ``отрезки параллельны'', то векторы принято называть не ``параллельными'', а ``коллинеарными''.

    Задача 0.4   Рассмотрим всевозможные векторы вида  $ \overline{AB}$, где $ A$ и $ B$ - две вершины данного правильного шестиугольника. Сколько среди этих векторов различных?

    Рис. 76:
    \begin{figure}\epsfbox{t17.8}\end{figure}

    Если нам даны вектор $ \overline{a}$ и точка $ M$, то однозначно определена такая точка $ N$, что $ \overline{a}=\overline{MN}$ (рис. 76). В этом случае говорят, что $ \overline{MN}$ получен откладыванием вектора $ \overline{a}$ от точки $ M$. Говорят также, что точка $ N$ получена из точки $ M$ переносом на вектор  $ \overline{a}$.

    Задача 0.5   Каждую точку квадрата с вершинами $ (1; 0)$, $ (0; 1)$, $ (-1; 0)$, $ (0; -1)$ подвергли переносу на вектор $ (-1; 2)$. Изобразите фигуру, которая при этом получилась.

    0.2 Сложение векторов

    С векторами можно производить различные действия, немного похожие на арифметические действия с числами. Сначала мы научимся векторы складывать.

    Рис. 77: Сложение векторов.
    \begin{figure}\epsfbox{t17.9}\end{figure}

    Пусть нам даны векторы $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$. Чтобы их сложить, надо сделать следующее. Возьмем произвольную точку $ M$ и отложим от нее вектор $ \overline{MN}=\overline{a}$; от конца этого вектора отложим вектор $ \overline{NP}=\overline{b}$. Тогда суммой векторов $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$ называется вектор $ \overline{MP}$. Сумма векторов $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$ обозначается $ \overline{a}+\overline{b}$ - так же, как сумма чисел.

    Вкратце наше определение сложения векторов можно записать так:

    $\displaystyle \overline{MN}+\overline{NP}=\overline{MP}.
$

    Строго говоря, надо еще проверить, что $ \overline{a}+\overline{b}$ зависит только от самих векторов $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$. Предположим, мы начали построение не с точки $ M$, а с другой точки $ M'$, построив $ N'$ и $ P'$; где гарантия, что полученный в результате вектор $ \overline{M'P'}$ будет равен вектору $ \overline{MP}$? Интуитивно ясно, что так оно и будет; вскоре мы увидим, как это доказать формально.

    Координаты суммы векторов очень просто выражаются через координаты слагаемых. Именно, по определению координат направленного отрезка (вектора) мы можем записать:

    $\displaystyle ($координаты $\displaystyle \overline{a})$ $\displaystyle = ($координаты точки $\displaystyle N) - ($координаты точки $\displaystyle M);$    
    $\displaystyle ($координаты $\displaystyle \overline{b})$ $\displaystyle = ($координаты точки $\displaystyle P) - ($координаты точки $\displaystyle N).$    

    Сложим эти два равенства. При этом координаты точки $ N$ сократятся, и получится вот что:

    \begin{multline*}
(\text{координаты $\overline{a}$})+(\text{координаты $\overline{b}$})={}\\
{}=(\text{координаты $P$})-(\text{координаты $M$}).
\end{multline*}

    В правой части стоит не что иное, как координаты вектора $ \overline{MP}$, то есть, по нашему определению, $ \overline{a}+\overline{b}$. Стало быть, координаты вектора $ \overline{a}+\overline{b}$ являются суммами координат векторов $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$. Запишем это же формулой:

    Если $ \overline{a_1}=(a_1;a_2)$, $ \overline{b}=(b_1;b_2)$, то $ \overline{a}+\overline{b}=(a_1+b_1;a_2+b_2)$.

    $\displaystyle (a_1;a_2)+(b_1;b_2)=(a_1+b_1;a_2+b_2).
$

    Эта формула показывает, в частности, что координаты вектора $ \overline{a}+\overline{b}$ зависят только от координат $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$, так что сумма векторов действительно не зависит от выбора точки $ M$, использованной на рис. 77 для ее построения.

    Итак, операция сложения векторов вполне соответствует своему названию: при сложении векторов координаты складываются. Из этого следует также, что сложение векторов подчиняется тем же законам, что и сложение чисел:

    $ \overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}$ (переместительность, или коммутативность);
    $ \overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})=(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}$ (сочетательность, или ассоциативность);
    $ \overline{a}+\overline{0}=\overline{a}$ (свойство нуля).

    Задача 0.6   Через точку $ O$, лежащую внутри параллелограмма $ ABCD$, проведены отрезки $ MN$ и $ PQ$, параллельные его сторонам (рис. 78а). Если от точки $ A$ отложить вектор $ \overline{a}=\overline{DN}+\overline{AP}+\overline{MB}+\overline{ON}$, где окажется конец этого вектора?

    Рис. 78:
    \begin{figure}\begin{tabular}{cc}
\epsfbox{t17.11}&
\epsfbox{t17.12}\\
а) & б)
\end{tabular}\end{figure}

    Задача 0.7   $ ABCDE$ - пятиугольник (рис. 78б). Найдите сумму векторов $ \overline{AD}+\overline{CE}+\overline{BC}+\overline{DB}$.

    Задача 0.8   На плоскости задана точка $ O$. Изобразите множество таких точек $ C$, что $ \overline{OC}=\overline{a}+\overline{b}$, где $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$ - всевозможные векторы, для которых: а) $ \vert\overline{a}\vert\leqslant 1$, $ \vert\overline{b}\vert\leqslant 2$; б) $ \vert\overline{a}\vert=1$, $ \vert\overline{b}\vert=2$.

    Рис. 79:
    \begin{figure}\epsfbox{t17.13}\end{figure}

    Если векторы $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$ неколлинеарны (непараллельны), то существует еще один способ построить их сумму. Именно, если отложить $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$ от точки $ O$ так, что $ \overline{OA}=\overline{a}$, $ \overline{OB}=\overline{b}$, то $ \overline{a}+\overline{b}=\overline{OC}$, где $ C$ - такая точка, что $ OACB$ - параллелограмм (рис. 79). В самом деле, $ \overline{OB} = \overline{AC}$, так что $ \overline{OC} =
\overline{OA}+\overline{AC} = \overline{OA}+\overline{AB} = \overline{a}+\overline{b}$, что и утверждалось. В старых учебниках это построение называлось ``сложение векторов по правилу параллелограмма''.

    0.3 Вычитание и умножение на число

    Раз уж мы умеем складывать векторы, давайте научимся их вычитать. Для начала найдем для вектора $ \overline{a}=\overline{MN}$ противоположный ему, то есть такой вектор $ -\overline{a}$, что $ \overline{a}+(-\overline{a}) =
\overline{0}$. Ясно, что

    Рис. 80: $ \overline{OA}-\overline{OB} = \overline{BA}$.
    \begin{figure}\epsfbox{t17.14}\end{figure}

    таковым будет вектор $ \overline{NM}$: ведь $ \overline{MN}+\overline{NM} = \overline{0}$. Таким образом, чтобы получить вектор, противоположный данному, надо просто поменять местами его конец и начало. Координаты $ \overline{a}=\overline{MN}$ получаются, если из координат $ N$ вычесть координаты $ M$, а координаты $ -\overline{a} = \overline{NM}$ - если из координат $ M$ вычесть координаты $ N$. Стало быть, координаты  $ -\overline{a}$ получаются из координат $ \overline{a}$ переменой знака.

    Что же до разности векторов $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$, то это, конечно, такой вектор $ \overline{c}$, что $ \overline{c} + \overline{b} = \overline{a}$ (вычитание - действие, обратное сложению). Разностью векторов $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$ будет, очевидно, вектор $ \overline{a}+(-\overline{b})=\overline{a} - \overline{b}$; ясно, что координаты разности векторов $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$ равны разности их координат. Если векторы $ \overline{a} = \overline{OA}$ и  $ \overline{b}=\overline{OB}$ отложены от одной точки $ O$, то $ \overline{a}-\overline{b}= \overline{BA}$ (так как $ \overline{OB}+\overline{BA}=\overline{OA}$). Подытожим:

    Если $ \overline{a}=\overline{MN}$, то $ -\overline{a} = \overline{NM}$. $ \overline{a}+(-\overline{a}) = 0$.
    Если $ \overline{a}=(a_1;a_2)$, то $ -\overline{a} = (-a_1;-a_2)$.
    $ \overline{a}-\overline{b}=\overline{a}+(-\overline{b})$; $ (\overline{a}-\overline{b})+\overline{b}=\overline{a}$.
    Если $ \overline{a}=(a_1;a_2)$, $ \overline{b}=(b_1;b_2)$, то $ \overline{a}-\overline{b}=(a_1-b_1;a_2-b_2)$.

    Разобравшись со сложением и вычитанием, перейдем к умножению. Из начальной школы мы помним, что перемножить натуральные числа $ a$ и $ b$ - это найти сумму $ b$ слагаемых, каждое из которых равно $ a$. Например, $ 5a = a + a + a + a + a$.

    Рассмотрим теперь не число $ a$, но вектор $ \overline{a}$. Для него также будет $ 5\overline{a}=\overline{a}+\overline{a}+\overline{a}+\overline{a}+\overline{a}$ (рис. 81).

    Рис. 81: $ \overline{MN}=\overline{a}$; $ \overline{PQ}=5\overline{a}$.
    \begin{figure}\epsfbox{t17.15}\end{figure}

    Мы видим, что вектор $ \overline{PQ}=5\overline{a}$ коллинеарен (параллелен) вектору $ \overline{a}$, что его длина в 5 раз больше длины $ \overline{a}$, и направлен он в ту же сторону, что и  $ \overline{a}$. Ясно также, что в качестве $ -5\overline{a}$ разумно взять вектор, противоположный вектору $ 5\overline{a}$.

    Итак, мы описали, что значит умножить вектор на число 5 или $ -5$. Число 5 можно заменить на любое другое. Тогда получится такое

    Определение. Произведением вектора $ \overline{a}\ne \overline{0}$ на число $ k\ne 0$ называется такой вектор $ \overline{b}$, что:

  • $ \vert\overline{b}\vert=\vert k\vert\cdot \vert\overline{a}\vert$;
  • $ \overline{b}$ коллинеарен $ \overline{a}$;
  • $ \overline{b}$ направлен в ту же сторону, что и  $ \overline{a}$, если $ k>0$, и в противоположную сторону, если $ k<0$.
  • Произведение вектора $ \overline{a}$ на число $ k$ обозначается $ k\overline{a}$. По определению полагаем $ k\overline{a}=\overline{0}$, если $ k=0$ или $ \overline{a}=\overline{0}$.

    Вектор $ k\overline{a}$ этим определением задается однозначно: условие 1 определяет его длину, а условия 2 и 3 - его направление.

    Чтобы определить формально, что такое ``коллинеарные векторы $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$ направлены в одну сторону'', отложим $ \overline{a} = \overline{OA}$ и  $ \overline{b}=\overline{OB}$ от одной точки $ O$. Тогда точки $ O$, $ A$ и $ B$ окажутся на одной прямой, и мы скажем, что $ \overline{a}$ и  $ \overline{b}$ направлены в противоположные стороны, если точка $ O$ лежит между $ A$ и $ B$, и в одну сторону - в противном случае.

    Посмотрим, как меняются координаты вектора при умножении его на число. Пусть мы умножаем вектор $ \overline{a}=\overline{AB}$ на число $ k$, получая в результате $ k\overline{a}=\overline{AB}$ (рис. 82а для случая $ k>0$ и рис. 82б для

    Рис. 82:
    \begin{figure}\begin{tabular}{cc}
\epsfbox{t17.16}&
\epsfbox{t17.17}\\
а) & б)
\end{tabular}\end{figure}

    случая $ k<0$). Проведем через концы отрезков $ AB$ и $ AB_1$ прямые, параллельные осям координат. Получающиеся прямоугольные треугольники $ ABM$ и $ AB_1M_1$ будут, очевидно, подобны. Коэффициент подобия равен, очевидно, $ AB_1/AB=\vert k\vert$; поэтому катеты треугольника $ AB_1M$ получаются из катетов треугольника $ ABM$ умножением на $ \vert k\vert$, и, стало быть, координаты вектора $ k\overline{a}$ получаются из координат вектора $ \overline{a}$ умножением на $ k$ (знаки совпадают, если $ k>0$, и противоположны, если $ k<0$). Запишем это формулой:

    Если $ \overline{a}=(a_1;a_2)$, то $ k\overline{a}=(ka_1;ka_2)$.
    Или: $ k(a_1;a_2)=(ka_1;ka_2).$

    Из этой формулы следует, что умножение вектора на число подчиняется законам, аналогичным законам умножения чисел:
    $ k\cdot(l\overline{a})=(k\cdot l)\overline{a}$ 0 (ассоциативность);
    $ \left.
\begin{aligned}
k(\overline{a}+\overline{b}) & = k\overline{a}+k\overli...
...} \\
(k+l)\overline{a} & = k\overline{a}+l\overline{a}
\end{aligned}\right\}
$ (распределительность, или дистрибутивность).

    Задача 0.9   Докажите эти законы для векторов.

    Обратите внимание, что у нас два различных распределительных закона. Так получилось потому, что сомножители неравноправны: один из них - число, другой - вектор. Наверное, было бы более естественно, если бы мы определили умножение вектора на вектор так, чтобы произведение тоже было вектором. Однако же для векторов на плоскости вообще невозможно геометрически определить такое умножение (если мы хотим, чтобы выполнялся распределительный закон). В следующем параграфе мы определим умножение вектора на вектор, но результат при этом будет не вектором, а числом.

    Действия над векторами позволяют дать еще одно объяснение того, что такое координаты вектора. Именно: пусть на плоскости задана система координат. Рассмотрим два вектора $ \overline{e}_1$ и  $ \overline{e}_2$, имеющие длину 1, параллельные осям абсцисс и ординат и направленные в сторону положительного направления этих осей. Эти векторы называются единичными координатными векторами. Очевидно, $ \overline{e}_1= (1;0)$, $ \overline{e}_2= (0;1)$. Рассмотрим теперь произвольный вектор $ \overline{a}=(a_1;a_2)$ и запишем такие равенства: $ \overline{a}=(a_1;a_2)=(a_1;0)+(0;a_2)=a_1\cdot(1;0)+a_2
\cdot(0;1)=a_1\overline{e}_1+a_2\overline{e}_2$. Как видите, координаты вектора $ \overline{a}$ - это коэффициенты, с помощью которых он выражается через единичные координатные векторы.

    Если $ \overline{e}_1$ и  $ \overline{e}_2$ - единичные координатные векторы, то вектор $ \overline{a}$ имеет координаты $ (a_1;a_2)$ тогда и только тогда, когда $ \overline{a}=a_1\overline{e}_1+a_2\overline{e}_2$.

    Задача 0.10   Даны векторы $ \overline{a}=(2; -1)$, $ \overline{b}=(1; -6)$, $ \overline{c}=(2;
24)$. Найдите такие числа $ x$ и $ y$, что $ \overline{c}=x\overline{a}+y\overline{b}$.

    0.4 О векторах в физике

    Многие физические величины представляют собой векторы. В самом деле, такие величины, как скорость, ускорение, сила, напряженность электрического поля, характеризуются не только величиной, но и направлением (если нам известно, из какого порта и с какой скоростью вышел корабль, то мы не можем сказать, где он будет через час, не зная направления его движения). Поэтому, например, скорость изображают в виде вектора, длина которого соответствует величине скорости, а направление указывает на направление движения. При этом формулировка многих физических законов использует те самые операции над векторами, которые мы только что определили. Простейший пример векторной величины в физике - это перемещение. Если тело, размерами и формой которого мы пренебрегаем, передвинулось из точки $ A$ в точку $ B$, то говорят, что перемещение нашего тела равно вектору $ \overline{AB}$ (если не пренебрегать размерами тела, то вектора для описания передвижения тела будет недостаточно: по дороге тело может и повернуться). Если тело сначала переместилось на вектор $ \overline{S}_1$, а затем на вектор $ \overline{S}_2$, то в результате его перемещение будет равно $ \overline{S}_1+\overline{S}_2$ (рис. 83а). Точно так же складываются перемещения, если тело совершило перемещение $ \overline{S}$ относительно платформы, которая за это время сама совершила относительно нас перемещение $ \overline{S}$: перемещение тела относительно нас будет равно $ \overline{S}_1+\overline{S}_2$ (рис. 83б).

    Рис. 83: Перемещение.
    \begin{figure}\begin{tabular}{cc}
\epsfbox{t17.18}&
\epsfbox{t17.19}\\
а) & б)
\end{tabular}\end{figure}

    Так как скорость - это перемещение за единицу времени, то скорость тоже является векторной величиной. Свойство перемещений, изображенное на рис. 83б, для скоростей будет выглядеть так: если платформа движется относительно нас со скоростью $ \overline{u}$, а тело движется относительно платформы со скоростью $ \overline{v}$, то относительно нас тело движется со скоростью $ \overline{u}+\overline{v}$.

    Задача 0.11   а) Скорость течения реки равна $ 5\,км/ч$, ширина реки равна $ 80\,м$, гребец в лодке развивает скорость $ 3\,км/ч$ относительно воды. Гребец переправляется через реку, направив лодку перпендикулярно берегу. На какое расстояние снесет лодку?

    б) Как надо направить лодку, чтобы ее снесло течением как можно меньше? На какое расстояние ее при этом снесет?

    Задача 0.12   Два корабля, находящиеся друг от друга на расстоянии 30 миль, движутся со скоростью 10 узлов   11 (каждый) курсами, указанными на рис. 84. На какое наименьшее расстояние они сблизятся? Через какое время после момента, показанного на рисунке, это произойдет?

    Рис. 84:
    \begin{figure}\epsfbox{t17.20}\end{figure}

    Указание. Перейдите в систему отсчета, связанную с одним из кораблей, и воспользуйтесь тем, что если одно тело движется со скоростью $ \overline{v}$, другое - со скоростью $ \overline{w}$, то второе тело движется относительно первого со скоростью $ \overline{w}-\overline{v}$.



       


    Написать комментарий
     Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования