Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
       
Next:   Тригонометрия для абитуриентов Up:   Формулы сложения и их Previous:   5 Преобразование произведения в сумму

6 Производные тригонометрических функций

Повторить:п. 1.4: малые углы;
п. 2.1: часы, или современный взгляд на тригонометрию;
п. 2.7: графики синуса и косинуса.

Для начала вспомним, что такое вообще производная.

Посмотрим на таблицу значений функции $ y=0{,}7x+0{,}4$:

\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert l\vert\vert c\vert c\vert c\vert c\vert ...
...2{,}5 & 3{,}2 & 3{,}9 & 4{,}6 & 5{,}3&& \\
\hline
\end{array}\end{displaymath}

Чтобы продолжить заполнение этой таблицы, не нужно даже подставлять $ x = 8$, $ x = 9$... в выражение $ 0{,}7x + 0{,}4$: достаточно заметить, что при увеличении $ x$ на $ 1$ значение $ y$ увеличивается на $ 0,7$. Это и не удивительно: ведь наша функция линейна, а у линейных функций одинаковым изменениям аргумента соответствуют одинаковые изменения функции.

Если, однако, функция линейной не является, то положение будет другим. Посмотрим, для тех же значений $ x$, на таблицу значений функции $ y=\sqrt{x}$ (приближенные значения даны с тремя знаками после запятой):

\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert l\vert\vert c\vert c\vert c\vert c\vert ...
... 1{,}732 & 2{,}000&2{,}234&2{,}449& & & \\
\hline
\end{array}\end{displaymath}

На сей раз при увеличении $ x$ на $ 1$ значение $ \sqrt x$ увеличивается то на $ 0{,}268$, то на $ 0{,}234$, то еще как-нибудь. Исходя только из этой таблицы, предсказать значение $ \sqrt7$ будет затруднительно. Возьмем, однако, значения $ x$ с меньшим шагом, скажем, отстоящие друг от друга на $ 0{,}01$:

\begin{displaymath}
\iffalse
\begin{array}{\vert l\vert\vert c\vert c\vert c\ver...
...0{,}990&0{,}995&
1{,}000&1{,}005&1{,}010\\
\hline
\end{array}\end{displaymath}

(значения $ \sqrt x$ вновь взяты с тремя знаками после запятой).

Чудесным образом вновь возникла та же ситуация, что была у нас с линейной функцией: при увеличении $ x$ на $ 0{,}01$ значение $ \sqrt x$ увеличивается всегда на $ 0{,}005$. Точные значения приращений друг другу все равно, конечно, не равны, но приближенно можно сказать, что при изменениях $ x$ на отрезке $ [0{,}95;1{,}02]$ функция $ y
=\sqrt x$ ведет себя как линейная функция.

Таким свойством обладает не только функция $ g(x)=\sqrt x$. Большинство интересных функций при изменении аргумента на малых промежутках ведут себя почти как линейные функции: равным изменениям аргумента соответствуют приближенно равные изменения функции. По-ученому такие функции называются ``дифференцируемыми'' или ``гладкими''.

В эпоху, предшествовавшую распространению калькуляторов и компьютеров, этим свойством пользовались при нахождении значений функций с помощью таблиц. Если, допустим, в таблице были приближенные значения для $ \sqrt{1{,}93}$ и  $ \sqrt{1{,}94}$, а требовалось найти $ \sqrt{1{,}931}$, то поступали так: к табличному значению $ \sqrt{1{,}93}$ прибавляли одну десятую от разности приведенных в таблице значений $ \sqrt{1{,}94}$ и $ \sqrt{1{,}93}$, как если бы функция $ y
=\sqrt x$ на отрезке $ [1{,}93;1{,}94]$ была линейна. Такой способ обращения с таблицами назывался линейной интерполяцией.

Давайте выразим то, что мы узнали про функцию $ y
=\sqrt x$, с помощью формулы. Если $ x$ близко к $ 1$, то при увеличении $ x$ на $ 0{,}01$ значение $ x$ увеличивается примерно на $ 0{,}005$, т.е. на в два раза меньшую величину. Если $ x$ отстоит от $ 1$ на малую величину $ h$, то $ \sqrt x$ отстоит от $ 1$ примерно на $ h/2$. Стало быть, для малых $ h$ верна приближенная формула $ \sqrt{1+h}\approx1 +\dfrac h2$.

Рассмотрим теперь вместо $ y
=\sqrt x$ произвольную ``достаточно хорошую'' функцию $ y = f(x)$ и число $ a$ из ее области определения. При $ x$, близких к $ a$, изменения значений $ f(x)$ приблизительно пропорциональны изменениям значений $ x$. Обозначим коэффициент пропорциональности буквой $ c$; тогда если $ x$ отстоит от $ a$ на малую величину $ h$, то $ f(x)$ отстоит от $ f(a)$ приблизительно на $ ch$, так что $ f(a+h)\approx f(a) + ch$.

Если при малых $ h$ верна приближенная формула $ f(a+h)\approx f(a)
+ ch\binoppenalty 10000 $, то число $ c$ называется производной функции $ f$ в точке $ a$. Производная функции $ f$ в точке $ a$ обозначается $ f'(a)$.

Результат наших экспериментов над функцией $ y
=\sqrt x$ можно теперь записать так: производная функции $ y
=\sqrt x$ в точке $ 1$ равна $ 1/2$.

Как искать производные функций, не обращаясь к таблицам их значений? Рассмотрим произвольную функцию $ y = f(x)$. Из приближенной формулы $ f(a+h)\approx f(a) + ch$ число $ c = f (a)$ выражается так:

$\displaystyle f(a) \approx \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$

Чем меньше $ a$, тем эта формула точнее. Стало быть,

$ f'(a)$ - это число, к которому приближается отношение

$\displaystyle \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}
$

при $ h$, приближающемся к нулю.

Говоря по-ученому, $ f(a)$ равна ``пределу $ \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ при $ h$, стремящемся к нулю''. Еще раз повторим, что этот предел может не существовать, но он существует для большинства интересных функций (и в большинстве точек).

Вот как можно найти этим способом производную функции $ f(x) =
x^3$. Чтобы найти ее производную в точке $ a$, надо узнать, к чему приближается отношение $ \dfrac{(a+h)^3-a^3}h$ при приближении $ h$ к нулю. После упрощений с использованием формулы куба суммы это выражение примет вид $ 3a^2 + 3ah + h^2$. Ясно, что при стремлении $ h$ к нулю это выражение приближается к $ 3a^2$, так что $ f'(a) =
3a^2$, если $ f(x) =
x^3$.

Теперь найдем производную функции $ y
=\sqrt x$. Чтобы найти эту производную в точке $ a$, надо узнать, к чему приближается отношение $ \dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt a}{h}$ при приближении $ h$ к нулю. Для этого обозначим $ \sqrt a$ через $ b$, $ \sqrt{a+h}-\sqrt
a$ через $ t$; тогда $ \sqrt{a+h}$ будет равен $ b+t$; запишем еще число $ h$ в виде

$\displaystyle h = (a+h)-a = (\sqrt{a+h})^2 - (\sqrt a)^2=(b+t)^2 -b^2.
$

Тогда получается:

$\displaystyle \frac{\sqrt{a+h}-\sqrt a}h=\frac t{(b+t)^2-b^2}=
\frac t{2bt-b^2}=\frac1{2b-t}.
$

Когда $ h$ приближается к нулю, число $ t=\sqrt{a+h}-\sqrt a$ тоже приближается к нулю, так что $ \dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt a}h$ приближается к  $ 1/2h=1/2\sqrt a$. Стало быть, производная функции $ y
=\sqrt x$ в точке $ a$ равна $ 1/2\sqrt a$. При $ a =1$ получается $ 1/2$, что согласуется с результатами нашего эксперимента.

Более подробно о производной вы прочитаете в книжках, посвященных основам анализа. Мы же еще напомним только, как производная связана с графиками функций.

Рассмотрим на графике функции $ y = f(x)$ секущую, соединяющую точки $ (a; f(a))$ и  $ (a+h; f(a+h))$ (рис. 100). Если $ \varphi$ - угол наклона

Рис. 100:
\begin{figure}\epsfbox{t23.1}\end{figure}

этой секущей к оси абсцисс, то из треугольника $ PQR$ имеем $ \dfrac{f(a+h) - f(a)}h=\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi $. Когда $ h$ уменьшается до нуля, точка $ R(a+h;f(a+h))$ сливается с точкой $ P(a;f(a))$, секущая $ PR$ превращается в касательную к графику в точке $ P$, а отношение $ \dfrac{f(a+h) - f(a)}h$ превращается в $ f(a)$. Стало быть:

производная функции $ y = f(x)$ в точке $ a$ равна тангенсу угла между касательной к графику функции в точке $ (a; f(a))$ и осью абсцисс.

Теперь перейдем к производным синуса и косинуса. Первое, что тут надо сказать, - это что производную функции $ y =\cos x$ мы уже вычисляли. В самом деле, в п. 2.1, где шла речь о наших фирменных часах, мы вычисляли скорость движения проекции конца стрелки на ось абсцисс. Для этого мы делили путь, пройденный этой проекцией за малое время $ \tau$, на само $ \tau$, то есть вычисляли (для малых $ \tau$) отношение $ \dfrac{\cos(t+\tau)-\cos
t}\tau$. С точностью до обозначений это то же отношение, что используется для вычисления производной. Как мы выяснили в п. 2.1, при уменьшении $ \tau$ это отношение стремится к $ -\sin t$, так что производная функции $ y =\cos x$ в точке $ t$ равна $ -\sin t$, или, короче: $ (\cos x)' = -\sin x$. Рассуждая аналогичным образом, но рассматривая проекцию на ось ординат, а не абсцисс, можно было бы установить, что $ (\sin x)'=\cos x$. Однако рассуждения в п. 2.1 были не слишком аккуратными: по ходу дела мы заменяли длину дуги на длину хорды, считали перпендикулярными прямые, которые перпендикулярными не являются, и тому подобное. Поэтому мы сейчас подсчитаем производные синуса и косинуса другим способом.

Начнем с того, что подсчитаем производную от синуса в точке 0. Согласно определению, для этого надо узнать, к чему приближается отношение

$\displaystyle \dfrac{\sin(0+h)-\sin h}h=\dfrac{\sin h}h,
$

когда $ h$ приближается к нулю. Если вспомнить, что для малых $ h$ есть приближенная формула $ \sin h\approx h$, то естественно предположить, что это отношение будет приближаться к $ 1$. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что для всех $ h$ от 0 до $ \pi/2$ верны неравенства $ \sin h < h$ и  $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits h > h$. Из первого неравенства следует, что $ \sin h/h<1$, а из неравенства $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits h > h$ (т.е. $ \sin h/\cos h> h$) получаем, что $ \sin h/h >\cos h$. Итак, отношение $ \sin h/h$ заключено между единицей и числом $ \cos h$, которое при стремлении $ h$ к нулю также приближается к единице. Стало быть, и отношению $ \sin h/h$ при приближении $ h$ к нулю ничего не остается, как приближаться к единице. Итак, в точке 0 производная синуса равна единице.

Теперь можно найти производную функции $ y =\sin x$ в любой точке $ a$. Для этого сделаем такие преобразования:

$\displaystyle \frac{\sin(a+h)-\sin a}h=
\frac{2\sin \frac h2\cos\left(a+\frac h...
...)}{h}
=\biggl(\frac{\sin\frac h2}{h/2}\cdot
\cos\Bigl(a+\frac h2\Bigr)\biggr).
$

Когда $ h$ приближается к нулю, величина $ h/2$ также приближается к нулю. Поэтому первый сомножитель, как мы только что установили, приближается к единице, а второй приближается к $ \cos a$, так что значение всего выражения приближается к $ \cos a$. Итак, производная функции $ \sin x$ в точке $ a$ равна $ \cos x$, или:

$\displaystyle (\sin x)' =\cos x.\index{Синус!производная}
$

Производную функции $ y =\cos x$ можно найти с помощью аналогичных выкладок, преобразуя разность в произведение. Для разнообразия поступим иначе: воспользуемся тем, что $ \cos x
=\sin\left(\dfrac\pi2+x\right)$. Тогда производная косинуса в точке $ a$ будет вычисляться так:

$\displaystyle \frac{\cos(a+h)-\cos a}h=
\frac{\sin\left(\frac\pi2+a+h\right)-\sin\left(\frac\pi2+a\right)}h;
$

при стремлении $ h$ к нулю это последнее выражение стремится, очевидно, к производной функции синус в точке $ \dfrac\pi2+a$, равной, как мы только что вычислили, $ \cos\Bigl(\dfrac\pi2
+a\Bigr)$. Так как $ \cos\Bigl(\dfrac\pi2 +a\Bigr) = -\sin a$, получаем окончательно, что производная функции $ y =\cos x$ в точке $ a$ равна $ -\sin a$, или:

$\displaystyle (\cos x)' = -\sin x.
$

Наше рассуждение, сводящее вычисление производной косинуса к производной синуса, имеет простой геометрический смысл. В самом деле, как мы помним из п. 2.7, график функции $ y =\cos x$ получается из графика функции $ y =\sin x$ параллельным переносом на $ -\dfrac\pi2$ вдоль оси абсцисс; стало быть, и касательная к графику $ y =\cos x$ в точке с абсциссой $ a$ получается параллельным переносом из касательной к графику $ y =\sin x$ в точке с абсциссой $ a+\dfrac\pi2$ (рис. 101).

Рис. 101:
\begin{figure}\epsfbox{t23.2}\end{figure}

Эти две прямые образуют, очевидно, равные углы с осью абсцисс; однако тангенс угла наклона пунктирной прямой равен производной синуса в точке $ a+\dfrac\pi2$, то есть равен $ \cos\bigl(a+\dfrac\pi2\bigr)$ или $ -\sin a$. Значит, таков же и тангенс угла наклона сплошной прямой, равный производной косинуса в точке $ a$.

Теперь, когда мы нашли производные синуса и косинуса в любой точке $ a$, мы можем выписать приближенные формулы, пригодные при малых $ h$:

$\displaystyle \sin(a+h)\approx \sin a+h\cos a; \qquad
\cos(a+h)\approx \cos a-h\sin a.
$

Однако, чтобы иметь возможность ими пользоваться, необходимо знать их погрешность. Выясним это.

Начнем опять со случая, когда $ a = 0$. Тогда формулы принимают вид $ \sin h\approx h$, $ \cos h\approx 1$. Для малых $ h$ значение $ \cos h$ положительно, так что можно записать $ \cos h
=\sqrt{1-\sin^2h}$. С другой стороны, если $ 0\leqslant h\leqslant
\dfrac\pi2$, то $ \sin h\leqslant h$. Отсюда

$\displaystyle \cos h =\sqrt{1-\sin^2 h}\geqslant\sqrt{1-h^2}
\geqslant{1-h^2}
$

(последнее - так как $ \sqrt x\geqslant x$ при $ 0\leqslant
x\leqslant 1$). Стало быть, $ 1-\cos h\leqslant h^2$, то есть погрешность формулы $ \cos h\approx 1$ не превосходит $ h^2$. Чтобы оценить погрешность формулы $ \sin h\approx h$, снова воспользуемся неравенствами $ \sin h\leqslant h\leqslant \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits h$:

$\displaystyle h-\sin h$ $\displaystyle \leqslant \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits h-\sin h= \frac{\sin h}{\cos h} -\sin h =\sin h\Bigl(\frac1{\cos h}-1\Bigr)\leqslant$    
  $\displaystyle \leqslant h\Bigl(\frac1{1-h^2}-1\Bigr)$    

(мы заменили $ \sin h$ и  $ \frac1{\cos h}$ на большие числа $ h$ и $ \frac1{1-h^2}$ соответственно). Далее, $ h\bigl(\frac1{1-h^2}-1\bigr) =\frac{h^3}{1-h^2}$. Если $ h\leqslant0{,}1$, то $ 1-h^2\geqslant 0{,}99$, $ \frac1{1-h^2}\leqslant 1{,}02$, и  $ h-\sin h\leqslant 1{,}02h^3$, так что при малых $ \vert h\vert\leqslant 0{,}1$ погрешность формулы $ \sin h\approx h$ не превосходит $ 1{,}02\vert h\vert^2$.

Теперь можно оценить погрешность формулы

$\displaystyle \sin(a+h)\approx \sin a+h\cos a.
$

Чтобы это сделать, заметим, что погрешность равна

$\displaystyle \sin a+h\cos a-\sin(a+h),
$

и раскроем $ \sin(a+h)$ по формуле синуса суммы:

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\sin a+h\cos a-\sin(a+h)={}\\
\qquad{}=\s...
...cos a(h-\sin h)\leqslant h^2\sin a
+ 1{,}02h \cos a
\end{array}\end{displaymath}

(мы молчаливо предполагаем, что $ 0\leqslant
a\leqslant\dfrac\pi2$, так что $ \sin a$ и $ \cos a$ неотрицательны; с помощью формул приведения к этому сводятся любые приближенные вычисления синуса и косинуса). Если еще немного уменьшить $ h$ (например, если считать, что $ h\leqslant
0{,}09$), то будет выполнено неравенство $ 1{,}02h^3< h^2$, и нашу погрешность можно далее оценить так:

$\displaystyle h^2\sin a + 1{,}02h^3\cos a \leqslant
h^2 \sin a + h^2\cos a \leqslant
h^2+h^2=2h^2.
$

Стало быть, погрешность формулы $ \sin(a+h)\leqslant \sin a +
h\cos a$ не превосходит $ 2h^2$ (при $ 0\leqslant
a\leqslant\dfrac\pi2$ и  $ 0 \leqslant h \leqslant 0{,}09$). Например, если $ h = 0{,}01$, то погрешность не превосходит $ 0{,}0002$, так что при пользовании формулой $ \sin(a+h)\approx \sin a+h\cos a$ три знака после запятой будут верны.

Результат, который мы получили, - иллюстрация общего факта: если $ f$ - ``достаточно хорошая'' гладкая функция, то для малых $ h$ погрешность приближенной формулы $ f(a+h)\approx
f(a)+hf'(a)$ не превосходит $ Mh^2$ для некоторого числа $ M$, не зависящего от $ h$.

Задача 6.1   Докажите, что погрешность приближенной формулы $ \cos(a+h)\approx
\cos a-h\sin a$ также не превосходит $ 2h^2$ при всех достаточно малых $ h$. Укажите какую-нибудь конкретную границу для $ h$, наподобие $ 0 \leqslant h \leqslant 0{,}09$ в нашей формуле для синуса (не стремитесь найти наиболее экономную).

Мы ничего не говорили о производных тангенса и котангенса. Они легко находятся из формул для производных синуса и косинуса и следующей формулы для производной частного:

$\displaystyle \biggl(\frac{f(x)}{g(x)}\biggr)'=
\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g(x)^2}.
$

Применяя эту формулу к  $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x=\sin x/\cos x$, получим:

$\displaystyle (\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x)'=\Bigl(\frac{\sin x}{\cos x}\Bi...
...os x)^2}.
\index{Тангенс!производная}\index{Производная!тангенса
и котангенса}
$

Задача 6.2   Докажите, что $ (\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x)' =
-\dfrac1{\sin^2x}$.

В заключение покажем, как искать производные от обратных тригонометрических функций. Найдем, например, производную от функции $ y =\arcsin
x$. Пусть мы ищем эту производную в точке $ a$. Составим отношение $ \dfrac{\arcsin(a+h)-\arcsin a}h$ и обозначим $ \arcsin a = b$, $ \arcsin(a+h)-\arcsin a = t$; тогда $ \arcsin(a+h) = b+t$, поэтому $ h = (a+h)-a =\sin(b+t)-\sin b$, так что

$\displaystyle \frac{\arcsin(a+h)-\arcsin a}h=\frac t{\sin(b+t)-\sin b}.
$

Когда $ h$ приближается к нулю, $ t$ тоже приближается к нулю; величина, обратная к нашему отношению, стремится к производной синуса в точке $ b$, то есть к $ \cos b$, а само отношение стремится к $ 1/\cos b$; так как $ b =\arcsin a\in
\Bigl[-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\Bigr]$, то

$\displaystyle \cos b=\sqrt{1-\sin^2b}=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin a)}=\sqrt{1-a^2},
$

так что производная в точке $ a$ равна $ 1/\sqrt{1-a^2}$. Итак:

$\displaystyle (\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}.
$

Задача 6.3   Докажите формулы: а) $ (\arccos x)'=-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$;
б)  $ (\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits
x)'=\dfrac1{1+
x^2}$.

Способ, которым мы нашли производную арксинуса, аналогичен способу, с помощью которого мы нашли производную функции $ y
=\sqrt x$. Если известна производная от какой-то функции, то таким способом можно найти производную от обратной к ней (функции $ y
=\sqrt x$ и  $ y =\arcsin
x$ обратны к функциям $ y = x^2$ и $ y =\sin x$ соответственно).


       


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования