Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   BOAI: наука должна быть открытой Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
       
Next:   7 Графики синуса и косинуса Up:   Начальные свойства тригонометрических функций Previous:   5 Формулы приведения

6 Простейшие тригонометрические уравнения

Будем учиться решать тригонометрические уравнения. Начнем с самого простого: уравнения $ \sin x=1$. Мы помним, что $ \sin x$ - ордината точки $ x$ на тригонометрической окружности. На ней есть только одна точка с ординатой $ 1$ - точка $ M$ на рис. 36а.

Рис. 36: Простейшие уравнения.
\begin{figure}\begin{tabular}{cc}
\epsfbox{t10.1}&
\epsfbox{t10.2}\\
а) & б)
\end{tabular}\end{figure}

Одно из чисел, соответствующих точке $ M$, - это число $ \pi/2$. Кроме $ \pi/2$ этой точке соответствуют, очевидно, все числа вида $ \pi/2+2\pi n$, где $ n$ - целое число, и только они. Вместо ``$ n$ - целое число'' принято писать `` $ n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$'' (буквальный перевод: ``$ n$ принадлежит множеству всех целых чисел, обозначаемому $ \ensuremath{\mathbb{Z}}$''). Итак, решения уравнения $ \sin x=1$ можно записать так: $ x=\pi/2+2\pi n, n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$. Можно записать решения этого уравнения и в виде множества:

$\displaystyle \left\{\,\frac{\pi}{2}+2\pi n;\qquad n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}\,\right\}.
$

Можно, наконец, написать так:

   Ответ: $\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n;\qquad n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}.
$

Решим еще уравнение $ \cos x=0$. Так как $ \cos x$ - абсцисса точки, соответствующей $ x$, на тригонометрическом круге числу $ x$ могут соответствовать точки $ M$ и $ N$ (рис. 36б), и только они. Точке $ M$, как мы только что выяснили, соответствуют числа вида $ \pi/2+2\pi n, n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$. Точке $ N$ соответствует, в частности, число $ -\pi/2$, а значит, и все числа вида $ -\pi/2+2\pi m$ ( $ m\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$).

Рис. 37: Простейшие уравнения: систематизация

Можно записать оба эти множества чисел одной формулой, а именно $ x=\pi/2\pi n$ ( $ n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$). Убедитесь, что эта формула дает в точности все числа, которым соответствует точка $ M$ или $ N$ на рис 36б.

Решения этих и аналогичных тригонометрических уравнений изображены на рис. 37.

Рис. 38:

Прежде чем читать дальше, убедитесь, что решения уравнений на рис 37 соответствуют рисункам.

Теперь займемся уравнениями посложнее. Решим уравнение $ \sin x=1/2$. Сначала мы опять-таки найдем не сами решения, а соответствующие им точки на тригонометрическом круге. Это - точки с ординатой $ 1/2$, их, очевидно, две (точки $ M_1$ и $ M_2$ на рис. 38).

Выясним, какие числа соответствуют этим точкам. Точка $ M_1$ соответствует (в частности) числу $ \pi/6$ ($ \pi/6$ радиан - это $ 30^\circ $, $ \sin 30^\circ=1/2$), а точка $ M_2$ - числу $ \pi-\pi/6=5\pi/6$ (чтобы пройти путь от начала отсчета $ O$ до точки $ M_2$, можно сначала пройти в положительном направлении расстояние $ \pi $ до точки $ S$, а затем вернуться из $ S$ в $ M_2$, пройдя расстояние $ \pi/6$ - дуги $ SM_2$ и $ OM_1$ равны). Числа, соответствующие точке $ M_1$, имеют вид $ \pi/6+2\pi n$, а числа, соответствующие точке $ M_2$, имеют вид $ \binoppenalty
10000 5\pi/6+2\pi n$ $ (n\in\nobreak\ensuremath{\mathbb{Z}})$. Итак, ответ к уравнению $ \sin x=1/2$ готов:

$\displaystyle x$ $\displaystyle = \pi/6 + 2\pi n;$    
$\displaystyle x$ $\displaystyle = 5\pi/6 a + 2\pi n\qquad (n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}).$    

С уравнением $ \sin x=1/2$ нам повезло в том отношении, что мы смогли явно указать число, синус которого равен $ 1/2$. Чтобы решить уравнение $ \sin x=a$ для произвольного $ a$, нам нужно как-то обозначить число, синус которого равен $ a$. При этом, если такие числа есть, то их много, так что нужно еще выбрать из них одно. Эти проблемы принято решать следующим образом:

Рис. 39: Арксинус.
\begin{figure}\epsfbox{t10.5}\end{figure}

Рис. 40: Уравнение $ \sin x=a$.
\begin{figure}\epsfbox{t10.6}\end{figure}

Определение. Арксинусом числа $ a$ называется такое число $ x$, что $ \sin x=a$ и $ -\pi/2\leqslant x\leqslant \pi/2$. Это число обозначается $ \arcsin a$.

Из рис. 39 видно, что $ \arcsin a$ существует и однозначно определен, если $ -1\leqslant a\leqslant 1$. Если $ \vert a\vert>1$ (то есть $ a>1$ или $ a<-1$), то $ \arcsin a$ не определен, поскольку $ \sin x$ не бывает больше 1 или меньше $ -1$. Теперь мы можем записать в общем виде решения уравнения $ \sin x=a$. Будем для начала считать, что $ -1<a<1$. Тогда на тригонометрической окружности есть две точки с ординатой $ a$ (рис. 40).

Точка $ M_1$ соответствует, очевидно, числу $ \arcsin a$ (а также числам, отличающимся от него на кратные $ 2\pi $). Точка $ M_2$ соответствует числу $ \pi-\arcsin a$ (вспомните уравнение $ \sin x=1/2$, а также формулу приведения $ \sin(\pi-x)=\sin x$). Все числа, соответствующие этим двум точкам, - это числа $ \arcsin
a+2\pi n$ и  $ \pi-\arcsin a+2\pi n$ ( $ n\in\ensuremath{\mathbb{Z}})$. Стало быть, при $ \vert a\vert<1$ ответ к уравнению $ \sin x=a$ таков:

\begin{displaymath}\begin{aligned}x & = \arcsin a + 2\pi n;\\  x & = \pi -\arcsin a + 2\pi n\qquad (n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}). \end{aligned}\end{displaymath}

Когда $ a$ приближается к 1, две точки с ординатой $ a$ на тригонометрической окружности приближаются друг к дружке, а когда $ a$ становится равным 1, они сливаются. Сливаются в одну и две ``серии'' решений уравнения $ \sin x=a$: каждая из двух формул переходит в знакомую нам  $ \pi/2+2\pi n$. Если же $ a>1$ (или $ a<-1$), то уравнение $ \sin x=a$ не имеет решений: точек с соответствующей ординатой на тригонометрической окружности просто нет.

Это напоминает положение дел с уравнением $ x^2=a$: если $ a>0$, то корня два; когда $ a$ приближается к нулю, эти корни приближаются друг к другу, когда $ a=0$, два корня сливаются в один, а когда $ a$ отрицательно, то корней у уравнения $ x^2=a$ нет. Если, однако, рассматривать наряду с обычными еще и так называемые ``комплексные числа'', то окажется, что при $ a<0$ у уравнения $ x^2=a$ тоже есть два корня, но только комплексных. Аналогичным образом у уравнения $ \sin x=a$ при $ a>1$ есть решения, являющиеся комплексными числами. Об этом у нас пойдет речь в главе 6.

Решения уравнения $ \sin x=a$ можно записать и одной формулой:

$\displaystyle x=(-1)^n\arcsin a+\pi n, n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}.$ (2)

Проверьте, что формула (2) дает другую запись того же ответа, что и формула (1) (для этого полезно отдельно разобрать случай четных $ n$, когда $ (-1)^n=1$, и нечетных $ n$, когда $ (-1)^n=-1$).

Запись ответа к уравнению $ \sin x=a$ в виде (2) удобна, если ничего, кроме ответа, от нас не требуется. Если же нужен дальнейший анализ решений (как, например, в задаче 0.54 в конце параграфа), то запись (1) (в виде двух ``серий'') удобнее.

Разберемся теперь с уравнением $ \cos x=a$. Для записи его решений используется функция арккосинус.

Определение. Арккосинусом числа $ a$ называется такое число $ x$, что $ \cos x=a$ и $ 0\leqslant x\leqslant \pi $. Это число обозначается $ \arccos a$.

Рис. 41: Арккосинус.
\begin{figure}\epsfbox{t10.7}\end{figure}

Из рисунка 41 видно, что $ \arccos a$ существует и однозначно определен, если $ -1\leqslant a\leqslant 1$, и не определен, если $ a>1$.

Теперь запишем решения уравнения $ \cos x=a$. Опять будем сначала считать, что $ -1<a<1$. Решениям этого уравнения соответствуют точки с абсциссой $ a$ на тригонометрической окружности (рис. 42). Точка $ M_1$ соответствует числу $ \arccos a$, а точка $ M_2$ - числу $ -\arccos a$ (вспомните формулу $ \cos(-x)=\cos x$). Вспоминая, что числа, отличающиеся на кратные $ 2\pi $, соответствуют одной и той же точке, получаем, что при $ \vert a\vert<1$ ответ к уравнению $ \cos x=a$ таков:

$\displaystyle x$ $\displaystyle = \arccos a+2\pi n;$    
$\displaystyle x$ $\displaystyle = -\arccos a+2\pi n\qquad (n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}).$    

Рис. 42: Уравнение $ \cos x=a$.
\begin{figure}\epsfbox{t10.8}\end{figure}

Если $ a=1$ или $ -1$, этот ответ тоже верен, причем обе ``серии'' сливаются в одну (т.е. одни и те же значения $ x$ встречаются в обеих сериях); впрочем, при этих значениях $ a$ пользоваться общими формулами неразумно. Если же $ a>1$, то уравнение $ \cos x=a$ не имеет решений.

Часто решения уравнения $ \cos x=a$ кратко записывают так:

$\displaystyle x=\pm\arccos a+2\pi n, n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}.
$

Эта запись имеет те же преимущества и недостатки, что и запись решений уравнения $ \sin x=a$ с помощью одной формулы.

Для записи решений уравнения $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x=a$ используется функция арктангенс.

Определение. Арктангенсом числа $ a$ называется такое число $ x$, что $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x=a$ и $ -\pi/2<x<\pi/2$. Это число обозначается $ \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits a$.

Из рис. 43 видно, что $ \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits a$ существует и однозначно определен для всех $ a$.

Теперь решим уравнение $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x=a$. Очевидно, что оно имеет решения для всех $ a$ и что его решения - числа, соответствующие

Рис. 43: Арктангенс.
\begin{figure}\epsfbox{t10.9}\end{figure}

точкам $ M_1$ и $ M_2$ на рис. 43. Точке $ M_1$, очевидно, соответствуют числа $ \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits a+2\pi n$, а точке $ M_2$ - числа $ (\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits a+\pi)+2\pi k$ (если нанести на тригонометрическую окружность числа, отличающиеся на $ \pi $, то получатся две диаметрально противоположные точки). Получилось две серии решений. Проще, однако, ответ записать так:

$\displaystyle x=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits a+\pi n \qquad (n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}).
$

Эта запись дает верный ответ, так как при четных $ n$ получается точка $ M_1$, а при нечетных - точка $ M_2$. Впрочем, это также следует из того, что период тангенса равен $ \pi $.

Осталось еще сказать про уравнение $ \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x=a$. Для его решения используется малоупотребительная функция арккотангенс.

Определение. Арккотангенсом числа $ a$ называется такое число $ x$, что $ \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x=a$ и $ 0<x<\pi$. Обозначается это число $ \mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits a$.

Арккотангенс, как и арктангенс, определен для всех чисел и связан с арктангенсом простой формулой (см. задачу 0.49).

Решениями уравнения $ \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x=a$ являются числа $ x=\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits a+\pi n$, $ n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$.

Задача 6.1   Заполните таблицы:

\begin{displaymath}\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert...
...& & \\ \hline \arccos a & & & & & & & & & \\ \hline \end{array}\end{displaymath}    
\begin{displaymath}\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert...
...{\mathrm{arcctg}}\nolimits a & & & & & & &\\ \hline \end{array}\end{displaymath}    

Задача 6.2   Решите уравнения:

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
\sin 2x=\dfrac{1}{2};
&\sin\left(3x-\dfrac...
...mathrm{ctg}}\nolimits \left(\dfrac{x}{2}\right)=-1.
\end{array}\end{displaymath}

Задача 6.3   Решите уравнения:

$\displaystyle \begin{tabular}{ll}
а) $\sin x=\dfrac{1-\sqrt{5} }{2}$;
&б) $\sin...
...mallskipamount]
л) $\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x=4-\sqrt{7}$.
\end{tabular}$

Задача 6.4   Решите уравнения:

$\displaystyle \begin{tabular}{lll}
а) $\arcsin x =\pi/6$;
&б) $\arcsin x=5\pi/6$; &в) $\arccos x=5\pi/6$.
\end{tabular}$

Задача 6.5   Докажите формулы:

$\displaystyle \begin{tabular}{ll}
а) $\arcsin(-x)=-\arcsin x$;
& б) $\arccos(-x...
...rctg}}\nolimits x+\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits x=\pi/2$.\\
\end{tabular}$

Задача 6.6   Постройте графики функций:

$\displaystyle \begin{tabular}{ll}
а) $y=\sin(\arcsin x)$;
& б) $y=\cos(\arccos ...
...mathrm{tg}}\nolimits (\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x)$.& \\
\end{tabular}$

Задача 6.7   Упростите выражения:

$\displaystyle \begin{tabular}{ll}
а) $\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \Bigl(\m...
...mits 8)$;
& г) $\arccos(\cos 11)$;\\  [1pt]
д) $\arccos(\sin11)$.
\end{tabular}$

Задача 6.8   Для каких $ x$ верны равенства:

$\displaystyle \begin{tabular}{ll}
а) $\arcsin\sqrt{1-x^2}=\arccos x$;
& б) $\ma...
...its x$;\\
в) $\arcsin(\sin x)=x$;
& г) $\sin(\arcsin x)=x$.\\
\end{tabular}$

Задача 6.9   Упростите выражения:

$\displaystyle \begin{tabular}{ll}
а) $\sin\Bigl(\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimit...
...amount]
д) $\cos\biggl(\arcsin\Bigl(-\dfrac{1}{3}\Bigr)\biggr)$.
\end{tabular}$

Задача 6.10   а) Сколько решений уравнения $ \sin x=1/2$ лежит на отрезке $ [0;10\pi]$?

б) Сколько решений уравнения $ \sin x=1/3$ лежит на отрезке $ [0;100\pi]$?

в) Найдите сумму решений уравнения $ \sin x=-\sqrt{2}/2$, лежащих на отрезке $ [0;64\pi]$.


       


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования