Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посмотрите новые поступления ... Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
       
Next:   3 Простейшие формулы Up:   Начальные свойства тригонометрических функций Previous:   1 Часы, или современный

Subsections


2 Определение тригонометрических функций

В этом параграфе мы аккуратно сформулируем определения тригонометрических функций.

Для этого введем на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим окружность радиуса $ 1$ с центром в начале координат (рис. 24а).

Рис. 24:
\begin{figure}\begin{tabular}{cc}
\epsfbox{t06.1}& \epsfbox{t06.2}\\
а) & б)
\end{tabular}\end{figure}

Такой чертеж принято называть тригонометрическим кругом (или тригонометрической окружностью). Точку с координатами $ (1;0)$, лежащую на этой окружности, будем называть началом отсчета или точкой ноль (не путайте с началом координат!). Направление движения против часовой стрелки будем называть положительным направлением (рис. 24б).

Тригонометрическая окружность служит для того, чтобы наносить на нее числа. Это делается так. Пусть у нас есть число $ t$. Начав с начала отсчета, пройдем по тригонометрической окружности путь длиной $ \vert t\vert$ : если $ t>0$ - в положительном направлении, если $ t<0$ - в отрицательном (возможно, нам придется при этом несколько раз пройти по одному и тому же месту). Точка, в которой мы остановились, и есть точка на окружности, соответствующая числу $ t$.

По-другому точку на окружности, соответствующую числу $ t$, можно себе представить как второй конец намотанной на окружность нерастяжимой нити длины $ \vert t\vert$, один конец которой закреплен в начале отсчета, или как положение стрелки часов, о которых мы говорили в предыдущем параграфе, в момент $ t$.

Рис. 25:
\begin{figure}\epsfbox{t06.3}\end{figure}

На рис. 25 отмечено, какая точка соответствует числу $ \dfrac\pi2 $ (длина дуги от 0 до этой точки составляет как раз $ 1/4$ всей длины окружности, т.е. $ 2\pi/4=\pi/2$). Впрочем, в ту же точку попадут и числа $ \dfrac\pi2 +2\pi$, $ \dfrac\pi2 -2\pi$, $ \dfrac\pi2 +4\pi$ - при движении по окружности мы сделаем один или несколько лишних кругов, но остановимся все в той же точке.

Задача 2.1   Нанесите на тригонометрический круг числа $ 3\pi/2$, $ \pi/4$, $ -\pi/4$, $ -\pi/2$, $ -7\pi/4$, $ -7\pi/2$. Сколько различных точек у вас получилось?

Задача 2.2   Нанесите на тригонометрическую окружность точки, соответствующие числам $ \pi n/2$ для всех целых $ n$. Сколько различных точек у вас получилось?

Задача 2.3   Выполните задание предыдущей задачи для чисел: а)  $ -\pi/4+\pi n$; б) $ \pi/3+2\pi n$ ($ n$ - любое целое число).

Задача 2.4   В какой четверти будет находиться точка тригонометрической окружности, соответствующая числу 1000?

Задача 2.5   Сколько точек получится, если нанести на тригонометрический круг все числа вида $ 73\pi n/107$, где $ n$ - целое число?

Задача 2.6   Каким должно быть число $ a$, чтобы среди точек, соответствующих числам вида $ 2\pi an$ при всех целых $ n$, было бы конечное число различных?

Задача 2.7   Пусть числу $ t$ соответствует на тригонометрической окружности точка $ P$. Запишите какое-нибудь другое число, которому на тригонометрической окружности соответствуют: а) та же самая точка $ P$; б) точка, симметричная точке $ P$ относительно начала координат; в) точка, симметричная точке $ P$ относительно оси абсцисс; г) точка, симметричная точке $ P$ относительно оси ординат; д) точка, симметричная точке $ P$ относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Задача 2.8   Как выглядит на тригонометрическом круге множество точек, соответствующих числам из промежутков: а) $ [0;\pi/2]$; б) $ [\pi/2;2\pi]$; в) $ (-\pi ;\pi)$; г) $ (2;9)$.

Рис. 26
\begin{figure}\epsfbox{t06.4}\end{figure}

Если $ 0<t<\pi/2$, то число $ t$ на круге будет расположено так, что отрезок, соединяющий соответствующую точку с началом координат, составит угол $ t$ радиан с осью абсцисс. В самом деле, в этом случае длина дуги от 0 до $ t$ будет как раз равна $ t$ (рис. 26).

Теперь все готово для того, чтобы ввести основные определения тригонометрии.

Определение. Косинусом числа $ t$ называется абсцисса точки на тригонометрическом круге, соответствующей числу $ t$.

Если $ t$ - радианная мера острого угла, то косинус этого угла в нашем прежнем смысле равен косинусу числа $ t$ в новом смысле.

Косинус числа $ t$ обозначается $ \cos t$.

Определение. Синусом числа $ t$ называется ордината точки на тригонометрическом круге, соответствующей числу $ t$.

Если $ t$ - радианная мера острого угла, то синус этого угла в нашем прежнем смысле равен синусу числа $ t$ в новом смысле.

Синус числа $ t$ обозначается $ \sin t$.

Определение. Тангенсом числа $ t$ называется отношение синуса числа $ t$ к его косинусу.

Если $ t$ - радианная мера острого угла, то тангенс этого угла в нашем прежнем смысле равен тангенсу числа $ t$ в новом смысле (так как для острых углов верна формула $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t=\sin t/\cos t$).

Тангенс числа $ t$ обозначается $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t$.

Определения синуса и косинуса, которые вы сейчас прочитали, - это те же самые определения, что были даны в предыдущем параграфе, только сформулированные более аккуратно. В предыдущем же параграфе было объяснено, почему для острых углов эти определения согласуются с прежними.

Кроме синуса, косинуса и тангенса используются также и менее употребительные функции котангенс, секанс и косеканс, которые определяются так:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits t$ $\displaystyle =\frac{\cos t}{\sin t};$    
$\displaystyle \sec t$ $\displaystyle =\frac{1}{\cos t};$    
$\displaystyle \mathop{\mathrm{cosec}}\nolimits t$ $\displaystyle =\frac{1}{\sin t}.$    

Теперь, когда мы определили тригонометрические функции числового аргумента, можно узнать, чему равны тригонометрические функции не только острых, но и прямого и тупых углов: надо перевести величину угла в радианы и взять синус, косинус или тангенс от получившегося числа.

Задача 2.9   Заполните пустые места в следующей таблице:

\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\ver...
...}\nolimits \alpha & &\mbox{---} & & & & \\
\hline
\end{array}\end{displaymath}

Замечание. В графе для $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 90^\circ$ мы сразу поставили прочерк, так как, по определению, $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 90^\circ=\sin
90^\circ/\cos 90^\circ$, но $ \cos 90^\circ=0$, так что $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 90^\circ$ не определен.

Задача 2.10   Определите котангенс, секанс и косеканс острых углов с помощью прямоугольных треугольников (аналогично тому, как мы определяли синус, косинус и тангенс).

Задача 2.11   Одна из вершин правильного шестиугольника, вписанного в тригонометрическую окружность, расположена в начале отсчета. Найдите координаты остальных его вершин.

Задача 2.12   Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но для правильного пятиугольника (указание: см. задачу 13).

Задача 2.13   В задаче 23 было сказано, что в качестве приближенного значения косинуса малого угла $ \alpha$ можно взять число $ 1$, то есть значение функции косинус в нуле. Что, если в качестве приближенного значения для синуса малого угла $ \alpha$, не мудрствуя лукаво, взять $ 0=\sin 0$? Чем это плохо?

Рис. 27: Точка $ M$ движется по циклоиде.
\begin{figure}\epsfbox{t06.5}\end{figure}

Задача 2.14   Рассмотрим колесо радиуса 1, касающееся оси абсцисс в начале координат (рис. 27). Предположим, что колесо покатилось по оси абсцисс в положительном направлении со скоростью 1 (т.е. за время $ t$ его центр смещается на $ t$ вправо).

а) Нарисуйте (примерно) кривую, которую будет описывать точка $ M$, касающаяся в первый момент оси абсцисс. б) Найдите, каковы будут абсцисса и  ордината точки $ M$ через время $ t$ после начала движения.

2.1 Ось тангенсов

Синус и косинус мы в этом параграфе определили геометрически, как ординату и абсциссу точки, а тангенс - алгебраически, как $ \sin
t/\cos t$. Можно, однако, и тангенсу придать геометрический смысл.

Рис. 28: Ось тангенсов.

Для этого проведем через точку с координатами $ (1;0)$ (начало отсчета на тригонометрической окружности) касательную к тригонометрической окружности - прямую, параллельную оси ординат. Назовем эту прямую осью тангенсов (рис. 28). Название это оправдывается так: пусть $ M$ - точка на тригонометрической окружности, соответствующая числу $ t$. Продолжим радиус $ SM$ до пересечения с осью тангенсов. Тогда оказывается, что ордината точки пересечения равна $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t$.

В самом деле, треугольники $ NOS$ и $ MPS$ на рис. 28, очевидно, подобны. Отсюда

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{MP}{PS}=\frac{NO}{OS}=
\frac{NO}{1}=NO,
$

что и утверждалось.

Если точка $ M$ имеет координаты $ (0;1)$ или $ (0;-1)$, то прямая $ SM$ параллельна оси тангенсов, и тангенс нашим способом определить нельзя. Это и не удивительно: абсцисса этих точек равна 0, так что $ \cos t=0$ при соответствующих значениях $ t$, и  $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t=\sin t/\cos t$ не определен.

2.2 Знаки тригонометрических функций

Разберемся, при каких значениях $ t$ синус, косинус и тангенс положительны, а при каких - отрицательны. Согласно определению, $ \sin t$ - это ордината точки на тригонометрической окружности, соответствующая числу $ t$. Поэтому $ \sin t>0$, если точка $ t$ на окружности лежит выше оси абсцисс, и $ \sin t<0$, если точка $ t$ на окружности лежит ниже оси абсцисс (рис. 29а).

Рис. 29: Знаки синуса и косинуса.
\begin{figure}\begin{tabular}{cc}
\epsfbox{t06.7}& \epsfbox{t06.8}\\
а) & б)
\end{tabular}\index{Косинус!знаки}\index{Косинус!знаки}\end{figure}

На рис. 29б аналогичным образом изображено, когда положителен и когда отрицателен $ \cos t$. Увидеть, когда положителен, а когда отрицателен $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t$, проще всего с помощью оси тангенсов: $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits t$ положителен, если точка на окружности, соответствующая числу $ t$, лежит в первой или третьей четверти, и отрицателен, если эта точка лежит во второй или четвертой четверти. Схематически это изображено на рис. 30а, 30б.

Рис. 30: Знаки тангенса.
\begin{figure}\begin{tabular}{cc}
\epsfbox{t06.9}& \epsfbox{t06.10}\\
а) & б)
\end{tabular}\index{Тангенс!знаки}\end{figure}

Задача 2.15   Нарисуйте картинки, аналогичные рис. 30а, для знаков $ \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits t$.

Задача 2.16   а) Изобразите на числовой оси множество точек $ t$, удовлетворяющих системе неравенств:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
\sin t>0, \\
0 \leqslant t\leqslant 4\pi.
\end{cases}\end{displaymath}

б) Рассмотрим множество чисел на числовой оси, удовлетворяющих системе неравенств:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
\sin x \leqslant 0, \\
0 \leqslant x\leqslant 20\pi.
\end{cases}\end{displaymath}

Найдите сумму длин отрезков, из которых состоит это множество.


       


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования