Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посмотрите новые поступления ... Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика | Популярные статьи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение

Альберто П. Кальдерон

Размышления об изучении и преподавании математики.

Эта статья представляет собой перевод лекции, прочитанной профессором Альберто П. Кальдероном на 26 конференции аргентинского математического союза и 9 аргентинской конференции по математическому образованию, состоявшихся 8-11 октября 1986 года в городах Санта Фе и Парана.


Alberto P. Calderon (1920-1998). Опубликовано в: Bull. ICMI, 47 (1999), 56-62


Уважаемые дамы и господа,

Прежде всего я хотел бы поблагодарить организаторов конференции за то, что меня пригласили прочитать эту лекцию. Благодаря этому приглашению я получил возможность отдать дань благодарной памяти Рею Пастору -- моему, как и многих других, непосредственному наставнику и преподавателю, благодаря которому Аргентина смогла занять свое место в математическом мире.

Мне кажется, было бы интересно и, может быть, полезно, если бы на этой педагогической конференции я поделился с вами некоторыми мыслями об изучении и преподавании математики, основанными на моем опыте -- сначала учащегося, а затем и математика-профессионала. В первую очередь моя речь обращена к учителям средних школ, на которых лежит тяжелая обязанность направлять развитие молодых людей на одном из самых критических и решающих этапов их развития.

Принято считать, что математика -- чисто логическая структура. Кроме того, общественное мненине не пренебрегает и эстетическими аспектами этой науки, связанными с гармонией и согласованностью ее составных частей; нередко ее рассматривают как интересную интеллектуальную игру.

Более того, чтобы понимать математику, необходимо достигать полной ясности на каждом этапе. Впрочем, я думаю, что в этом отношении математика не отличается от прочих отраслей знания.

Если мы обратим внимание на то, какие вопросы обычно задают дети взрослым об окружающем мире, то мы увидим, что эти вопросы делятся на два типа: начинающиеся со слов "как" или "почему", касающиеся, так сказать, логического строения мира, и начинающиеся со слова "зачем", связанные с телеологией. Я думаю, что это разделение не относится исключительно к детям, но отражает два основных режима человеческого мышления.

Если это так, указанное разделение представляет интерес не только для философии и гносеологии. Оно чрезвычайно важно и для практической педагогики: если нечто имеет цель, то знание этой цели необходимо для понимания.

Давайте в качестве примера возьмем какой-нибудь инструмент, скажем, отвертку, и подумаем, понимаем ли мы, что это такое. Об отвертке можно, наверное, написать сотни страниц, содержащих подробное описание того, как и из какого материала изготовлена ее ручка, каково химическое, физическое и кристаллическое строение ее жала, какова ее геометрическая форма и как ее делают. Но будем ли мы после ознакомления с этим длинным текстом знать, что такое отвертка? Думаю, что нет. Я полагаю, что длю того, чтобы узнать, что такое отвертка, нужно знать ответ на главный вопрос: для чего нужна отвертка? Пока мы не ответили на этот вопрос, все наши познания об отвертках будут ненадежными. Только узнав этот ответ, мы сможем понять что в наших знаниях существенно, а что -- нет, важно ли то, из чего сделана ручка -- из пластмассы, дерева или металла, на что влияют толщина и длина жала, и т. д. Так что понять, что такое отвертка, возможно, только поняв, для чего она используется. Это знание поможет нам правильно организовать всю имеющуюся у нас информацию об отвертках, а без него такая организация невозможна.

Противоположным примером является понимание солнечной системы. Здесь не нужно задавать вопрос "зачем", поскольку мы не знаем, для чего она нужна и как она используется. Можно изучать строение солнечной системы, не задаваясь вопросом "зачем". Одна из существующих традиций научного мышления придерживается в большей или меньшей степени именно такого подхода, с соответствующими выводами для педагогики. Я бы хотел твердо заявить, что этой традиции я не симпатизирую. Я считаю, что невозможно изучать математику, не имея представления о том, для чего она нужна. Я вернусь к этой теме позже, а пока позвольте привести один пример. Если в незнакомой местности я иду по длинной дороге без перекрестков и развилок, я могу и не помнить о цели своего путешествия, но мне придется вспомнить об этом на ближайшем перекрестке.

Мы видим, что в процессе обучения понимание целей является насущной необходимостью. Общеизвестно, что люди научаются быстрее и лучше, если они учатся с определенной целью. Это в особенности относится к математике, и каждый математик-профессионал (в широком смысле этого слова) рано или поздно узнает это на личном опыте. Наличие более или менее определенной цели указывает правильный путь, усиливает интерес, помогает выделить главное и отложить до лучших времен второстепенное. Если цель отсутствует, то изучаются во многом случайные темы, материал кажется скучным и однообразным, -- именно таким образом у учеников складывается представление о математике как о нагромождении трудных и нудных рассуждений. Не зря говорят, что четкая постановка задачи -- важная часть ее решения.

Стало быть, при преподавании математики очень важно ставить перед студентами близкие и отдаленные цели с максимально возможной четкостью. Иными словами, учащимся нужны мотивировки. Конечно, иногда добиться этого сложно. Зачатую из-за недостатка знаний ученики могут понять отдаленные цели только приблизительно. Но даже это приблизительное понимание полезно: благодаря ему учащимся легче понять промежуточные цели, а главная цель вырисовывается все яснее по мере постижения предмета -- как при ориентировании в незнакомой местности.

По этим же причинам овладение методами и понимание того, к чему их можно применять, важнее, чем накопление знаний: методы, в отличие от изолированных теорем и результатов, обладают динамикой. Возможно также изучать математику "вслепую", не ставя себе определенной цели, а затем, оглядываясь назад, приобретать понимание перспектив. Этот стиль преподавания очень моден среди учителей, отрицающих важность мотивировок. Но я думаю, что такой подход не годится ни для исследования, ни для преподавания. В конце концов, мотивировки -- один из важнейших источников интереса к учению, а также важное средство для раскрытия дарований. Математика выглядит порой как набор бессмысленных умствований, но если рассмотреть ее в исторической перспективе, то окажется, что даже самые абстрактные ее разделы, далекие на первый взгляд от приложений, связаны множеством связей с более конкретными разделами, близкими к приложениям, и именно эти связи оправдывают в конечном счете существование абстрактных разделов. Математика -- царица наук, и как хорошая царица она должна служить своим подданным.

Как я уже сказал, изучение методов гораздо важнее, чем считающееся целью преподавания накопление знаний и информации. Как же изучать методы? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно помнить о том, что методы -- инструменты для достижения определенных целей. Методы -- это рабочие инструменты, и точно так же, как невозможно освоить ремесло, изучая каталоги и посещая выставки инструментов, но не беря этих инструментов в руки, так нельзя изучить математику, будучи пассивным наблюдателем. Методами нужно пользоваться, но еще лучше, если ученики хотя бы частично их открывают сами. Как наличие инструментов не делает человека ремесленником, так накопленные знания не делают его математиком. Гораздо важнее умение их использовать.

Именно поэтому так важно решать задачи. Решение задач обогащает учащегося ценным опытом: он встречается с трудностями и научается их оценивать, он узнает возможности и ограничения своего математического инструментария. Конечно, я имею в виду не стандартные задачи, но задачи, для решения которых требутся проявить изобретательность. Если, например, вы хотите проверить свои познания уровень знаний в планиметрии, возьмите книгу Руше и Комбрусса и попробуйте решить любую из множества содержащихся там задач, или вспомните формулировку теоремы, доказательство которой вы забыли, и попробуйте ее доказать. Если даже в простых случаях у вас ничего не получится, то я скажу вам, что ваши знания немногого стоят. И это справедливо для всех областей математики, как элементарной, так и высшей. Кроме того, решение нетривиальных (именно нетривиальных!) задач дает почувствовать, какую силу представляет собой наше воображение, когда оно подчинено строгой логике; решение задач дает нам возможность открывать новые истины, о существовании которой мы не подозревали. Такой опыт впечатляет молодые умы и может способствовать пробуждению скрытых способностей. Например, у меня интерес к математике возник именно таким образом.

Я бы хотел рассказать вам о своем опыте более подробнно, поскольку это может быть интересно с педагогической точки зрения. Вскоре после поступления в среднюю школу (мне было чуть больше 12 лет) я как-то нашалил в присутствии своего преподавателя по математике. Учитель подошел ко мне и сказал, что я буду за это наказан. Он вышел, но потом через некоторое время вернулся, снова подошел ко мне и сказал: "Послушай, я сейчас дам тебе геометрическую задачку. Если ты сможешь ее решить, то я прощу тебе твою шалость." В задаче требовалось построить циркулем и линейкой равнобедренный треугольник по высоте и сумме основания и одной из боковых сторон. Немалыми усилиями мне удалось свести задачу к следующей. Пусть ABC -- искомый треугольник и AB -- его основание. Продолжим его основание в обе стороны и отложим на его продолжении такие точки A' и B', что A'A=B'B=AC/2= BC/2. Очевидно, что полученный треугольник A'B'C' -- тоже равнобедренный, с известной высотой, а его основание равно данной сумме. Такой треугольник легко построить. Тогда задача будет решена, если определить положение точки A на отрезке A'B'. Она обладает тем свойством, что расстояние от нее до точки C вдвое больше, чем до точки A'. Я подумал, что геометрическое место точек, обладающих этим свойством, должно быть окружностью, а поэкспериментировав на чертеже, я в этом уверился. Однако же доказать это я не смог.

Когда я показал учителю свое недоделанное решение, он подтвердил мое предположение об окружности и простил мою шалость. Он использовал мою выходку как повод для того, чтобы вызвать у меня интерес к геометрии, и ему это удалось. Задача очаровала меня, мне захотелось решать такие задачи еще и еще. Этот мелкий случай открыл мне мое призвание и определил мою дальнейшую жизнь.

Этот пример иллюстрирует и то, как решение задач может способствовать развитию интеллекта у молодых людей. Учителя и профессора должны проявлять большую аккуратность, предлагая учащимся задачу. Она должны быть не слишком простой -- иначе она пропадет впустую, -- но и не слишком сложной -- иначе учащийся вообще не сможет продвинуться в ее решении, и мы внушим ему неверие в свои силы. Преподаватель должен стремиться продемонстрировать учащимся то, что знаменитый физик Юджин Вигнер назвал непостижимой эффективностью математики, очарованием математики, и что представляет собой одно из ее чудес.

Возвращаясь к методам, заметим, что изучая какое-то утверждение, следует дать возможность ученикам попробовать его доказать самостоятельно. Если после серьезных усилий ничего не получается, следует посмотреть, что сказано в указании в учебнике, или что посоветует учитель, а затем снова и снова пытаться самостоятельно доказать это утверждение, пока не получится. Очень полезно делать это если не со всеми, то хотя бы с некоторыми утверждениями. Конечно, обучение при этом идет медленнее, но такая метода несравненно полезнее, чем пассивное изучение доказательств. Помимо того, что отгадывать загадки приятно, решение задач дает учащемуся возможность почувствовать радость творчества: у него возникает чувство, что доказанные кем-то утверждения открыты, хоть бы отчасти, им самим. Кроме того, учащийся начинает чувствовать структуру данного раздела математики -- другим способом это чувство развить невозможно. Я полагаю, что сказанное подтверждает важность этого метода с чисто педагогической точки зрения. Но мало того, благодаря такой методике преподавания можно увидеть новые аспекты уже известных фактов, и даже заложить основы новых разделов математики. Другими словами (и это -- главное), такое преподавание дает и активные динамические знания. Именно знания такого типа отличают мозг от книги. Пока речь идет о накоплении информации, наш мозг не может тягаться с бумагой. Но знание, зафиксированное на бумаге, -- это окаменелое знание; излишнее накопление мертвого знания идет вразрез с нормальной работой нашего разума. Накопительный подход к обучению идет во вред самому ценному из того, чем все в той или иной степени обладают -- непосредственности, оригинальности, творческим способностям. Интересно, что зачастую запас знаний обратно пропорционален способности открывать что-то новое, и ученые гораздо больше интересуются открытиями, чем знаниями. Нобелевский лауреат в области медицины Сенат Дьёрди говорил: "В библиотеке за 2 часа я могу почерпнуть больше знаний, чем в моей лаборатории за год, но я всегда работаю в лаборатории и редко в библиотеке".

Другой аспект математики, который многих пугает и заставляет держаться от нее подальше -- это абстрактность. Я думаю, что причина здесь в том, что им неадекватно представили эту науку. Абстрагируются для того, что подняться, если угодно -- взлететь, и посмотреть на сборище отдельных фактов с птичьего полета и увидеть их взаимосвязь; без абстракций этого добиться нельзя. Этот вид с высоты может быть очень красив и полезен, и он вознаграждает нас за труд, потраченный на постижение абстрактных понятий. Важно, чтобы ученики могли почувствовать эту пользу абстракций как можно раньше -- это будет их стимулировать и не даст впасть в отчаяние.

Обратим, наконец, внимание на красоту математики, происходящую, как я уже говорил, из гармонии и согласованности ее составных частей и из эффективности и мощи ее методов. Не все ее разделы обладают этой красотой в равной степени, но иногда она просто завораживает. Стало быть, было бы неправильно игнорировать этот аспект математики, способный сыграть решающую роль в раскрытии способностей учащихся и стимуляции их занятий.

В заключение я хочу привести пример одной конструкции из элементарной геометрии, которая будет понятной старшеклассникам и которая, как мне кажется, показывает эту соблазнительную красоту математики.

Рассмотрим плоскость (обозначим ее ) и ориентированные окружности на ней. Каждой из этих окружностей поставим в соответствие точку в пространстве, выбранную следующим образом: на перпендикуляре к плоскости, проходящем через центр окружности, выберем точку, расстояние от которой до центра окружности равняется радиусу; выбранная точка находится с той или другой стороны от плоскости в зависимости от ориентации окружности. Тем самым мы сопоставили точку каждой ориентированной окружности, и обратно, каждой точке в пространстве соответствует ориентированная окружность. Более того, каждой пространственной конфигурации соответствует семейство ориентированных окружностей в плоскости , и наоборот.

Ясно, что свойства пространственной конфигурации соответствуют свойствам семейств ориентированных окружностей, и обратно. Посмотрите, как с помощью этого соответствия можно легко получать интересные результаты. Для начала рассмотрим простейшие пространственные конфигурации и соответствующие семейства окружностей. Рассмотрим прямую e'. Пусть она не параллельна и не перпендикулярна плоскости; обозначим точку ее пересечения с плоскостью через Р. Тогда семейство окружностей, соответствующих точкам этой прямой, состоит из окружностей с центрами на прямой e, являющейся ортогональной проекцией прямой e' на плоскость , находящихся от Р на растоянии, пропорциональном радиусу, и с той или иной ориентацией в зависимости от положения точки Р относительно прямой e. Если угол между е' и меньше 45o, то растояния от центров до Р больше, чем соответствующие радиусы, и существует общая касательная для всех окружностей семейства (будем говорить, что ориентированная прямая касается ориентированной окружности, если они касаются, и их ориентации в точке касания совпадают).

Теперь рассмотрим плоскость ', не параллельную и не перпендикулярную плоскости ; пусть e -- прямая, по которой пересекаются плоскости и '. Легко видеть, что семейство окружностей, соответствующих точкам плоскости ', состоит из окружностей, радиусы которых пропорциональны расстоянию от центра до прямой e, с той или иной ориентацией в зависимости от того, по какую сторону от прямой e лежит центр. Семейства окружностей, соответствующие прямым или плоскостям, параллельным плоскости , описываются еще проще.

А сейчас я сформулирую утверждение, мгновенно следующее из вышесказанного и не столь простое, если доказывать его непосредственно.

Рассмотрим на плоскости три непересекающиеся ориентированные окружности с различными радиусами, ни одна из которых не лежит внутри другой. Я утверждаю, что три точки, каждая из которых является точкой пересечения пары ориентированных общих касательных к каким-то двум из этих окружностей, лежат на одной прямой. (Это утверждения можно сформулировать, и не накладывая ограничений на радиусы окружностей или их взаимное расположение.)

Посмотрим еще, как наша конструкция помогает решить знаменитую задачу Апполония: построить циркулем и линейкой окружность, касающуюся трех заданных окружностей. Для начала слегка модифицируем условие. Пусть окружности будут ориентированными, и при этом будем считать, что ориентированные окружности касаются, если они касаются в обычном смысле и их ориентации в точке касания совпадают. Обычная задача Апполония сводится к модифицированной (для решения обычной задачи достаточно решить модифицированную, придавая всевозможными способами ориентации данным окружностям).

Для начала посмотрим, какая пространственная фигура соответствует семейству ориентированных окружностей, касательных к данной ориентированной окружности. Легко видеть, что это -- объединение лучей, соединяющих точку P в пространстве, соответствующую данной окружности, со всеми точками данной окружности. Далее мы будем называть такие фигуры конусами.

Ясно, что семейство окружностей, касающихся двух данных окружностей, соответствует пересечению конусов, соответствующих каждой из них. Более того, точки пересечение двух различных конусов является плоской фигурой. Это можно показать с помощью нашего соответствия между точками пространства и окружностями на плоскости. В самом деле, сдвинув оба конуса в вертикальном направлении, можно добиться того, чтобы они соответствовали двум ориентированным окружностям, касающимся в обычном смысле, но имеющим противоположные ориентации в точке касания. Теперь, пользуясь теоремой Пифагора и описанием семейств ориентированных окружностей, соответствующих множеству точек плоскости, можно заметить, что пересечение конусов лежит в плоскости, пересекающей плоскость по прямой, являющейся общей касательной к двум данным окружностям. Это -- пример стереометрического утверждения, которое может быть легко доказано с помощью семейств ориентированных окружностей. Разумеется, этот факт легко доказать и аналитически.

Теперь ясно, как решить (модифицированную) задачу Аполлония. Пусть C1, C2 и C3 -- данные ориентированные окружности, а Y1, Y2 и Y3 -- соответствующие конусы. Окружность, которую мы ищем, соответствуют точке пересечения этих трех конусов. Она может быть найдена следующим образом: построим плоскости 1 и 2, в которых лежат пересечения конусов Y1 и Y2 и Y1 и Y3 соответственно, затем прямую, по которой пересекаются плоскости 1 и 2; тогда пересечение этой прямой с любым из конусов представляет искомую окружность. Все эти пространственные построения могут быть воспроизведены на плоскости. Тем самым наша задача решена.

Дамы и господа, все мы в большей или меньшей степени способны делать открытия и изобретения, и эти свои творческие способности мы должны культивировать и развивать. Я думаю, что это единственный способ достичь глубоких знаний в любом предмете. Наш разум активен от природы и не допускает пассивности и бездействия. Иначе он может просто атрофироваться.


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования