Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
Next: ...к задачам пятой олимпиады Up: 7.6. Указания и решения Previous: ...к задачам третьей олимпиады Contents: Содержание

...к задачам четвертой олимпиады

4.1. Исходный текст состоит из 48 букв, следовательно, при зашифровании было использовано три положения решетки полностью и еще три буквы вписаны в четвертом положении. Значит, незаполненные 12 клеток совпадают с вырезами решетки в четвертом положении. Так как текст вписывается последовательно, то неизвестные нам три выреза могут располагаться только в первой строке таблицы и первых пяти клетках второй строки (до первого известного выреза). Считаем, что трафарет лежит в четвертом положении. Учитывая, что в одну клетку листа нельзя вписать две буквы, получаем, что вырезы могут быть только в отмеченных знаком ``?'' местах трафарета (``$ *$'' - места известных вырезов):

? ?
? ? $ *$ $ *$
$ *$ $ *$ $ *$
$ *$ $ *$
$ *$
$ *$ $ *$ $ *$ $ *$

Очевидно, что из отмеченных в первой строке двух клеток вырезается только одна (так как они совмещаются поворотом). Получаем два возможных варианта решетки (либо первый ``?'', либо второй ``?'' в первой строке). Читаемый текст получается при втором варианте.

Ответ: ПОЛЬЗУЯСЬШИФРОМРЕШЕТКАНЕЛЬЗЯОСТАВЛЯТЬПУСТЫЕМЕСТА


4.2. Один из вариантов решения состоит из следующих этапов.


1. 19=н из второй строки (``19,2 19,5'').

2. 29=о из третьей строки (``29,н,10'') и 10=а или 10=и.

3. 14=щ из ``но,14,но''.

4. 8=д, 2=е, 10=и из ``денно и нощно''.

Получили текст:

$\textstyle \parbox{80mm}{12 е 24 5 3 21 6 о 28 е 20 18
20 21 5 и...
...,11 е 16
 и щ 18 21  17 е 20 е 28 о 16
 21 о 28 6 о 16. }$


5. 5=а и 27=з из второй строки.

6. 17=в 6=п 16=й  - последнее слово второй строки - водопой.

Получили текст:

$\textstyle \parbox{80mm}{
12 е 24 а 3 21 п о 28 е 20 18  20 21 а...
...4 е 11 е й\\
и щ 18 21  в е 20 е 28 о й  21 о 28 п о й.
}$


7. 21=т 18=у 28=л 20=с из последней строки ``ищут веселой толпой''.

8. 11=р из ``зве11ей'' первой строки.

Итак,

$\textstyle \parbox{80mm}{
12 е 24 а 3 т  п о  л е с у  с т а и ...
... е р е й [0.5mm]
и щ у т  в е с е л о й  т о л п о й.
}$


9. 24=г из ``егерей''.

10. 12=б 3=ю из ``бегают''.

11. 31=ы 22=ч из ``добычей''.

Ответ:     Бегают по лесу стаи зверей -
Не за добычей, не на водопой:
Денно и нощно они егерей
Ищут веселой толпой.

4.3. Ответ: $ \cos36^\circ=(1+\sqrt5)/4\approx 0{,}8$.

4.4. Занумеруем буквы латинского алфавита последовательно числами от 1 до 24. Пусть $ x$ - некоторое число от 1 до 24, а $ f(x)$ - число, в которое переходит $ x$ на втором этапе. Тогда перестановочность этапов можно записать в следующем виде:

\begin{displaymath}
f(x+1) = f(x) + 1,\quad\text{т. е.}\quad f(x+1) - f(x) = 1.
\end{displaymath}

Это означает, что соседние числа $ x$ и $ x+1$ на втором этапе переходят в соседние же числа $ f(x)$ и $ f(x+1)$, т.е. второй этап - тоже сдвиг. Последовательное применение двух сдвигов - очевидно тоже сдвиг и остается рассмотреть 24 варианта различных сдвигов. Читаемый текст определяется однозначно. Осложнения, связанные с переходом Z в A, устраняются либо переходом к остаткам при делении на 24, либо выписыванием после буквы Z второй раз алфавита AB...Z.

Ответ: INTER ARMA SILENT MUSAE
($ {}'$интер $ {}'$арма си$ {}'$лент му$ {}'$зэ - когда гремит оружие, музы молчат).

4.5. Составим возможные варианты переданных букв:

ГЪЙ АЭЕ БПРК ЕЖЩЮ НМЬЧ СЫЗЛ ШДУ ЦХОТ ЯФВИ
БШЗ АЫВ АНОИ ГЕЧЬ ЛКЪХ ПЩЕЙ ЦВС ФУМР ЭТАЖ
ВЩИ БЬЕ БОПЙ Д\myYottШЭ МЛЫЦ РЪЖК ЧГТ ХФНС ЮУБЗ
ГЪЙ ВЭ\myYott ВПРК ЕЖЩЮ НМЬЧ СЬЗЛ ШДУ ЦХОТ ЯФВИ
ДЫК $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ЮЖ ГРСЛ \myYottЗЪЯ ОНЭШ ТЬИМ ЩЕФ ЧЦПУ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ХГЙ
ЕЬЛ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ЯЗ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$СТМ ЖИЫ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ПОЮЩ УЭЙН Ъ\myYottХ ШЧРФ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ЦДК


Выбирая вторую и последнюю группу букв (где есть короткие колонки букв), определяем слова, им соответствующие: ВЯЗ, ЭТАЖ. В исходных словах 33 буквы, поэтому буквы В, Я, З, Э, Т, А, Ж уже использованы и их можно вычеркнуть из всех колонок:

ГЪЙ АЭЕ БПРК ЕЖЩЮ НМЬЧ СЫЗЛ ШДУ ЦХОТ ЯФВИ
БШ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$НОИ ГЕЧЬ ЛКЪХ ПЩЕЙ Ц $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$С ФУМР ЭТАЖ
$ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ЩИ БОПЙ Д\myYottШ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ МЛЫЦ РЪ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$К ЧГ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ХФНС
ГЪЙ В $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ПРК Е $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$Щ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ НМЬЧ СЬ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$Л ШДУ ЦХО $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$
ГРСЛ \myYott $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$Ъ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ОН $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ЬИМ ЩЕФ ЧЦПУ
ЕЬЛ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ЯЗ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$С $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$М $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ИЫ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ПО $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ У $ \phantom{\mbox{\texttt ?}}$ЙН Ъ\myYottХ ШЧРФ


Из нескольких вариантов, например, в третьей группе:

ГНОЙ    ГНОМ     ГРОМ

выбираем варианты так, чтобы каждая буква использовалась один раз. Продолжая таким образом, получим ответ.

Ответ:БЫК ВЯЗ ГНОЙ ДИЧЬ ПЛЮЩ СЪ\myYottМ ЦЕХ ШУРФ ЭТАЖ

4.6. Заметим, что $ A_{k+1} - A_k =(k+1)^3-k^3+2$ для всех натуральных $ k$. Складывая почленно эти равенства при $ k=1,2,\dots,(n-1)$, получим $ A_n-A_1 = n^3-3+2n$. По условию $ A_1=3$. Следовательно, справедливо соотношение $ A_n=n^3+2n$.

Ясно, что при расшифровании так же, как и при зашифровании, вместо чисел $ A_{100}$, $ A_{101}$, $ A_{102}$, $ A_{103}$, $ A_{104}$, $ A_{105}$, $ A_{106}$ можно воспользоваться их остатками от деления на 30. Так как для каждого целого неотрицательного $ i$

\begin{displaymath}
(100+i)^3+2(100+i)=i^3+2i+30z,
\end{displaymath}

где $ z$ - некоторое целое число, то получаем следующие остатки при делении чисел $ A_{100},\dots, A_{106}$ на 30:

$ A_{100}$ $ A_{101}$ $ A_{102}$ $ A_{103}$ $ A_{104}$ $ A_{105}$ $ A_{106}$
0 3 12 3 12 15 18



Заключительный этап представлен в таблице:

шифрованное сообщение К Е Н З Э Р Е
числовое шифрованноесообщение 9 5 12 7 27 15 5
шифрующий отрезок 0 3 12 3 12 15 18
числовое исходное сообщение 9 2 0 4 15 0 17
исходное сообщение К В А Д Р А Т


4.7. Ответ:


$\displaystyle
x=\frac{1+\sqrt{4a^2+1}}{2a} \mbox{ при } 0<a<1$;


$\displaystyle
x_1=\frac{1+\sqrt{4a^2+1}}{2a},\
x_2=\frac{-\sqrt{4a^2-3}-1}{2a} \mbox{ при } a\geq 1$.


Next: ...к задачам пятой олимпиады Up: 7.6. Указания и решения Previous: ...к задачам третьей олимпиады Contents: Содержание


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования