Rambler's Top100 Service
ѕоиск   
 
ќбратите внимание!   ќбратите внимание!
 
  Ќаука >> ћатематика | ѕопул€рные статьи
 ѕосмотреть комментарии[1]  ƒобавить новое сообщение

2. ќптимизаци€ как путь к катастрофе

ѕростейша€ модель роста =kx предложена ћальтусом (дл€ роста населени€ «емли). ќна ведет, как хорошо известно, к экспоненциальному (т. е. очень быстрому) росту населени€ x с течением времени. Ёта жестка€ модель применима (разумеетс€, с оговорками), например, к развитию науки в 1700-1950 годах (измер€емому, скажем, числом научных статей) (рис. 4). ѕродолжение экспоненциального роста науки в следующий век быстро привело бы к исчерпанию бумаги и чернил, причем число ученых должно было бы достичь половины населени€ земного шара.


–ис. 4. –ост науки.

ясно, что общество (во всех странах) не может этого допустить, и следовательно развитие науки должно быть подавлено (что мы и наблюдаем во многих странах; в –оссии реформирование академической науки происходит как раз сейчас).

јналогичные €влени€ насыщени€ происход€т в любой попул€ции (и, веро€тно, вскоре произойдут с человечеством в целом): когда население становитс€ слишком большим, мальтусовска€ жестка€ модель с посто€нным коэффициентом роста k перестает быть применимой. ≈стественно, при слишком больших x конкуренци€ за ресурсы (пищу, гранты и т. д.) приводит к уменьшению k, и жестка€ модель ћальтуса должна быть заменена м€гкой моделью

=k(x)x

с завис€щим от населени€ коэффициентом размножени€. ѕростейшим примером €вл€етс€ выбор k(x)=a-bx, что приводит к так называемой логистической модели (рис. 5):
=ax-bx2, например, =x-x2.

¬ыбором системы единиц x и t можно превратить коэффициенты a и b в 1. ѕодчеркну, однако, что выводы, которые будут сделаны ниже, остаютс€ (с точностью до числовых значений констант) справедливыми и при любых значени€х коэффициентов a и b и даже дл€ широкого класса моделей с различными (убывающими с x) функци€ми k(x). »ными словами, дальнейшие выводы относ€тс€ ко всей м€гкой модели, а не к специальной жесткой логистической модели.


–ис. 5. Ћогистическа€ модель.

Ќа рис. 5 слева изображен график функции k(x)x, положительной между точками A и B. ¬ центре изображено векторное поле 1 на изображающей всевозможные состо€ни€ системы оси x. ќно указывает скорость эволюции состо€ни€. ¬ точках A и B скорость равна нулю: это стационарные состо€ни€. ћежду A и B скорость положительна (население растет), а за точкой B -- отрицательна (население убывает). —права изображена результирующа€ зависимость населени€ от времени при разных начальных услови€х.

ћодель предсказывает, что с течением времени устанавливаетс€ стационарный режим B, который устойчив: большее население уменьшаетс€, меньшее -- увеличиваетс€.

Ћогистическа€ модель удовлетворительно описывает многочисленные €влени€ насыщени€. ¬близи A, когда население мало, она очень близка к мальтузианской модели. Ќо при достаточно больших x (пор€дка 1/2 при нашем выборе коэффициентов) наблюдаетс€ резкое отличие от мальтузианского роста (обозначенного на рис. 5 пунктиром): вместо ухода x на бесконечность население приближаетс€ к стационарному значению B. Ќаселение «емли сейчас приближаетс€ к 6 миллиардам. —тационарное значение (по разным оценкам) 16-20 миллиардов человек.

Ћогистическа€ модель €вл€етс€ обычной в экологии. ћожно себе представить, например, что x -- это количество рыб в озере или в мировом океане. ѕосмотрим теперь, как скажетс€ на судьбе этих рыб рыболовство с интенсивностью c:

=x-x2-c.
¬ычислени€ показывают, что ответ резко мен€етс€ при некотором критическом значении квоты вылова, c. ƒл€ нашей жесткой модели это критическое значение есть c= 1/4, но аналогичные €влени€ имеют место и дл€ м€гкой модели
=x-k(x)x-c
(критическое значение с в этом случае максимум функции k(x)x).


–ис. 6. Ќедолов (а), перелов (б) и оптимизаци€ (в) рыболовства.

’од эволюции числа рыб x с течением времени t изображен на рис. 6. ≈сли квота c мала, то изменени€ (по сравнению со свободной попул€цией, дл€ которой c =0) состо€т в следующем.

—истема имеет два равновесных состо€ни€, A и B. —осто€ние B устойчиво: попул€ци€ в этом случае несколько меньше, чем необлавливаема€, но она восстанавливаетс€ при малых отклонени€х x от равновесного значени€ B.

—осто€ние A неустойчиво: если вследствие каких-либо причин (скажем, браконьерства или мора) размер попул€ции упадет хоть немного ниже уровн€ A, то в дальнейшем попул€ци€ (хот€ и медленно, если отличие от A невелико) будет уничтожена полностью за конечное врем€.

ѕо моему мнению, состо€ние науки в –оссии в насто€щее врем€ описываетс€ примерно точкой A: оно еще стационарно, но, как говор€т физики, квазистационарно в том смысле, что небольшое встр€хивание может легко привести к необратимому уничтожению.

ѕри бoльших критической квотах вылова c попул€ци€ x уничтожаетс€ за конечное врем€, как бы велика она ни была в начальный момент.

Ёто -- судьба мамонтов, бизонов, многих китов: экологи подсчитали, сколько видов погибает ежедневно под вли€нием де€тельности человека, и эти цифры ужасают. ћодели этого рода описывают также банкротство фирм, концернов и государств. ќпасность уничтожени€ в нашей модели по€вл€етс€ тогда, когда неустойчивое состо€ние A приближаетс€ к устойчивому состо€нию B, т. е. когда величина x опускаетс€ примерно до половины исходной стационарной величины необлавливаемой попул€ции.

Ќаселение –оссии, мне кажетс€, еще не понизилось до этого смертельно опасного уровн€, но, по-видимому, движетс€ к нему. Ќаука же в –оссии находитс€ в насто€щее врем€ именно в таких услови€х "перелова". Ќапример, заработна€ плата главного научного сотрудника в ћатематическом институте им. —теклова –јЌ (каковым € €вл€юсь) составл€ет менее 100 долларов в мес€ц. Ёто раз в сто меньше зарплаты моих коллег в —Ўј (и раз в 50 меньше, чем во ‘ранции). ѕон€тно, что в таких услови€х величина c (скорость убыли числа ученых в –оссии) ограничиваетс€ в основном дискриминационными мерами, принимаемыми «ападом (например, —Ўј) дл€ охраны своих рабочих мест от наплыва лучше подготовленных иностранных аспирантов и докторантов (в основном из  ита€ и из –оссии).

»з сказанного видно, что выбор значени€ параметра c €вл€етс€ чрезвычайно важным моментом управлени€ эксплуатацией попул€ции x. —трем€сь к увеличению квоты эксплуатации c, разумна€ планирующа€ организаци€ не должна превосходить критический уровень (в нашем случае cШ1/4). ќптимизаци€ приводит к выбору именно критического значени€ c= 1/4, при котором эксплуатируема€ попул€ци€ еще не уничтожаетс€, но доход от эксплуатации за единицу времени достигает максимально возможного значени€ c = 1/4 (больший доход в нашей попул€ции в течение длительного времени невозможен, так как максимальна€ скорость прироста даже и неэксплуатируемой попул€ции есть 1/4).

»з нижней части рис. 6 мы видим, что произойдет при таком "оптимальном" выборе, c= 1/4.  акова бы ни была начальна€ попул€ци€ x > 1/2, с течением времени она выйдет на стационарный режим A=B = 1/2. Ёта стационарна€ попул€ци€, однако, неустойчива. Ќебольшое случайное уменьшение x приводит к полному уничтожению попул€ции за конечное врем€.

—ледовательно, оптимизаци€ параметров плана может приводить (и приводит во многих случа€х, из которых наша модель -- лишь простейший пример) к полному уничтожению планируемой системы вследствие возникающей из-за оптимизации неустойчивости.

Ќаша м€гка€ модель, при всей своей очевидной примитивности, позвол€ет, однако, предъ€вить способ борьбы с указанным злом. ќказываетс€, устойчивость восстанавливаетс€, если заменить жесткое планирование обратной св€зью. »ными словами, решение о величине эксплуатации (квоты вылова, налогового пресса и т. д.) следует принимать не директивно (c=const), а в зависимости от достигнутого состо€ни€ системы:

c=kx,

где параметр k ("дифференциальна€ квота") подлежит выбору.


–ис. 7. ”стойчива€ система с обратной св€зью.

¬ этом случае модель принимает вид (рис. 7)

=x-x2-kx.

ѕри k<1 с течением времени устанавливаетс€ стационарное состо€ние B, которое устойчиво. —редний многолетний "доход" c =kx в этом состо€нии оптимален, когда пр€ма€ y=kx проходит через вершину параболы y = x-x2, т. е. при k = 1/2. ѕри этом выборе дифференциальной квоты k средний "доход" c= 1/4 достигает максимального возможного в нашей системе значени€. Ќо, в отличие от жестко планируемой системы, система с обратной св€зью устойчива и при оптимальном значении коэффициента k (небольшое случайное уменьшение по отношению к стационарному уровню x=B приводит к автоматическом восстановлению стационарного уровн€ силами самой системы).

Ѕолее того, небольшое отклонение коэффициента от оптимального значени€ k= 1/2 приводит не к самоуничтожению системы (как это было при небольшом отклонении от оптимального жесткого плана c), а лишь к небольшому уменьшению "дохода".

»так, введение обратной св€зи (т. е. зависимости принимаемых решений от реального состо€ни€ дел, а не только от планов) стабилизирует систему, котора€ без обратной св€зи разрушилась бы при оптимизации параметров.

¬се сказанное выше останетс€ справедливым и дл€ м€гкой модели (с соответствующим пересчетом коэффициентов). —ледует подчеркнуть, что именно эта независимость от деталей жесткой модели (которые, как правило, не слишком хорошо известны) делает выводы м€гкого моделировани€ полезными.

ѕопытки заменить м€гкое моделирование жестким обычно привод€т к иерархии все более сложных и громоздких математических построений, исследование которых доставл€ет прекрасный материал дл€ большого количества диссертаций, но реальна€ ценность которых зачастую не превосходит в сущности простых (хот€ без математики и не очевидных) выводов, основанных на анализе именно простейших моделей, подобных описанной выше.


1»менно, в каждой точке, изображающей состо€ни€, приложен вектор скорости изменени€ этого состо€ни€, т. е. . —м, например [10], с. 32.

—ледующий раздел


ѕосмотреть комментарии[1]
 Copyright © 2000-2015, –ќќ "ћир Ќауки и  ультуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 яндекс цитировани€