Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Геометрия и топология | Популярные статьи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение

Гипотеза Эйлера и изгибаемые многогранники

Вопрос, однозначно ли задаётся форма многогранной поверхности своими гранями или она может меняться за счёт изменения двугранных углов, интересовал математиков задолго до Коши. В XI книге знаменитых " Начал" Евклида многогранники определяются как равные, если они составлены из соответственно равных граней, взятых в одинаковом порядке. Впоследствии многие высказывали мнение, что это, собственно, не определение, а утверждение, нуждающееся в доказательстве. При этом все верили в его справедливость, а в 1776 году великий математик Леонард Эйлер высказал гипотезу: " Замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвётся". Под " замкнутой пространственной фигурой" понималось то, что сейчас принято называть замкнутой поверхностью, т. е. поверхностью без края. Таким образом, предположение Эйлера относилось не только к многогранным, но и к произвольным поверхностям. Теорема Коши подтвердила гипотезу Эйлера в случае выпуклых многогранников, а также то, что равенство выпуклых многогранников можно определять по Евклиду.

Теорема Коши позволяет также ослабить определение правильных многогранников (тел Платона). Напомним, что правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все грани суть равные правильные многоугольники и двугранные углы попарно равны. Так вот, вместо равенства углов достаточно потребовать лишь, что в каждой вершине сходится равное число граней. Равенство двугранных углов будет следовать из теоремы Коши.

На протяжении двух веков геометры верили, что не только любой выпуклый, но и любой невыпуклый многогранник тоже неизгибаем. Первые сомнения в этом зародились в 1897 году, после того как французский математик Р. Брикар нашёл первые контрпримеры к гипотезе Эйлера. Правда, эти изгибаемые многогранники, так называемые октаэдры Брикара, --- не совсем привычные многогранники: они самопересекаются.


а)б)
Рис. 9.

Идея Брикара очень остроумна. Возьмём в пространстве четырёхугольник ABCD с равными противоположными сторонами: AB=CD, BC=AD. Если это плоский четырёхугольник, то ABCD --- знакомый нам параллелограмм (рис. 9, a). Через точку O пересечения его диагоналей проведём прямую l, перпендикулярную к плоскости ABCD. Заметим, что при повороте вокруг этой прямой на 180o параллелограмм переходит в себя.

Пусть теперь ABCD --- пространственный четырёхугольник, т. е. вершины A, B, C, D не лежат в одной плоскости (рис. 9, ). Его диагонали AC и BD лежат на скрещивающихся прямых. Проведём через середины O1 и O2 диагоналей прямую l. Так как в данном четырёхугольнике противоположные стороны равны (AB=CD, BC=AD), прямая l, как нетрудно доказать, перпендикулярна обеим диагоналям. Поэтому при повороте вокруг прямой l на 180o вершины A и C, а также B и D меняются местами и, следовательно, четырёхугольник ABCD переходит в себя.


а)б)
Рис. 10.

Возьмём теперь вне прямой l точку S и построим четыре треугольника SAB, SBC, SCD и SDA (рис. 10, а). Эти треугольники образуют четырёхгранный угол. В школьном курсе геометрии доказывается, что плоские углы трёхгранного угла задают этот трёхгранный угол однозначно. Однако если число граней у пространственного угла больше трёх, то такой однозначности нет. Очевидно, что четырёхгранный угол SABCD допускает непрерывную деформацию. При таком изгибании четырёхугольник ABCD непрерывно деформируется в четырёхугольник A'B'C'D' с соответственно равными сторонами, а ось поворота l четырёхугольника ABCD переходит в ось l' четырёхугольника A'B'C'D'.

При повороте вокруг оси l на 180o пространственный угол SABCD переходит в конгруэнтный угол S1CDAB (рис. 10, б). Совокупность восьми треугольников SAB, SBC, SCD, SDA, S1AB, S1BC, S1CD и S1DA удовлетворяет всем условиям в определении многогранника. Правда, некоторые грани этого многогранника пересекают друг друга. Этот самопересекающийся многогранник и есть октаэдр Брикара.

Почему октаэдр Брикара изгибаем? Половинка октаэдра, очевидно, изгибается. Вторая половинка получается из первой поворотом вокруг оси l, и, следовательно, её деформация в точности повторяет деформацию первой половинки. Значит, и весь октаэдр Брикара изгибаем.


а)
б)
в)
Рис. 11.

В 1970-е годы выяснилось, что Эйлер в своём предположении был " почти" прав... и не прав. Почти прав, потому что, как было установлено в 1975 году, " почти все" многогранники неизгибаемы. " Почти все" означает, что неизгибаемые многогранники составляют в некотором смысле " подавляющее большинство". Два года спустя, в 1977 году, американский геометр Роберт Коннелли построил первые примеры изгибаемых многогранников и тем самым опроверг гипотезу Эйлера. На рис. 11, а изображён изгибаемый многогранник с девятью вершинами, построенный в 1979 году немецким геометром Клаусом Штеффеном. Развёртка многогранника Штеффена показана на рис. 11, в. Разный вид пунктирных линий на развёртке означает, что грани перегибаются вдоль этих линий сгиба в разные стороны. На рис. 11, б показана схема " сборки" многогранника Штеффена. Возможно, что девять --- это наименьшее число вершин у изгибаемых несамопересекающихся многогранников.

Следующий раздел


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования