Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука | Задачи
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
 См. также

Популярные статьиМ.Н. Вялый "Сложность вычислительных задач": Состояние машины Тьюринга

Книги"Введение в криптографию" под редакцией В.В.Ященко: sl5.6.

НовостиЧисло пи содержит всё - причем поровну!

Популярные статьиИнформация, термодинамика и конструкция биологических систем: СМЫСЛ БИОЛОГИЧЕСКОЙ УПОРЯДОЧЕННОСТИ

Популярные статьиС.Г. Инге-Вечтомов. Трансляция как способ существования живых систем, или в чем смысл "бессмысленных"

Популярные заметкиГемофилия

Обзорные статьиА.С. Спирин. Принципы функционирования рибосом

Популярные статьиС.Г. Инге-Вечтомов. Трансляция как способ существования живых систем, или в чем смысл "бессмысленных": (1)

Книги"Введение в криптографию" под редакцией В.В.Ященко: Схема электронной подписи Лампорта

последовательность троек
13.10.2000 0:00 | МЦНМО

    В последовательности троек целых чисел (2,3,5), (6,15,10)... каждая тройка получается из предыдущей таким образом: первое число умножается на второе, второе - на третье, а третье - на первое, и полученные произведения дают новую тройку. Докажите, что ни одно из чисел, получаемых таким образом, не будет степенью целого числа: квадратом, кубом и т.д.
  • Хочу подсказку


  •     Решение:
    Легко проверить, что каждая тройка имеет вид: (2a3b5c, 2b3c5a, 2c3b5b), где a,b,c - некоторые целые числа. Тройка показателей (a',b',c') для следующей тройки чисел получается из предыдущей тройки показателей (a,b,c) по правилу: (a',b',c')=(a+b,b+c,c+a). Начальная тройка показателей равна (1,0,0). Некоторое из чисел какой-либо тройки является степенью тогда и только тогда, когда числа из тройки показателей будут делиться на одно и то же натуральное число, большее 1. Легко проверить, что в тройке показателей либо одно число четно, а два другие нечетны, либо одно число нечетно, а два другие четны, поэтому показатели a,b,c из одной тройки не могут делиться на 2. Осталось показать, что показатели не делятся ни на какое нечетное число. Предположим противное: пусть a',b',c' делятся на нечетное p. Тогда a+b,b+c,c+a делятся на p. Сложив эти числа, получим, что 2(a+b+c) делится на p, и, следовательно, a+b+c делится на p, поскольку p нечетно. Отсюда a=(a+b+c)-(b+c) делится на p. Таким же образом, b и c делятся на p, тем самым мы осуществили спуск к предыдущей тройке показателей. Рассуждая так дальше, в конце мы получим, что каждое из чисел первой тройки показателей (1,0,0) делится на p, что неверно. Полученное противоречие завершает доказательство.


    Написать комментарий
     Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования