Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посмотрите новые поступления ... Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций
 Посмотреть комментарии[2]  Добавить новое сообщение
next up previous contents index
Next: 25 тензорное произведение Previous: 23 сопряженное (двойственное) пространство

Subsections


24 Тензоры

1 Полилинейные функции.

В первой главе мы изучили линейные и билинейные функции в $ n$-мерном аффинном пространстве. Их естественным обобщением являются полилинейные функции, зависящие от произвольного числа векторов. При этом мы будем рассматривать функции, зависящие как от векторов из $ R$, так и от векторов из $ R'$.

Определение 24.1   Полилинейной функцией

$\displaystyle l(x,y,\dots; f,g,\dots),$

зависящей от $ p$ векторов $ x,y,\ldots\in
R$ и $ q$ векторов $ f,g,\ldots\in R'$ ($ R'$ -- пространство, сопряженное к $ R$), называется функция, линейная относительно каждого из аргументов, когда остальные аргументы фиксированы.

Например, если зафиксированы все векторы, кроме первого, то

\begin{displaymath}
\begin{aligned}
l(x'+x'',y,\dots; f,g,\dots) &=
=l(x',y,\dot...
...s; f,g,\dots) &=
\lambda l(x,y,\dots; f,g,\dots).
\end{aligned}\end{displaymath}

Аналогично

\begin{displaymath}
\begin{aligned}
l(x,y,\dots; f'+f'',g,\dots) &=
=l(x,y,\dots...
...s; \mu f,g,\dots) &=
\mu l(x,y,\dots; f,g,\dots).
\end{aligned}\end{displaymath}

То же самое и для других аргументов.

Полилинейную функцию, зависящую от $ p$ векторов из $ R$ (контравариантных векторов) и $ q$ векторов из $ R'$ (ковариантных векторов) мы будем называть полилинейной функцией типа $ (p,q)$. Рассмотрим некоторые полилинейные функции.

Простейшие полилинейные функции -- это функции типа $ (1,0)$ и типа $ (0,1)$.

Полилинейная функция типа $ (1,0)$ -- это линейная функция от одного вектора в пространстве $ R$, т.е. вектор пространства $ R'$ (ковариантный вектор).

Аналогично, как это было показано в п.3 предыдущего параграфа, полилинейная функция типа $ (0,1)$ задает вектор из $ R$ (контравариантный вектор).

Полилинейные функции, зависящие от двух векторов (билинейные функции), бывают трех типов:

$ \alpha$) функции, зависящие от двух векторов из пространства $ R$, -- это введенные в §4 билинейные функции в пространстве $ R$;

$ \beta$) функции, зависящие от двух векторов в пространстве $ R'$, -- это билинейные функции в $ R'$;

$ \gamma$) функции, зависящие от одного вектора из $ R$ и одного вектора из $ R'$.

Функции третьего типа тесно связаны с линейными преобразованиями. Действительно, пусть

$\displaystyle y=Ax$

-- линейное преобразование в $ R$. Построим билинейную функцию

$\displaystyle (f,Ax),$

линейно зависящую от векторов $ x\in R$ и $ f\in R'$.

Мы можем, таким образом, каждому линейному преобразованию в $ R$ однозначно сопоставить билинейную функцию типа $ \gamma$.


Как и в §11 главы II, можно доказать и обратное, т.е. что каждой билинейной функции типа $ \gamma$ отвечает линейное преобразование в $ R$.


2 Выражения для полилинейной функции в данной системе координат. Переход от одной системы координат к другой.

Выясним, как выражается полилинейная функция через координаты тех векторов, от которых она зависит. Для того чтобы не писать слишком длинных формул, проведем рассмотрение на случае полилинейной функции $ l(x,y; f)$, зависящей от двух векторов из $ R$ и одного вектора из $ R'$ [функция типа $ (2, 1)$].

Выберем в $ R$ некоторый базис $ e_1, e_2, \dots, e_n$, а в $ R'$ -- взаимный с ним базис $ f^1, f^2, \dots,
f^n$. Пусть

$\displaystyle x=\xi^ie_i,\quad y=\eta^je_j,\quad f=\zeta_kf^k.
$

Тогда

$\displaystyle l(x,y; f)=l(\xi^ie_i,\eta^je_j; \zeta_kf^k)=
\xi^i\eta^j\zeta_kl(e_i,e_j; f^k).
$

Итак: при заданных в $ R$ и соответственно в $ R'$ базисах $ e_1, e_2, \dots, e_n$ и $ f^1, f^2, \dots,
f^n$ полилинейная функция $ l(x,y; f)$ записывается в виде

$\displaystyle l(x,y; f)=a_{ij}^k\xi^i\eta^j\zeta_k,$

где $ \xi^i$, соответственно $ \eta^j$, соответственно $ \zeta_k$ -- координаты вектора $ x$, соответственно $ y$, соответственно $ f$. Числа $ a_{ij}^k$, определяющие функцию $ l(x,y; f)$, задаются формулой

$\displaystyle a_{ij}^k=l(e_i,e_j; f^k)
$

и зависят, таким образом, от выбора базисов в $ R$ и $ R'$.

Аналогичная формула имеем место для полилинейной функции общего вида:

$\displaystyle l(x,y,\dots; f,g,\dots)=a_{ij\dots}^{rs\dots}  \xi^i\eta^j\dots\lambda_r\mu_s\dots,$ (1)

где числа $ a_{ij\dots}^{rs\dots}$, определяющие полилинейную функцию, вычисляются по формулам

$\displaystyle a_{ij\dots}^{rs\dots}= l(e_i,e_j,\dots; f^r,f^s,\dots).$ (2)

Выясним теперь, как изменяется система чисел, определяющая полилинейную форму, при изменении базиса.

Пусть в $ R$ задан базис $ e_1, e_2, \dots, e_n$ и в $ R'$ -- взаимный с ним базис $ f^1, f^2, \dots,
f^n$. Перейдем к новому базису $ e'_1, e'_2, \dots, e'_n$ в $ R$ и взаимному с ним базису $ f'{}^1, f'{}^2, \dots, f'{}^n$ в $ R'$.

Пусть переход от базиса $ e_1, e_2, \dots, e_n$ к базису $ e'_1, e'_2, \dots, e'_n$ задается формулами

$\displaystyle e'_\alpha=c_\alpha^\beta e_\beta.$ (3)

Тогда переход от базиса $ f^1, f^2, \dots,
f^n$ к базису $ f'{}^1, f'{}^2, \dots, f'{}^n$ задается формулами

$\displaystyle f'{}^\beta=b_\alpha^\beta f^\alpha,$ (4)

где $ \Vert b_\alpha^\beta\Vert$ -- матрица, транспонированная к матрице, обратной к $ \Vert c_\alpha^\beta\Vert$.

Формула (3) показывает, что числа $ c_\alpha^\beta$ при фиксированном $ \alpha$ являются координатами вектора $ e'_\alpha$ в базисе $ e_1, e_2, \dots, e_n$. Аналогично числа $ b_\alpha^\beta$ при фиксированном $ \beta$ являются координатами вектора $ f'{}^\beta$ в базисе $ f^1, f^2, \dots,
f^n$.

Найдем систему чисел $ a_{ij\dots}^{\prime rs\dots}$, определяющих нашу полилинейную функцию в базисах $ e'_1, e'_2, \dots, e'_n$ и $ f'{}^1, f'{}^2, \dots, f'{}^n$. Мы знаем, что

$\displaystyle a_{ij\dots}^{\prime rs\dots}=
l(e'_i,e'_j,\dots; f'{}^r,f'{}^s,\dots).
$

Поэтому, чтобы найти $ a_{ij\dots}^{rs\dots}$, мы должны в формулу (1) вместо $ \xi^i, \eta^j, \dots; \lambda_r, \mu_s,
\dots$ подставить координаты векторов $ e'_i, e'_j, \dots; f'{}^r,
f'{}^s, \dots$, т.е. числа $ c_i^\alpha, c_j^\beta, \dots;
b_\sigma^r, b_\tau^s, \dots$. Мы получаем таким образом:

$\displaystyle a_{ij\dots}^{\prime rs\dots}=
c_i^\alpha c_j^\beta\dots b_\sigma^rb_\tau^s\dots
a_{\alpha\beta\dots}^{\sigma\tau\dots}.
$

Итак, система чисел $ a_{ij\dots}^{rs\dots}$, определяющих полилинейную функцию $ l(x,y,\dots; f,g,\dots)$ во взаимных базисах $ e_1, e_2, \dots, e_n$ и $ f^1, f^2, \dots,
f^n$, при переходе к новым взаимным базисам $ e'_1, e'_2, \dots, e'_n$ и $ f'{}^1, f'{}^2, \dots, f'{}^n$ преобразуется по формулам

$\displaystyle a_{ij\dots}^{\prime rs\dots}= c_i^\alpha c_j^\beta\dots b_\sigma^rb_\tau^s\dots a_{\alpha\beta\dots}^{\sigma\tau\dots},$ (5)

где $ \Vert c_i^j\Vert$ -- матрица, определяющая преобразование базиса $ e_1, e_2, \dots, e_n$, а $ \Vert b_i^j\Vert$ -- матрица, определяющая преобразование взаимного с ним базиса $ f^1, f^2, \dots,
f^n$.

Это можно выразить следующей фразой: на нижние индексы системы чисел $ a_{ij\dots}^{rs\dots}$ действует матрица $ \Vert c_i^j\Vert$, на верхние индексы -- матрица $ \Vert b_i^j\Vert$ (ср. §23, п.4, где рассмотрены формулы для преобразования координат ковариантного и контравариантного векторов).

3 Определение тензора.

Объекты, с которыми мы встречались на протяжении этой книги (векторы, линейные функции, линейные преобразования, билинейные функции и т.д.), определялись в каждом базисе своей системой чисел. Например, вектор определялся в каждом базисе системой $ n$ чисел -- своими координатами. Линейная функция определяется в каждом базисе также системой $ n$ чисел -- своими коэффициентами. Линейное преобразование определяется в каждом базисе системой $ n^2$ чисел -- матрицей линейного преобразования. Билинейная функция определяется в каждом базисе системой $ n^2$ чисел -- матрицей этой билинейной формы. При переходе от одной системы координат (базиса) к другой система чисел, определяющая данный объект, преобразуется определенным образом, причем закон преобразования различен для различных объектов. Например, как вектор из $ R$, так и линейная функция в $ R$ задаются системой $ n$ чисел, однако при переходе к другому базису они преобразуются по-разному. Для полной характеристики встречающейся величины мы должны задать не только значения соответствующих чисел в какой-либо системе координат, но и закон преобразования соответствующей совокупности чисел при переходе к другой системе координат.

В пунктах 1 и 2 этого параграфа мы ввели понятие полилинейной функции, которая определяется в каждом данном базисе системой $ n^k$ чисел (2), преобразующихся при переходе к другому базису по формулам (5)). В связи с ним вводится следующее определение, играющее важную роль во многих разделах физики, геометрии и алгебры.

Определение 24.2   Если каждой системе координат в $ n$-мерном аффинном пространстве отнесена система $ n^{p+q}$ чисел $ a_{ij\dots}^{rs\dots}$ (число нижних индексов обозначено через $ p$, верхних -- через $ q$), причем при переходе от одной системы координат к другой эти числа преобразуются по формуле

$\displaystyle a_{ij\dots}^{\prime rs\dots}= c_i^\alpha c_j^\beta\dots b_\sigma^rb_\tau^s\dots a_{\alpha\beta\dots}^{\sigma\tau\dots},$ (6)

где $ \Vert c_i^j\Vert$ -- матрица, задающая переход от одного базиса в $ R$ к другому, а $ \Vert b_i^j\Vert$ -- матрица, транспонированная к матрице, обратной к $ \Vert c_i^j\Vert$, то мы говорим, что нам задан тензор. Этот тензор называется $ p$ раз ковариантным и $ q$ раз контравариантным. Число $ p+q$ называется рангом (валентностью) тензора. Сами числа $ a_{ij\dots}^{rs\dots}$ называются компонентами тензора.

Так как система чисел, определяющих полилинейную функцию от $ p$ векторов из $ R$ и $ q$ векторов из $ R'$, при изменении базиса преобразуется как раз по формуле (6), то каждой такой полилинейной функции однозначно соответствует тензор ранга $ p+q$, $ p$ раз ковариантный и $ q$ раз контравариантный. Обратно, каждому тензору однозначно отвечает полилинейная функция. В дальнейшем свойства тензоров и операции над ними мы будем изучать на ``модели'' полилинейных функций, хотя, конечно, полилинейные функции являются лишь одной из возможных реализаций тензоров.

Приведем некоторые примеры тензоров.

1. Скаляр. Если каждой системе координат отнесено одно и то же фиксированное число $ a$, то его формально можно также считать тензором, а именно -- тензором нулевого ранга. Тензор нулевого ранга называется скаляром.

2. Контравариантный вектор. Вектору из $ R$ в каждом базисе соответствует совокупность $ n$ его координат, которые при переходе к другому базису преобразуются по формулам

$\displaystyle \eta'{}^i=b_j^i\eta^j$

и, следовательно, представляют собой контравариантный тензор ранга 1.

3. Линейная функция (ковариантный вектор). Числа $ a_i$, определяющие линейную функцию, преобразуются по формулам

$\displaystyle a'_i=c_i^ja_j
$

и, следовательно, образуют ковариантный тензор ранга 1.

4. Билинейная функция. Пусть $ A(x; y)$ -- билинейная форма в пространстве $ R$. Отнесем каждому базису матрицу данной билинейной формы в этом базисе. Мы получим при этом тензор ранга два, дважды ковариантный.

Аналогично, билинейная форма от векторов $ x\in R$, $ f\in R'$ определяет тензор ранга два, один раз ковариантный и один раз контравариантный, а билинейная форма от векторов $ f,g\in R'$ определяет тензор, дважды контравариантный.

5. Линейные преобразования. Пусть $ A$ -- линейное преобразование в пространстве $ R$. Отнесем каждому базису матрицу $ \Vert a_i^k\Vert$ преобразования $ A$ в этом базисе, т.е. положим

$\displaystyle Ae_i=a_i^ke_k.
$

Покажем, что $ \Vert a_i^k\Vert$ есть тензор ранга два, один раз ковариантный и один раз контравариантный. Действительно, пусть переход к новому базису задается формулой

$\displaystyle e'_i=c_i^\alpha e_\alpha$

и, следовательно, обратный переход -- формулой

$\displaystyle e_i=b_i^\alpha e'_\alpha,$   где$\displaystyle \quad
b_i^\alpha c_\alpha^k=\delta_i^k.
$

Тогда

$\displaystyle Ae'_i=Ac_i^\alpha e_\alpha=c_i^\alpha Ae_\alpha=
c_i^\alpha a_\alpha^\beta e_\beta=
c_i^\alpha a_\alpha^\beta b_\beta^ke'_k.
$

Таким образом, матрица $ \Vert a'_i{}^k\Vert$ преобразования $ A$ в базисе $ e'_i$ имеет вид

$\displaystyle a'_i{}^k=a_\alpha^\beta c_i^\alpha b_\beta^k,
$

что и доказывает, что матрица линейного преобразования $ A$ есть тензор второго ранга, один раз ковариантный и один раз контравариантный.

В частности, единичному преобразованию $ E$ в каждом базисе соответствует единичная матрица, т.е. система чисел

\begin{displaymath}
\delta_i^k=\left\{
\begin{aligned}
1\quad\text{при}&\quad i=k,\\
0\quad\text{при}&\quad i\ne k.
\end{aligned}\right.
\end{displaymath}

Таким образом, $ \delta_i^k$ представляет собой простейший тензор ранга два, один раз ковариантный и один раз контравариантный. Тензор $ \delta_i^k$ интересен тем, что его компоненты в любой системе координат одни и те же.


Упражнение   Показать непосредственно, что если в каждой системе координат задать систему чисел

\begin{displaymath}
\delta_i^k=\left\{
\begin{aligned}
1\quad\text{при}&\quad i=k,\\
0\quad\text{при}&\quad i\ne k,
\end{aligned}\right.
\end{displaymath}

то это будет тензор.


Докажем теперь два простых предложения о тензорах.

Пусть имеются два тензора одинакового типа. Тогда для равенства тензоров достаточно, чтобы их компоненты в каком-нибудь базисе были соответственно равны. Другими словами, из того, что компоненты этих двух тензоров равны в какой-либо системе координат, следует, что их компоненты соответственно равны в произвольной системе координат. Это предложение очевидно; действительно, так как оба тензора одинакового типа (т.е. имеют одно и то же число ковариантных и контравариантных индексов), то они преобразуются по одним и тем же формулам, и так как их компоненты в одной системе координат по предположению равны, то они равны и в любой другой системе координат. Заметим, что предположение, что оба тензора одинакового типа, является совершенно обязательным. Например, как билинейная форма, так и линейное преобразование определяются в данной системе координат матрицей. Однако из совпадения матриц линейного преобразования и билинейной формы в одной какой-либо системе координат не следует их совпадение в другой.

При заданных $ p$ и $ q$ мы можем построить тензор типа $ (p,q)$, компоненты которого в каком-нибудь одном базисе равны $ n^{p+q}$ наперед заданным числам. Докажем это.

Пусть в некотором базисе нам задана система чисел $ a_{ij\dots}^{rs\dots}$. Этими числами задается полилинейная функция $ l(x,y,\dots; f,\dots)$ по формуле (1) п.2 этого параграфа, где $ \xi^i$, соотв. $ \eta^j$ и т.д., -- координаты векторов $ x$, соотв. $ y$ и т.д. в базисе $ e_i$. Так как с полилинейной функцией однозначно связан тензор, то мы получили тем самым тензор, удовлетворяющий поставленным условиям.

4 Тензоры в евклидовом пространстве.

Если $ R$ есть $ n$-мерное евклидово пространство, то, как мы видели в п.5 §23, можно установить изоморфное соответствие между $ R$ и $ R'$ так, что если $ y\in R$ соответствует элементу $ f\in R'$, то

$\displaystyle (f,x)=(y,x)$

для любого $ x\in R$.

Если мы теперь в полилинейной функции, зависящей от $ p$ векторов $ x, y, \dots$ из $ R$ и $ q$ векторов $ f, g, \dots$ из $ R'$ заменим векторы из $ R'$ им соответствующими векторами $ u,v, \dots$ из $ R$ ,то мы получим полилинейную функцию $ l(x,y,\dots; u,v,\dots)$, зависящую от $ p+q$ векторов из $ R$.

Найдем коэффициенты функции $ l(x,y,\dots; u,v,\dots)$ по коэффициентам функции $ l(x,y,\dots; f,g,\dots)$.

Пусть $ a_{ij\dots}^{rs\dots}$ -- коэффициенты полилинейной функции $ l(x,y,\dots; f,g,\dots)$, т.е.

$\displaystyle a_{ij\dots}^{rs\dots}=
l(e_i,e_j,\dots; f^r,f^s,\dots),
$

и пусть $ b_{ij\dots rs\dots}$ -- коэффициенты полилинейной функции $ l(x,y,\dots; u,v,\dots)$, т.е.

$\displaystyle b_{ij\dots rs\dots}=
l(e_i,e_j,\dots; e_r,e_s,\dots).
$

Мы доказали в п.5 §23, что в евклидовом пространстве векторы $ e_k$ базиса, биортогонального $ f^i$, выражаются через векторы базиса $ f^i$ по формулам

$\displaystyle e_r=g_{r\alpha}f^\alpha,$

где

$\displaystyle g_{ik}=(e_i,e_k).$

Подставляя вместо $ e_r$, $ \dots$ их выражения, получаем

\begin{displaymath}
\begin{aligned}
b_{ij\dots rs\dots}&=
l(e_i,e_j,\dots; e_r,e...
...}g_{\beta s}\dots
a_{ij\dots}^{\alpha\beta\dots}.
\end{aligned}\end{displaymath}

Ввиду установленного соответствия между полилинейными функциями и тензорами мы можем сформулировать полученный результат для тензоров:

Если $ a_{ij\dots}^{rs\dots}$ -- тензор, построенный в евклидовом пространстве, $ p$ раз ковариантный и $ q$ раз контравариантный, то по нему можно построить новый тензор $ b_{ij\dots rs\dots}$, являющийся $ p+q$ раз ковариантным. Эта операция называется операцией опускания индексов. Она определяется формулой

$\displaystyle b_{ij\dots rs\dots}=
g_{\alpha r}g_{\beta s}\dots
a_{ij\dots}^{\alpha\beta\dots}.
$

$ g_{ik}$ является дважды ковариантным тензором. Действительно, $ g_{ik}=(e_i,e_k)$ представляют собой в данной системе координат коэффициенты некоторой билинейной формы, а именно скалярного произведения. Ввиду его связи со скалярным произведением (метрикой) пространства тензор $ g_{ik}$ называется метрическим тензором.

Совершенно аналогично операции опускания индексов можно ввести операцию поднимания индексов с помощью формулы

$\displaystyle b^{ij\dots rs\dots}=
g^{\alpha i}g^{\beta j}\dots
a^{rs\dots}_{\alpha\beta\dots},
$

где $ g^{ik}$ имеет смысл, указанный в §23, п.5.


Упражнение   Показать, что $ g^{ik}$ -- дважды ковариантный тензор.


5 Операции над тензорами.

Ввиду установленной связи между тензорами и полилинейными функциями мы будем определять операции над полилинейными функциями. Запись полученных результатов в произвольном базисе даст нам соответствующую операцию над тензорами.

Сложение тензоров. Пусть

$\displaystyle l'(x,y,\dots; f,g,\dots),\quad
l''(x,y,\dots; f,g,\dots)
$

-- две полилинейные функции от одного и того же числа векторов из $ R$ и одного и того же числа векторов из $ R'$. Определим их сумму $ l(x,y,\dots; f,g,\dots)$ формулой

$\displaystyle l(x,y,\dots; f,g,\dots)=l'(x,y,\dots; f,g,\dots)+l''(x,y,\dots; f,g,\dots).
$

Ясно, что эта сумма есть снова полилинейная функция от того же числа векторов из $ R$ и из $ R'$. Сложение тензоров определяется поэтому формулой:

$\displaystyle a_{ij\dots}^{rs\dots}=
a_{ij\dots}^{\prime rs\dots}+
a_{ij\dots}^{\prime\prime rs\dots}.
$

Умножение тензоров. Пусть

$\displaystyle l'(x,y,\dots; f,g,\dots)$   и$\displaystyle \quad
l''(z,\dots; h,\dots)
$

-- две полилинейные функции, из которых первая зависит от $ p'$ векторов из $ R$ и $ q'$ векторов из $ R'$, а вторая -- от $ p''$ векторов из $ R$ и $ q''$ векторов из $ R'$. Определим функцию $ l(x,y,\dots,z,\dots; f,g,\dots,h,\dots)$ формулой

$\displaystyle l(x,y,\dots,z,\dots; f,g,\dots,h,\dots)
=l'(x,y,\dots; f,g,\dots)l''(z,\dots; h,\dots).
$

Функция $ l$ называется произведением полилинейных функций $ l'$ и $ l''$. Покажем, что $ l$ есть полилинейная функция, зависящая от $ p'+p''$ векторов из $ R$ и $ q'+q''$ векторов из $ R'$. Действительно, при проверке того, что

$\displaystyle l(x,y,\dots,z,\dots; f,g,\dots,h,\dots)
$

есть полилинейная функция, мы фиксируем, по очереди, все векторы, кроме одного; при этом ясно, что $ l$ есть линейная функция от вектора, оставшегося незафиксированным.

Выразим компоненты тензора, отвечающего произведению полилинейных функций $ l'$ и $ l''$, через компоненты тензоров, отвечающих самим этим полилинейным функциям. Так как

$\displaystyle a_{ij\dots}^{\prime rs\dots}=
l'(e_i,e_j,\dots; f^r,f^s,\dots),
$

и

$\displaystyle a_{ij\dots}^{\prime\prime rs\dots}=
l''(e_i,e_j,\dots;f^r,f^s,\dots),
$

то

$\displaystyle a_{ijkl\dots}^{rstu\dots}=
a_{ij\dots}^{rs\dots}
a_{kl\dots}^{tu\dots}
$

Эта формула определяет, таким образом, произведение двух тензоров.

Свертка тензора. Пусть $ l(x,y,\dots; f,g,\dots)$ -- полилинейная функция, зависящая от $ p$ векторов $ x, y, \dots$ из $ R$ $ (p\geqslant1)$ и $ q$ векторов $ f, g, \dots$ из $ R'$ $ (q\geqslant1)$. Мы построим по ней полилинейную функцию, зависящую от $ p-1$ векторов из $ R$ и $ q-1$ векторов из $ R'$. Выберем для этого какой-либо базис $ e_1, e_2, \dots, e_n$ в $ R$ и взаимный с ним базис $ f^1, f^2, \dots,
f^n$ в $ R'$. Будем теперь вместо $ x$ и $ f$ подставлять соответственно $ e_1, f^1; e_2, f^2;
\dots; e_n, f^n$ и рассмотрим сумму 5.3

$\displaystyle l'(y,\dots; g,\dots)= l(e_\alpha,y,\dots; f^\alpha,g,\dots).$ (7)

Ясно, что каждое слагаемое, а значит и вся сумма, есть полилинейная функция от $ y, \dots$ и $ g, \dots$ Покажем, что, хотя каждое слагаемое зависит от выбора базиса, построенная нами сумма от выбора базиса уже не зависит.

Перейдем для этого к другому базису $ e'_1, e'_2, \dots, e'_n$ и соответственно к взаимному с ним базису $ f'{}^1, f'{}^2, \dots, f'{}^n$. Так как мы не меняем при этом векторов $ y,\ldots $ и $ g,
\ldots$, то мы можем их фиксировать и доказывать наше утверждение для билинейной формы $ A(x; f)$. Итак, нам нужно доказать, что если $ A(x; f)$ -- билинейная форма, то

$\displaystyle A(e_\alpha; f^\alpha)=A(e'_\alpha; f'{}^\alpha).
$

Если переход от базиса $ e_1, e_2, \dots, e_n$ к базису $ e'_1, e'_2, \dots, e'_n$ задается формулой

$\displaystyle e'_k=c_i^ke_k,$

то переход от базиса $ f^1, f^2, \dots,
f^n$ к базису $ f'{}^1, f'{}^2, \dots, f'{}^n$ задается формулой

$\displaystyle f^k=c_i^kf'{}^i.$

Поэтому

\begin{displaymath}
\begin{aligned}
A(e'_\alpha; f'{}^\alpha)&=
A(c_\alpha^k e_k...
...\
&=A(e_k; c_\alpha^k f'{}^\alpha)=A(e_k; f^k),
\end{aligned}\end{displaymath}

т.е. $ A(e_\alpha; f^\alpha)$ действительно не зависит от системы координат.

Найдем по коэффициентам формы $ l(x,y,\dots; f,g,\dots)$ коэффициенты формы (7). Так как

$\displaystyle a_{j\dots}^{\prime s\dots}=
l'(e_j,\dots; f^s,\dots)
$

и

$\displaystyle l'(e_j,\dots; f^s,\dots)=
l(e_\alpha,e_j,\dots; f^\alpha,f^s,\dots),
$

то

$\displaystyle a_{j\dots}^{\prime s\dots}= a_{\alpha j\dots}^{\alpha s\dots}.$ (8)

Тензор $ a_{j\dots}^{\prime s\dots}$, полученный из $ a_{ij\dots}^{rs\dots}$ по формуле (8), называется сверткой тензора $ a_{ij\dots}^{rs\dots}$.

Ясно, что свертку мы можем провести не обязательно по первому верхнему и первому нижнему индексам. Обязательно лишь, чтобы суммирование производилось по одному ковариантному и одному контравариантному индексу. Если бы мы суммировали, например, по двум нижним индексам, то полученная система чисел не образовывала бы тензора (так как при переходе от одной системы координат к другой эти числа не преобразовывались бы по предписанному тензору закону преобразования).

Заметим, что в случае свертки тензора ранга два мы получаем тензор нулевого ранга (скаляр), т.е. число, не зависящее от системы координат.

Рассмотренная нами в п.4 операция опускания индексов есть не что иное, как свертка произведения данного тензора и метрического тензора $ g_{ik}$ (взятого сомножителем соответствующее число раз). Аналогично, поднимание индексов есть свертка произведения данного тензора и тензора $ g^{ik}$.

Приведем еще пример. Пусть $ a_{ij}^k$ -- тензор ранга три, а $ b_l^m$ -- тензор ранга два. Их произведение есть тензор $ c_{ijl}^{km}=a_{ij}^kb_l^m$ ранга пять. Если теперь свернуть этот тензор, например, по индексам $ i$ и $ m$, то мы получим тензор ранга три. Если мы полученный тензор еще раз свернем, например, по индексам $ j$ и $ k$, то мы получим тензор ранга один (вектор).

Пусть $ a_i^j$ и $ b_k^l$ -- два тензора ранга два. Умножением и свертыванием можно построить по ним новый тензор ранга два:

$\displaystyle c_i^l=a_i^\alpha b_\alpha^l.$

Если тензоры $ a_i^j$ и $ b_k^l$ трактовать как матрицы линейных преобразований, то полученный тензор есть матрица произведения этих преобразований.

Мы можем также построить по данному тензору ранга два $ a_i^j$ ряд инвариантов (т.е. чисел, не зависящих от системы координат, -- скаляров), а именно:

$\displaystyle a_\alpha^\alpha, a_\alpha^\beta a_\beta^\alpha, \dots
$

Введенные нами операции над тензорами дают нам возможность по данным тензорам строить ряд новых, инвариантно связанных с ними, тензоров.

Приведем некоторые примеры.

Операцией умножения мы можем из векторов построить тензоры сколь угодно высокого ранга. Пусть, например, $ \xi^i$ -- координаты контравариантного, а $ \eta_j$ -- координаты ковариантного вектора. Тогда $ \xi^i\eta_j$ есть тензор ранга два. Аналогично, взяв большее число векторов, можно получить тензоры более высокого ранга. Заметим, что не всякий тензор можно получить умножением векторов. Можно, однако, доказать, что всякий тензор может быть получен из векторов (тензоров ранга один) операциями сложения и умножения.


Целым рациональным инвариантом от данной системы тензоров называется многочлен от компонент тензора, который не меняется при замене компонент тензоров в какой-нибудь системе координат их компонентами в другой системе координат.

Имеет место следующая теорема, которую мы не будем доказывать:

Если задана некоторая система тензоров, то всякий целый рациональный инвариант, построенный по данным тензорам, можно получить из них операциями перемножения тензоров, сложения и умножения на числа и полного свертывания (т.е. свертывания по всем индексам).


6 Симметрические и знакопеременные (антисимметрические) тензоры.

Определение 24.3   Тензор называется симметрическим по данным индексам, если при любой перестановке этих индексов компоненты тензора не меняются 5.4. Например, симметричность тензора по первым двум индексам означает, что имеет место равенство

$\displaystyle a_{ik\dots}^{st\dots}=
a_{ki\dots}^{st\dots}.
$

Если $ l(x,y,\dots; f,g,\dots)$ -- соответствующая тензору $ a_{ik\dots}^{st\dots}$ полилинейная форма

$\displaystyle l(x,y,\dots; f,g,\dots)= a_{ik\dots}^{st\dots} \xi^i\eta^k\dots\lambda_s\mu_t\dots,$ (9)

то симметричность тензора по некоторой группе индексов, как это непосредственно видно из формулы (9), эквивалентна симметричности полилинейной формы по соответствующей группе векторов. Так как для симметричности полилинейной формы по некоторой группе векторов достаточно, чтобы $ a_{ik\dots}^{st\dots}$ были симметричны по соответствующим индексам лишь в одной какой-нибудь системе координат, то отсюда следует, что если компоненты тензора симметричны в одной системе координат, то такая же симметрия будет иметь место и в любой другой системе координат.

Определение 24.4   Знакопеременным (антисимметрическим) называется тензор, который меняет знак при перемене любых двух индексов местами.

При этом предполагается, конечно, что у этого тензора все индексы одинакового характера, т.е. либо все ковариантные, либо все контравариантные.

Из определения знакопеременного тензора непосредственно следует, что при любой перестановке индексов компоненты тензора не меняются, если перестановка четная, и меняют знак, если перестановка нечетная. Знакопеременным тензорам соответствуют знакопеременные полилинейные функции.

Полилинейная функция $ l(x,y,\dots)$, зависящая от $ p$ векторов $ x, y, \dots$ из $ R$, называется знакопеременной, если при перестановке любой пары из векторов $ x, y, \dots$ знак функции меняется.

Для проверки знакопеременности полилинейной функции достаточно проверить знакопеременность компонент соответствующего ей тензора в какой-либо одной системе координат, как это непосредственно следует из формулы (9). С другой стороны, из знакопеременности полилинейной функции следует знакопеременность соответствующего ей тензора (в любой системе координат). Следовательно, если компоненты тензора знакопеременны в какой-либо одной системе координат, то это же имеет место и в любой другой системе координат, и, значит, тензор является знакопеременным (антисимметрическим).

Выясним число независимых компонент антисимметрического тензора. Пусть, например, $ a_{ik}$ есть знакопеременный тензор ранга 2. Тогда $ a_{ik}=-a_{ki}$ и, следовательно, число различных компонент равно $ \frac{n(n-1)}{2}$. Аналогично, для знакопеременного тензора $ a_{ijk}$ число различных компонент равно $ \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}$, так как компоненты с одинаковыми индексами равны нулю, а компоненты, отличающиеся лишь порядком индексов, определяются одна через другую.

Аналогично, число независимых компонент знакопеременного тензора с $ k$ индексами $ (k\leqslant n)$ равно $ C_n^k$. (Отличных от нуля знакопеременных тензоров с числом индексов больше, чем $ n$, не существует, так как у знакопеременного тензора компоненты хотя бы с двумя одинаковыми индексами равны нулю, а если число индексов превышает $ n$, то у каждой компоненты совпадают, по крайней мере, два индекса.)

Рассмотрим более подробно знакопеременный тензор с $ n$ индексами. Так как все группы по $ n$ различных индексов, принимающих значение от 1 до $ n$, отличаются лишь порядком, то у такого тензора есть лишь одна независимая компонента и он имеет, таким образом, следующий вид.

Пусть $ i_1, i_2, \dots, i_n$ -- некоторая перестановка чисел 1, 2, ..., $ n$. Положим $ a_{12\dots n}=a$. Тогда

$\displaystyle a_{i_1i_2\dots i_n}=\pm a,$ (10)

где ``$ +$'' отвечает четной подстановке, а ``$ -$'' -- нечетной.


Упражнение   Показать, что при переходе к другой системе координат число $ a_{12\dots n}=a$ умножится на определитель матрицы перехода.


Напишем полилинейную функцию, соответствующую знакопеременному тензору с $ n$ индексами. В силу формулы (10) она имеет вид:

$\displaystyle l(x,y,\dots,z)=
a_{i_1i_2\dots i_n}\xi^{i_1}\eta^{i_2}\dots\zeta^...
...&\eta_n\\
\hdotsfor[1.5]{4}\\
\zeta_1&\zeta_2&\dots&\zeta_n
\end{vmatrix}.
$

Мы доказали, таким образом, что определитель из координат векторов есть, с точностью до множителя, единственная знакопеременная полилинейная функция от $ n$ векторов в $ n$-мерном линейном пространстве.

Операция симметрирования. Мы можем по всякому тензору построить новый тензор, симметрический по некоторой наперед заданной группе индексов. Эта операция называется симметрированием и состоит в следующем.

Пусть задан некоторый тензор, например, $ a_{i_1i_2\dots i_n}$; симметрирование его, например, по первым $ k$ индексам, состоит в построении тензора

$\displaystyle a_{(i_1i_2\dots i_k)i_{k+1}\dots}=
\frac{1}{k!}\sum a_{j_1j_2\dots j_ki_{k+1}\dots},
$

где сумма распространяется по всем перестановкам $ j_1, j_2, \dots, j_k$ индексов $ i_1, i_2, \dots, i_k$. Например,

$\displaystyle a_{(i_1,i_2)}=\frac{1}{2}(a_{i_1i_2}+a_{i_2i_1}).$

Операция симметрирования тензора по группе из $ k$ индексов $ i_1, i_2, \dots, i_k$ обозначается следующим образом:

$\displaystyle a_{j_1j_2\dots j_l(i_1i_2\dots i_k)\dots}.
$

Операция альтернирования вводится аналогично операции симметрирования и дает возможность по данному тензору построить тензор, знакопеременный по данной группе индексов. Она определяется следующим образом:

$\displaystyle a_{[i_1i_2\dots i_k]i_{k+1}\dots}=
\frac{1}{k!}\sum\pm a_{j_1j_2\dots j_ki_{k+1}\dots},
$

где сумма распространяется по всем перестановкам $ j_1, j_2, \dots, j_k$ индексов $ i_1, i_2, \dots, i_k$, а знак определяется честностью или нечетностью этой перестановки. Например,

$\displaystyle a_{[i_1,i_2]}=\frac{1}{2}(a_{i_1i_2}-a_{i_2i_1}).$

Операция альтернирования обозначается скобками $ [ ]$; в них заключаются те индексы, по которым тензор альтернируется.

По всяким $ k$ векторам $ \xi^{i_1}, \eta^{i_2}, \dots, \zeta^{i_k}$ можно построить антисимметрический тензор

$\displaystyle a^{i_1i_2\dots i_k}= \xi^{[i_1}\eta^{i_2}\dots\zeta^{i_k]},$ (11)

где через $ \xi^{[i_1}\eta^{i_2}\dots\zeta^{i_k]}$ обозначен тензор, полученный альтернированием тензора $ \xi^{i_1}\eta^{i_2}\dots\zeta^{i_k}$. Как нетрудно усмотреть из написанной формулы, компонентами этого тензора являются миноры $ k$-го порядка следующей матрицы из $ n$ столбцов:

$\displaystyle \begin{pmatrix}
\xi^1&\xi^2&\dots&\xi^n\\
\eta^1&\eta^2&\dots&\eta^n\\
\hdotsfor[1.5]{4}\\
\zeta^1&\zeta^2&\dots&\zeta^n
\end{pmatrix}.
$

Построенный тензор (11) обладает тем свойством, что если к какому-либо из векторов $ \xi^{i_1}, \eta^{i_2}, \dots$ добавить линейную комбинацию остальных, то тензор $ a^{i_1\dots i_k}$ от этого не изменится.

Рассмотрим $ k$-мерное подпространство $ n$-мерного пространства $ R$. Поставим вопрос о том, чтобы охарактеризовать это $ k$-мерное подпространство системой чисел, т.е. ввести координаты подпространства.

$ k$-мерное подпространство порождается $ k$ линейно независимыми векторами $ \xi^{i_1}, \eta^{i_2}, \dots, \zeta^{i_k}$. При этом разные системы из $ k$ векторов могут породить одно и то же подпространство. Однако нетрудно показать, и мы предоставляем это читателю, что если две системы векторов порождают одно и то же подпространство, то построенные по каждой из них тензоры

$\displaystyle a^{i_1i_2\dots i_k}=
\xi^{[i_1}\eta^{i_2}\dots\zeta^{i_k]}
$

совпадают с точностью до множителя.

Таким образом, тензор $ a^{i_1i_2\dots i_k}$, построенный по векторам $ \xi^{i_1}, \eta^{i_2}, \dots, \zeta^{i_k}$, порождающим некоторое подпространство, определяет это подпространство.


next up previous contents index
Next: 25 тензорное произведение Previous: 23 сопряженное (двойственное) пространство Vadim Yu. Radionov
2000-08-30


Посмотреть комментарии[2]
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования